0 引言
随着能源危机与环境污染日趋严重,利用可再生能源的分布式发电技术越来越受到人们的重视[1]。逆变器作为分布式能源发电系统与电网或离网地区用电的接口装置,其控制性直接影响发电系统输出电能的质量[2]。因此,高性能逆变器成为电力电子领域的一个研究热点。稳态精度、瞬态响应以及抗干扰能力是衡量逆变系统控制性能的重要指标。同时,实际逆变系统存在开关管导通压降、系统参数摄动、负载突变和非线性负载等扰动。这些扰动的存在会导致逆变系统输出电能质量降低,主要体现在总谐波失真(total harmonic distortion,THD) 较高、稳态跟踪误差较大[3]。因此,针对含有参数不确定性和负载扰动的逆变系统,如何设计有效的控制方法,使得逆变系统具有满意的暂态和稳态性能,有着重要的理论意义和应用价值。
对于等效为电压源的离网型逆变器电压控制,以及等效为电流源的并网型逆变器电流控制,从本质上来看都是实现周期性参考输入信号的跟踪控制。基于内模原理[4]的重复控制(repetitive control,RC)能够有效地跟踪/抑制周期信号。同时,根据Bode积分定理[5],重复控制系统在周期性外激励信号的基波和谐波频率处的无穷大增益导致了系统在其他频率处增益的降低,恶化了系统在这些频率处的控制性能[6]。因此,重复控制不仅不能抑制非周期扰动,甚至会放大非周期扰动对系统的影响。
为了提高重复控制系统的非周期扰动抑制性能,有学者提出了诸如自适应重复控制[7]、滑模变结构重复控制(sliding mode repetitive control,SMRC)[8]、H∞重复控制[9]等方法。这类方法主要通过提高控制器本身的鲁棒性以降低扰动在系统输出通道的灵敏度,被视为被动扰动抑制方法。传统的一自由度重复控制系统很难同时保证系统对参考输入信号的高精度跟踪和保持被控对象在受到不确定性扰动后系统输出的不变性,往往需要在跟踪控制和扰动抑制这两个性能目标之间做折衷处理。
系统控制设计方法都遵循不变性原理[10],不变性原理为设计和构成高精度、高性能的自动控制系统提供了理论上的依据。随着对系统不变性原理研究的不断深入,国内外学者提出了许多具有二自由度结构的主动扰动抑制方法,从根本上克服了一自由度控制器的固有缺陷:其中一个自由度用于在线补偿扰动对系统的影响,从而改善系统的扰动抑制性能;另一个自由度用于反馈控制,使得系统达到期望的跟踪控制性能。典型的主动扰动抑制方法有扰动观测器法[11-13]、不确定干扰估计器法[14]、自抗扰控制(active disturbance rejection control,ADRC)等[15-17]。
ADRC由我国著名控制论学者韩京清先生于20世纪90年代提出,其主要思想是将系统的内部扰动和外部扰动统一归纳为输入端总扰动,利用扩张状态观测器(extended state observer,ESO)对总扰动进行估计,并采用反馈机制对其进行动态补偿,消除扰动对系统输出的影响。ADRC不仅继承了传统PID(proportional-integral-differential)控制不依赖于系统模型的精确性等优点,且当被控系统受到扰动影响时,依然能够保持良好的控制性能,这些特性引起了国内外学者的广泛关注。为了简化ADRC的参数整定方法,文[17]在此基础上提出线性自抗扰控制(linear active disturbance rejection control,LADRC),采用线性的扩张状态观测器和误差反馈控制律,进一步推动了ADRC的工程实际应用发展。
近年来,ADRC多应用在如深空探测天线、压水堆、永磁同步电机等系统参考输入为常值的情形[18-23],而在如参考输入为周期信号的控制上的应用较少。文[24-25]提出基于非线性ADRC的逆变系统控制方法,虽取得较好的控制效果,但系统参数调节复杂,限制了该方法在实际中的应用。文[26]将LADRC策略应用于逆变系统并网控制,但采用Pade近似会引入新的模型误差,增加ESO扰动估计负担。文[27]在LADRC的基础上引入基于超前滞后校正的微分环节和惯性环节,可以有效避免因带宽增加而放大噪声,但增加了系统控制设计的复杂度。文[28]提出基于微分前馈的ADRC策略,在抑制扰动的同时可以提高系统的跟踪性能。该方法虽能有效地降低稳态误差,提高逆变控制系统的跟踪精度,但微分前馈的引入会放大高频谐波,导致系统输出的THD增大。
此外,ESO作为ADRC的核心部分容易引起系统相位滞后,并且ESO的阶数越高相位滞后越明显[29],降低ESO的阶次是解决这一问题的一种有效途径。1964年David首次提出降阶观测器[30],其原理是当对象的一些状态变量可测时,不需要估计可测量,从而减少要估计的状态变量个数,降低观测器的维数,进一步降低计算和设计的复杂性。Tian对基于降阶扩张状态观测器(reduced-order extended state observer,ROESO)的ADRC及其频域特性进行了分析[31],针对相位滞后问题提出基于ROESO的LADRC,与全阶的LADRC相比,在相同带宽下,基于ROESO的控制系统鲁棒性更强,跟踪性能更好。
针对上述问题,本文提出一种基于ROESO的单相LC型逆变器重复控制系统设计方法,系统具有二自由度结构。其中一个自由度通过ROESO实时估计和在线补偿非周期性扰动对系统输出的影响,改善系统的扰动抑制性能,提高系统的鲁棒性;另一个自由度使用重复控制器实现对周期性参考输入信号的高精度跟踪。控制系统结构简单,参数调节方便,与传统的基于LADRC的重复控制方法比较,系统的相位滞后减小,暂态性能和稳态性能都得到了提高。
1 逆变器数学模型描述单相LC型逆变器拓扑结构如图 1所示。其中,Udc为直流母线电压,VTi(i=1,2,3,4)为开关管,Uinv为逆变器输出电压,U0(t)为负载两端电压,Ur(t)为给定参考信号,L为滤波电感,R为滤波电感等效串联电阻,C为滤波电容,Z为负载。设电感电流为iL,电容电压为UC(t),负载电流为i0。
根据电路状态方程的拉普拉斯变换可得:
(1) |
采用状态空间平均法[32],单相LC型逆变器从调制端到滤波器输出端的传递函数为
(2) |
式中,U0(s)=UC(s),U0(s)和UC(s)分别是U0(t)和UC(t)的拉普拉斯变换。由式(2)得:
(3) |
考虑逆变系统实际运行中元器件因为温度等外部环境变化引起的等效串联电阻R、滤波电感L和滤波电容C的参数摄动以及外负载扰动d(t)。设:
(4) |
其中,R0、L0和C0分别表示等效串联电阻、滤波电感和滤波电容的标称值,R0ΔR、L0ΔL和C0ΔC分别表示等效串联电阻、滤波电感和滤波电容的参数不确定性。在考虑参数摄动和外部扰动后,Ü0(t)进一步表示为
(5) |
式中,控制输入增益
(6) |
本节将给出ROESO和改进型重复控制器结构,以及复合重复控制规律。
2.1 ROESO图 2为本文提出的基于ROESO的逆变器重复控制系统结构框图,其中r(t)为参考输入信号,e(t) 是跟踪误差,c(t)是改进型重复控制器输出,GPI(s)是重复控制前馈补偿器,d(t)是外负载干扰,yp(t)是系统输出。
选取状态变量xp(t)=[x1(t),x2(t)]T,x1(t)= U0(t),x2(t)=
(7) |
式中,
对于系统(7)引入扩张状态变量x3(t)=f(t),建立增广系统状态空间模型:
(8) |
式中,
增广系统(8)中,状态x1(t)=yp(t)可测量,本文设计ROESO:
(9) |
对系统对状态x2(t)和总扰动x3(t)进行估计,式中
(10) |
式中,
图 2中改进型重复控制器的传递函数为
(11) |
式中,C(s)和E(s)分别为改进型重复控制器的输出c(t)和输入e(t)的拉普拉斯变换,T为时滞常数,q(s)为低通滤波器。q(s)的传递函数为
(12) |
式中,ωf为滤波器的截止角频率,其取值满足式(13)的幅值特性:
(13) |
式(13)中,ωr为周期性参考输入r(t)的最大角频率。为使重复控制器获得较好的性能,滤波器的截止角频率通常选择为ωf≥5ωr。
图 2中,GPI(s)为重复控制前馈补偿器,重复控制输入为
(14) |
式中,
(15) |
式中,
注1 复合控制律式(15)中的u0(t)和状态反馈控制律Kdξ(t)用于保证系统的稳定性和周期信号跟踪性能,扰动补偿器
定义状态估计误差为:
(16) |
将式(15)代入式(7)并联立式(16)得到:
(17) |
式中,K=[k2,Kx]。式(17)为图 2所示闭环系统状态方程。系统的特征方程行列式为
(18) |
式(18)意味着闭环系统的状态反馈控制器和ROESO可以分开设计。
引理1 对于系统
定理1 通过设计合适的状态反馈控制增益Kd和观测器增益L,使得矩阵Ap-BpKd和Ap-LCp为Hurwitz矩阵,则闭环系统(17)有界输入有界输出(BIBO)稳定。
证明 由于(Ap,Bp)能控并且(Ap,Cp)能观,因此矩阵Ap-BpKd和Ap-LCp的极点可以任意配置。当矩阵Ap-BpKd和Ap-LCp为Hurwitz矩阵时,闭环系统(17)的状态矩阵:
为Hurwitz矩阵。根据引理1,对于任何有界的u0(t)、f(t)和
将式(15)代入式(7)得:
(19) |
由式(19)可知,如果观测器对扰动的估计足够精确,则系统中的扰动可以被补偿。即令:
(20) |
此时
对于状态反馈控制增益Kd,系统的闭环特性由Ap-BpKd的特征根决定,考虑工程实际应用简便性,本文采用带宽整定,将所有极点配置在控制器带宽ωc处,则有:
(21) |
可求得
另一方面,图 2中u0(t)到系统输出yp(t)的传递函数为
(22) |
注2 传递函数式(22)中不含观测器增益L,这意味着在保证系统稳定的前提下,图 2中的复合控制规律u(t)(包括重复控制前馈补偿、状态反馈和扰动反馈补偿)可以独立于ROESO进行设计。因此,控制系统的设计过程实际上分为两个阶段:1) 设计ROESO,保证ROESO的收敛性;2) 设计复合重复控制规律,保证系统稳定,并具有满意的跟踪性能。
引理2 [34] 考虑图 3所示反馈控制系统,假设H1和H2都是有限增益稳定的,且满足:
(23) |
式中,γ1、γ2、α1、α2为非负常数。若式(23)成立,则称系统H1、H2的增益不大于γ1、γ2,且若γ1、γ2存在最小值,则称该最小值为系统H1、H2的增益。如果增益满足γ1γ2 < 1,那么图 3所示的反馈控制系统稳定。
令:
(24) |
结合引理1、引理2及定理1,得到以下结论:
定理2 如果以下条件同时成立:
(a) 矩阵Ap-BpKd和Ap-LCp为Hurwitz矩阵;
(b) GCL(s)中没有不稳定的零极点对消;
(c) ‖Q‖∞ < 1,其中Q=q(s)G0(s)。
则系统在复合控制律(15)作用下稳定,并且可以完全消除扰动对稳态输出的影响。
证明 由于复合重复控制规律u(t)可以独立于ROESO进行设计,系统满足分离设计原理,可以将设计好的重复控制器直接嵌入稳定的系统中。因此,闭环系统的稳定性条件实际上由两部分构成。首先,如果满足条件(a),由定理1可知基于ROESO的闭环系统(17)BIBO稳定。条件(b)保证了原反馈控制系统(不含重复控制器)稳定。令参考输入r(t)=0,将图 2所示的系统等价地转化为图 4所示的系统,可求得时滞环节e-sT的输入与输出之间的传递函数为
(25) |
因此,由引理2可知,当条件(c)也同时满足时,基于ROESO的重复控制闭环系统稳定。
综上所述,可以得到图 2所示的基于ROESO的闭环系统设计算法:
步骤1 选取一阶低通滤波器的截止频率ωf,使得q(s)满足频域条件式(13)。
步骤2 使用带宽整定法设计观测器增益矩阵L,使得矩阵Ap-LCp为Hurwitz矩阵。使用带宽整定法设计状态反馈控制增益矩阵Kd,使得矩阵Ap-BpKd为Hurwitz矩阵。
步骤3 利用式(19)求得扰动补偿增益Kx。
步骤4 设计前馈补偿器GPI(s),使得定理2中的条件(b)成立。
步骤5 判断定理2中的条件(c)是否满足,如不满足则返回步骤2,重新设计Kd、Kx及GPI(s)。
注3 根据文[35],观测器带宽ω0越大,ESO的观测能力越强,但这会使得观测器对于噪声更加敏感。因此,ω0应从一个较小的值逐渐增大,直至观测精度满足要求为止。而控制器带宽ωc越大,控制作用越强,系统输出响应越快,但超调和振荡则会越严重,同时稳定性下降。所以,对于参数的选取,一方面可以根据前述经验进行手动调节,另一方面则可以通过使用优化算法,设置相关性能指标,得出最优参数。
4 仿真分析为验证本文提出的基于ROESO的逆变器重复控制策略的有效性,本节进行仿真研究。考虑实际逆变系统的运行状况,仿真设置死区时间,采用双极性脉宽调制方式。逆变系统参数见表 1,参考输入为80sin(100πt)V,当负载Z为阻性负载时,电阻值为25 Ω;当负载Z为不可控整流性负载时,其由二极管,0.001 H电感,0.001 F电容和10 Ω电阻组合而成。
参数 | 数值 | 参数 | 数值 | |
直流母线电压Udc | 100 V | 输出电压频率 | 50 Hz | |
滤波电感L | 0.5 mH | 采样频率 | 10 kHz | |
等效串联电阻R | 0.1 Ω | 开关频率 | 10 kHz | |
滤波电容C | 50 μF | 开关管死区时间 | 3.2 μs |
仿真中控制器参数由前文所述设计步骤,根据经验手动调节得到。首先调节改进型重复控制器的参数至ωf=2 667,T=0.02,使其满足频域条件式(13);其次调节观测器带宽及控制器带宽为ω0=5 600,ωc=2 200,由于本文采用带宽整定方法,所以特征矩阵必为Hurwitz矩阵;最后调节前馈补偿器参数为kp=10,ki=5,使得系统获得满意性能。由第3节稳定性分析中给出的稳定条件,经计算式(17)特征方程的特征值都在虚轴的左半平面且‖Q‖∞=0.496 9 < 1,因此整个系统稳定。
4.1 不同工况仿真图 5为单相LC型逆变器空载时应用本文所提方法的仿真结果,其中Ur(t)为给定参考信号,U0(t)为逆变系统输出电压,e(t)为系统的跟踪误差。
为验证基于ROESO的重复控制策略下逆变器的动态性能,本文还进行了负载切换的仿真。图 6为逆变系统在运行至0.025 s时负载切换的仿真结果。可以看出,基于ROESO的重复控制策略控制的逆变器能够迅速恢复到稳态,具有较高的抗干扰性。
为分析基于ROESO的重复控制策略控制的逆变系统的鲁棒性,表 2为逆变系统阻性负载时,滤波器参数摄动的仿真结果,即令滤波器参数为nL、nC,L、C为表 1所列标称值,ess为稳态跟踪误差。
结果表明,当逆变系统中存在一定的参数摄动时,系统仍然保持稳定且能获得较为满意的稳态性能,具有较好的鲁棒性。
4.2 对比仿真为了评价基于ROESO的重复控制系统性能,本小节将本文所提方法与LADRC方法(只有全阶ESO,没有重复控制器)和基于全阶ESO的重复控制方法进行了对比。
为使仿真结果更具说服性,两种对比方法控制器参数均采用带宽调节法求得,状态反馈控制器带宽与观测器带宽与本文选取一致,即ωc=2 200,ω0=5 600。LADRC方法和基于全阶ESO的重复控制方法中状态反馈增益及扰动补偿增益与本文相同,观测器增益矩阵均为
(26) |
图 7为不同负载下,分别使用3种控制方法得到的系统跟踪误差曲线。3种控制器下的逆变器仿真结果如表 3所示。
控制器 | 阻性负载/V | 阻性负载THD /% | 不可控整流性负载/V | 不可控整流性负载THD /% |
LADRC | 60.52 | 17.92 | 62.4 | 18.15 |
ESO-RC | 6.6 | 2.47 | 7.61 | 3.76 |
ROESO-RC | 0.8 | 1.39 | 2.24 | 1.75 |
从图 7和表 3可以看出,基于LADRC的逆变器输出波形畸变,系统跟踪误差较大。基于全阶ESO的逆变器重复控制系统可以达到更高的稳态精度,但因ESO导致的系统相位滞后问题使得系统还存在一定的跟踪误差。基于ROESO的逆变器重复控制系统解决了系统相位滞后问题,从而减小了跟踪误差,实现了更好的控制效果。因此,本文所提的控制策略可以实现逆变系统对周期性参考信号的准确跟踪和对非周期扰动的有效抑制。
注4 基于ROESO的重复控制方法性能优于基于全阶ESO的重复控制方法的原因主要在于两方面:一方面,由于本文提出的ROESO直接使用测量输出电压进行状态反馈控制器设计,而ESO利用观测器估计电压进行状态反馈控制器设计,ROESO避免了电压估计引起的误差;另一方面,由文[30]中的频域分析可知,在相同观测器带宽条件下ROESO的相位滞后更小,扰动估计准确度更高,从而提高了系统的扰动抑制性能和跟踪性能。
进一步地,为了突出本文所提方法相较于传统的一自由度结构控制方法的优势,本文设计了SMRC[36]逆变系统。重复控制器设计与本文一致,选取滑模面为
(27) |
式中,e(t)=Ur(t)-U0(t)为跟踪误差,k′1、k′2为滑模面系数。式(27)求导得到:
(28) |
选取指数趋近律为
(29) |
式中,k0>0,ε>0均为趋近律参数。仿真中其余控制器参数通过手动调节获得,选取k′1=65,k′2=1,k0=20,ε=10时可获得较好控制效果。图 8为本文所提方法与SMRC的系统跟踪误差对比。
注5 本文以THD和跟踪误差作为控制器应用于逆变器时的系统性能评价指标。根据IEEE谐波限制标准,THD应低于5%。THD越小,意味着逆变器输出电压质量越高。另一方面,跟踪误差越小,则意味着逆变器输出电压与用户设置所需参考电压越相近,用户用电越稳定、安全。
当Z为阻性负载时,ess为10.55 V,THD为4.47%;当Z为不可控整流性负载时,ess为12.18 V,THD为5.71%。相较来说,本文方法分离设计跟踪与抗扰,使得控制器更具优越性。
5 结论本文针对具有参数摄动及外部扰动存在的逆变系统,提出了一种基于ROESO的重复控制系统设计方法,给出了系统稳定性条件和控制器参数设计规则。在保证系统稳定的前提下,ROESO与重复控制器的结合能够有效提升控制系统的扰动抑制能力与周期性参考信号跟踪能力。仿真结果亦表明,本文所提方法减小了稳态跟踪误差,提高了系统的稳态性能,具有较好的鲁棒性。另一方面,本文仅进行仿真分析或些许片面,下一步将结合实验平台,以印证控制方法的有效性和优越性。
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