0 引言

随着工业自动化程度的日益提高和网络通信技术的快速发展，控制系统与通信网络的交互融合趋势也愈发明显。网络化控制系统是一种由通信网络和被控对象在网络空间中深度融合而形成的闭环反馈控制系统。因其具有造价低廉、结构灵活、维护方便等优点，被广泛应用于智能电网、远程医疗、航空航天等关键领域^[1-3]。然而，通信网络的引入在增加系统灵活性和扩展便捷性的同时，也给系统的分析与设计带来了新的挑战，如数据包丢失、传输时延、量化误差和网络攻击等。

另一方面，由于现代工业系统规模和复杂程度的逐渐提高，系统中各种随机故障因素频发。这类复杂的大系统发生任何微小或潜在的故障，若未能被及时诊断和有效处理，可能导致系统不正常运行状态直至损坏系统，甚至会酿成灾难性后果^[4-5]。动态系统的故障诊断与容错控制技术在过去几十年中取长足发展并涌现出一批优秀的研究成果^[6-9]。网络化控制系统作为运算模块和实际对象在网络空间中交互融合形成的信息物理系统，其实际物理系统和网络通信系统以及对应的广义功能安全问题是深度关联的，因此针对这类系统的故障诊断和容错控制具有较大的挑战性，近年来相关问题的探索引起许多学者持续关注，并取得了一些进展。文[10]通过构造比例-积分观测器，研究了依赖不可测前件变量的T-S模糊系统的执行器与传感器故障估计问题；为了有效检测线性随机系统的间歇性故障的出现和消失时间，文[11]利用等价空间方法实现残差对未知扰动的解耦；考虑到网络环境下不可预测的参数浮动和网络拓扑结构的突然改变，文[12]研究了传感器饱和约束下时变非线性系统状态与故障的协同估计问题；文[13]在考虑测量数据包存在随机丢失的情况下，研究了离散时间非线性系统的故障估计与预测问题，这里采用扩展的卡尔曼滤波器作为故障估计器，以线性回归的方法获取估计的实时参数；为了研究有限时域网络化时变非线性系统的故障估计问题，文[14]在考虑传感器存在随机发生非线性的情况下，通过设计一组时变的故障估计器确保误差系统的性能及有限时域有界；文[15]针对存在部分解耦扰动的线性与非线性系统，提出了一类利用未知输入观测器实现对系统状态和故障的同步估计方法。

控制系统除了自身可能发生故障以外，还会受到来自系统内部参数摄动和外部环境干扰的影响。为了减弱扰动或不确定性对系统的性能的影响，一种有效的解决方案是优化系统的结构和参数，从而提高系统的鲁棒性。文[16]利用随机分析方法研究一类带乘性噪声和连续丢包的T-S模糊非线性随机系统的H_∞控制问题；文[17]针对具有网络诱导时延、随机丢包和对数量化的非线性系统存在参数不确定性的H_∞故障估计问题，提出了一种加性非脆弱状态反馈控制策略；文[18]综合考虑了信号传输过程中可能存在的量化效应、丢包和随机参数摄动，提出了一种基于递推线性矩阵不等式(RLMIs)的故障估计方法；为了减轻数据传输负担，文[19]在考虑存在随机非线性和(x，v)相关噪声的情况下，提出了一种事件触发方案，并通过设计一种H_∞故障估计器以便利用测量输出来估计故障。

需要说明的是，以上文献在研究网络化系统故障诊断问题时，主要侧重于故障的检测与重构，较少涉及故障补偿与容错控制。此外，针对外界干扰均是采用鲁棒估计的思想，最大限度地降低未知扰动对估计误差的影响，并未考虑扰动的是否可解耦的问题。基于上述讨论，本文将研究一类存在执行器故障和部分解耦扰动的离散时间网络化控制系统的状态与故障的联合估计及容错控制问题。在考虑测量数据发生随机丢失情况下，通过构造一种未知输入观测器实现对系统状态与故障的联合估计；然后基于故障估计的结果，采用基于信号补偿的容错控制策略减轻故障对系统性能的影响；最后，通过一个喷气式燃气涡轮发动机系统的例子验证本文所提出方法的有效性。

本文主要的贡献点：

1) 将输入-状态稳定性理论用于分析网络化系统的执行器故障诊断问题，然后基于未知输入观测器设计输出反馈容错控制律。

2) 在考虑存在测量数据包随机丢失的情况下，利用状态增广和随机分析理论，实现对系统状态和故障信号的联合估计。

3) 通过选取恰当的观测器参数，实现对过程扰动的部分解耦，从而降低扰动对估计误差的不利影响，获得更优的容错控制效果。

符号：ℝ表示为实数域，ℝⁿ表示为n维欧氏空间，ℝ^n×m表示包含所有n×m维实数矩阵的集合；I_n表示n阶单位矩阵，0_n表示n阶零矩阵，E{}表示求取期望值；X>0(X≥0)表示矩阵X是实对称正定的，|| · ||表示2范数；对于矩阵M∈ℝ^m×n，M^T和M^†∈ℝ^n×m分别表示为矩阵M的转置和伪逆。

1 预备知识与系统描述

考虑如下所示的一类离散时间系统^[20-21]：

(1)

其中，x(k)∈ℝⁿ，u(k)∈ℝ^m和y(k)∈ℝ^p分别表示为系统的状态向量、输入向量和可测输出向量；f(k)∈ℝ^f为待估计的执行器故障信号；d(k)∈ℝ^d为可能由干扰或建模误差导致的有界未知输入向量；ω(k)∈ℝ^q为测量噪声信号；n，m，p，f，d，q表示为对应变量的维数；A，B，C，D，B_d，E为已知适当维数的常数矩阵。此外，B_d=[B_d1 B_d2]，d(k)=[d₁^T(k) d₂^T(k)]^T，d₁(k)∈ℝ^d₁，d₂(k)∈ℝ^d₂，这里假定d₂(k)是无法解耦的扰动部分，B和B_d1均为列满秩的，d₁、d₂表示扰动变量两部分的维数。

令

(2)

这里假设Δf(k)是有界的，即f(k)的变化率适中。

假设1

(3)

假设2  针对复数z，式(4)和式(5)成立：

(4)

(5)

本文假设在被控对象与故障估计器之间的信号传输是通过网络通道来实现，由于网络的带宽有限，随机丢包现象在网络信息交互过程时似乎难以避免，由此导致损失一定量的估计器输入数据。因而，估计器接受到的信号：

(6)

式中，一般随机变量β(k)满足Bernoulli二进制切换序列分布，用来表示输出信号在网络通道中可能发生的丢包现象。当β(k)=0时，表明系统中发生数据包丢失，当β(k)=1时，表明无数据包丢失。

(7)

(8)

其中，β∈[0, 1]为随即丢包标量参数。

令：

因此，系统(1)可以增广为

(9)

其中，。

引理1  若系统满足假设1，则存在矩阵H∈ℝ^n×p使得式(10)成立：

(10)

证明  式(10)可写为

(11)

由于，且为列满秩的，即rank(B_d1)=rank(B_d1)，结合假设1可得rank(CB_d1)=rank(B_d1)。

因此，式(10)是有解的，证明完成，式中一个特解为

(12)

引理2  若系统满足假设2，系统(TA，βC)是可观测的^[22]，即对于任意的实部为非负的复数z满足式(13)成立：

(13)

其中，T=I_n-βHC。

证明  任意一个实部为非负的复数z，式(13)可转化为

(14)

进一步计算可得

当z=1时，式(14)可等价于

(15)

当z≠1时，式(14)可等价于

(16)

其中，Re z≥0，由于系统满足假设2，证明完成。

本文引入一种离散时间动态系统的输入-状态稳定性，考虑以下离散系统：

(17)

其中，x(k)∈ℝⁿ，v(k)∈ℝ^v，分别为系统的状态变量和输入变量，对于系统(17)，这里给出以下定义。

定义1^[23]

(i) 若存在一个函数ζ：ℝ₊→ℝ₊满足连续、严格递增的条件，且ζ(0)=0，那么可称其为Κ函数; 若ζ是一个Κ函数，当变量时，函数值ζ(s)→∞，则ζ称为Κ_∞函数。

(ii) 函数σ(s，t)：ℝ₊×ℝ₊→ℝ₊满足在任意变量的区间内是一个递减的Κ函数。则对于任意变量的区间，当变量时函数值σ(s，t)→0，此时函数σ可称为Κl函数。

定义2^[23]  若存在函数σ∈Κl，ζ∈Κ使得任一初始条件x(k₀)=x₀，v(k)∈l_∞^v且变量满足：

(18)

则系统(17)具有输入-状态稳定性。

引理3^[24-26]  令V：ℝ₊→ℝ₊为一个连续函数，若系统(17)满足以下两个条件可称其是输入-状态稳定的。

(i) 存在Κ_∞函数ψ₁和ψ₂满足式(19)：

(19)

(ii) 存在Κ_∞函数ψ₃和Κ函数ψ₄使得式(20)成立：

(20)

2 观测器设计与故障估计

为了减弱未知输入对估计的影响，针对增广系统(9)构造了以下观测器：

(21)

其中，z(k)∈ℝⁿ表示所设计的观测器的状态向量，∈ℝⁿ表示为增广状态向量x(k)∈ℝⁿ的估计值，δ(k)被定义为前一时刻的增广状态值且k>1。而R∈ℝ^n×n，L₁∈ℝ^n×p，L₂∈ℝ^n×p，T∈ℝ^n×n和H∈ℝ^n×p为待设计的增益矩阵。

定义估计误差向量为

基于引理1和引理2，可以使得式(22)成立：

(22)

因此，可以计算出：

(23)

由于随机数的存在，为确保估计误差值尽可能小，这里需对式(23)两边同时求期望值，结果如下：

(24)

令R=(I-βHC)A-H(1-β)C-L₁βC，由式(22)可知，动态估计误差可改写为

(25)

由上式可知，d₁(k)通过引入H满足条件可以被完全解耦。因此，接下来的任务便是设计合理的观测器增益，使得估计误差向量e(k)保持稳定并尽可能地对扰动向量d₂(k)鲁棒。

定理1  对于系统(9)，若存在一个正定矩阵P和矩阵Y以及标量α、γ_d2、γ_δ、γ_dw、γ_dw1，使得线性矩阵不等式(26)保持成立，则可以构造一个未知输入观测器(21)使得误差动态系统(25)是输入-状态稳定的。其中，L₁=P^-1Y。

(26)

证明  选取以下形式的李雅普诺夫函数

(27)

显然可知

(28)

式(27)表明V(e(k))满足引理3中的条件(23)，其中

因此，接下来的任务便是证明V(e(k))是否满足引理3中的条件(20)。

定义3  η(k)=e(k+1)-e(k)，由式(25)可得

(29)

由式(17)和式(20)可知，令e(k+1)=h(x(k)，v(k))，则

然后根据式(27)和式(29)可求得

(30)

在式(30)的等号右边分别加减如下的多项式：

利用等式变换，式(30)可等价于式(31)。

(31)

令L₃=(1-β)C，由式(22)可知

因此Ω可改写为式(32)，由于LMI(26)表明Ω < 0，式(31)可得：

(32)

(33)

由于-αV(e(k))≤-αλ_min(P)||e(k)||²，式(33)可以写为如下形式：

(34)

式(34)意味着原系统满足引理3中的条件(20)。其中，ψ₃(||e(k)||)=αλ_min(P)||e(k)||²，ψ₄(||v(k)||)=max{γ²_d2，γ_δ²，γ_dω²，γ²_dω1}，v(k)=[(k) δ^T(k) ω^T(k) ω^T(k+1)]^T。

因此，误差动态系统(25)是输入-状态稳定的，证明完毕。通过构造合适UIO可以获得增广系统的状态估计值(k)，由此可分别得到原系统的的状态和故障的估计值：

3 基于信号补偿的容错控制

假定在系统正常运行状态(无故障情况)下，系统预先存在一个静态输出反馈控制器：

(35)

其中，K为待设计的增益矩阵。

接下来的任务便是设计一个合适的反馈增益K使系统(1)保持渐进稳定性能并满足特定的性能指标。例如，可以选择如下的保性能控制的二次型指标如下^[27-30]：

(36)

其中，Q和M为给定的适当维度的对称正定矩阵，P₁为待设计的参数矩阵。

利用李雅普诺夫稳定性理论，采用与文[28-29]相似的方法，通过求解线性矩阵等式容易得到反馈增益K，鉴于篇幅的限制，这里不再赘述。

考虑原反馈信号和无扰动信号影响下，考虑样式为V(k)=x^T(k)P₁x(k)的李雅普诺夫函数，设计满足初始条件如下所示的保性能控制的二次型指标：

定理2  对于离散时间系统(1)，Q、M为给定的对称实矩阵，若存在一个正定矩阵P₁和矩阵以及标量α>0，使得矩阵不等式(37)成立，则系统(1)在满足保性能二次指标(36)和静态输出反馈下渐近稳定。

(37)

证明过程同文[28-29]中的定理证明类似，因篇幅问题故省略。

闭环系统(1)在无故障情况下是输入-状态稳定的。而当系统发生执行器故障时，需要给定一个附加信号进行补偿，并保证系统仍具有良好的输入-状态稳定性能。因此，本文所考虑系统的补偿信号可设计为，其中K_f=B^†E，B^†表示为矩阵B的伪逆矩阵。

为克服执行器故障带来的影响，本文设计一种基于信号补偿的容错控制律：

(38)

其中，J₂=[0 I_f]。

将新的控制律(38)代入系统(1)，建立新的闭环系统：

(39)

其中，A_δ=A+β(k)BKC，=[B_d BKD]，B_e=EJ₂，=[d^T(k) ω^T(k)]^T，J_d=[0_p×d D]。

因此，后面的任务为新的闭环系统设计一个李雅普诺夫函数使其满足引理3中的成立条件(19)和(20)，在不失一般性的情况下，假设函数形式为，则

(40)

(41)

定理3  若在无故障发生的情况上，闭环系统(1)在无故障情况下是输入-状态稳定的，则当有执行器故障发生时，在考虑控制律(38)的作用下系统(39)满足式(40)、式(41)成立，可保证该系统仍是输入-状态稳定的。

证明  选取如下的李雅普诺夫函数：

(42)

其中，ε>0，=[x^T(k) e^T(k)]^T。

令。

因而，满足引理3中的条件(19)。

由式(34)可得

(43)

其中，α_e=αλ_min(P)，γ_e=max{γ_d2²，γ_δ²，γ_dω²，γ_dω1²}。

根据式(39)，式(41)~式(43)可以推出

(44)

其中，ε_e、ε_d、ε_x均为正标量，。

选取满足标量的ε值，结合式(41)和式(44)可得

(45)

其中，标量,β_xe=max{εγ_e,γ_c+ε_d}。

因此，闭环系统(38)满足引理3中的成立条件(19)和(20)，即系统是输入-状态稳定的，证明完毕。

4 仿真算例

喷气式燃气涡轮发动机本质上可以描述为一种以大气为工作介质来产生推进推力和机械动力的热力机模型。由于其是一种高度非线性的动态结构，因此本文在某个设定点将其建模为线性化的17阶系统，系统变量包括压力、绝对温度、静压、轴速度、空气和气体质量流率。出于简单操作和便于实现等因素考虑，17阶模型可以简化为式(1)形式的5阶喷气发动机模型。N_L、N_H分别为低压阀芯速度和高压阀芯速度，T₇、T₂₉分别代表发动机排放尾气的测量温度和燃烧室内壁的测量温度，P₆为喷口压力，M_f为主机燃油流量，A_J为尾气喷口面积。

这里选取x=[N_L^T N_H^T T₇^T P₆^T T₂₉^T]^T，u=[M_f^T A_J^T]^T，给定其系统矩阵^[26]为

令Q=I₅、M=I₂，通过求解式(37)可计算得到静态输出反馈的保性能二次相应指标以及对应的参数矩阵：

其相应的目标函数存在最小上界，即J≤J₀=24.833 6。

由于采用了降阶模型来逼近全阶动态系统，系统的建模误差就不得不考虑。因此，本文将B_dd(k)考虑为可能由建模误差引起的扰动项，B_d为扰动分布矩阵，d(k)为扰动向量。此次仿真总共的运行时间设定为400 s，采样周期T_s=1 s，未知输入选定为幅值范围从-0.01到0.01的随机信号。给定的执行器故障信号f=[f_a f_a 0 0]^T，E=[B 0_5×2]。

利用式(12)可求解出H，选取α=-5，丢包率β=0.9，然后利用Matlab中LMI工具箱求解辅助凸优化问题可求得γ_d2=0.02，γ_dw=0.088，γ_dw1=0.035，γ_δ=0.78，并求解式(25)得到全局最优解t_min < 0，表明系统是严格可行的，进而给出参数矩阵P和Y的值，根据式(22)分别求解出UIO的增益矩阵T、L₁、L₂和R的值。

系统预设的反馈控制器为

其中，控制器增益矩阵由^[28]给定：

本文采用的基于信号补偿的容错控制器形式为

其中，。

图 1显示的是闭环系统的状态及其估计值，系统的实际状态值用蓝色实线表示，而系统状态的估计值用红色虚线表示。在本例中，网络化系统考虑的故障类型包含缓变故障和恒定故障，根据图 1可以看出，本文所提出的观测器均能获得较好的估计效果。因此，利用所提出的基于UIO的故障估计策略可以实现对网络化系统的有效估计。

图 2~图 6展示了3种不同情况下的5个状态分量，分别为无故障情况下的状态，发生故障情况下的状态以及实施容错后的状态。由图可以看出，存在数据包丢失和外界干扰情况下，本文所提出的容错控制律可有效控制执行器故障对系统正常运行状况的干扰。图 7显示的是系统状态估计误差，由图可知，本文设计的观测器方法不仅可确保动态误差系统输入—状态稳定，而且所得到的估计误差值均能保持在一个较低水平(小于±0.03)。

5 结论

本文针对一类存在随机丢包和部分解耦扰动的网络化系统设计了一种未知输入观测器(UIO)。首先，通过构建由系统状态和相关故障组成的增广状态向量来重塑增广系统。其次，运用解耦部分扰动和衰减无法解耦的干扰得到观测器的动态估计误差，利用对动态估计误差的稳定性分析进一步给出系统的UIO存在的充要条件，该条件受丢包率和解耦程度影响。然后基于状态和故障的在线估计值，设计基于信号补偿的容错控制律实现对原系统的主动容错控制，最后，根据数值仿真结果表明了本文所设计的容错控制策略具有有效性和可靠性。为了增强该方法的普适性，后续工作将针对观测器的匹配条件和系统的非线性进行改进，讨论在不满足匹配条件的情况下非线性网络化系统的容错控制问题。