1 引言

低速EMS型磁悬浮列车作为一种城市轨道交通运输工具，具有非接触、 低噪音、 转弯半径小、 爬坡能力强等优点，近年来国内在理论研究以及工程应用中都取得了巨大的进展. 由于其具有爬坡能力强的特点，可以在城市轨道选线设计时采用坡度较大的轨道，但较大的轨道坡度给车辆悬浮控制系统带来很大的冲击，在图 1所示的南车株洲的磁浮试验线试车过程中，磁浮车在上坡和下坡时，常出现磁浮车辆砸轨的现象.

现有文献中有很多磁浮车辆悬浮控制的研究，如，串级控制^[1]、 零功率控制^[2]、 解耦控制^[3]、 滤波器控制^[4]、 非线性控制^{[5, 6]}等. 车—轨耦合振动的控制理论研究也日渐丰富^{[7, 8, 9, 10]}. 但是研究磁浮车辆上下坡时车辆曲线通过能力问题的文献很少. 罗昆等^[11]从磁浮车辆牵引能力、 制动能力、 阻力等因素出发，讨论了EMS型磁浮车辆轨道坡度选取最大值的问题. 李云钢等^[12]分析了出坡道路段的最大跟踪误差与行车速度的关系以及最小竖曲线与最大爬坡速度半径的关系，给出了其相互关系的表格. 刘恒坤^[13]研究了磁浮列车处于不同轨道曲线上时，与之对应的系统数学模型，并讨论了消除列车在不同轨道曲线上性能改变产生不利影响的方法. 胡立成等^[14]讨论了高速磁浮线车站内线路的纵断面坡度设计标准，并提出了设计的推荐值. 张耿等^[15]讨论了低速磁浮列车通过竖曲线时电磁铁与轨道的位置关系，基于磁通管法推导了电磁铁位于竖曲线时电磁悬浮力的解析式，并对解析式进行适当的简化以便于应用.

以上文献都没有涉及到车辆速度传感器安装位置、 轨道变坡点坡度等因素对于车辆悬浮系统稳定性的影响，针对这个问题，本文通过建立简化的磁浮车—轨道系统动力学模型，对磁浮列车通过轨道变坡点时的悬浮系统稳定性问题进行了理论研究和仿真验证.

2 车辆—轨道系统模型

EMS型磁浮车轨道的纵段面可分解为不同坡度、 不同长度的坡段，每节坡段的特性可以用坡段长度和坡度值来描述. 虽然为减小车辆的冲击，铁路线路设计规范中规定各坡段之间连接处的变坡点常用竖曲线来处理，但是磁浮线路在国内处于试验阶段，没有形成相应的线路设计规范，且在工程应用中由于各种原因常难以保证轨道曲线的完美； 同时在变坡点处采用竖曲线，其可由相同坡度的轨道近似替代. 不失一般性，本文采用坡度描述轨道变坡点处的线路变化情况. 另外由于车辆上坡和下坡过程中，坡度变化对于磁浮控制系统的冲击是类似的，因此本文的车—轨动力学模型主要研究列车上坡时的情况.

为了主要分析车辆通过变坡点时悬浮控制的稳定性问题，忽略轨道弹性形变等因素影响，本文建立简化的系统动力学模型，如图 2所示. 图 2中描述了磁浮车辆匀速从左向右经过具有一定坡度的轨道，车辆间隙传感器安装位置刚好进入变坡点时的情形. 图中f_e(t)表示电磁吸力(N)，m表示车体的质量(kg)，z(t)表示车体的实际位移(m)，h表示车体端点处轨道已经发生的位移(m)，v₀表示车辆的速度(km/h)，θ为变坡点处轨道之间的夹角(°)，tan θ=h/l为变坡点处轨道的坡度(‰)，系统中参考方向取向下为正.

实际系统中由于间隙传感器不可能安装在电磁铁的最前端，所以当车体进入坡道时刻，传感器并不能马上检测到轨道曲线的变化，直到安装传感器位置处车体开始进入坡道，由间隙传感器检测气隙变化，控制系统才能对该轨道曲线变化进行动作. 间隙传感器安装位置总会带来控制系统的时滞，影响稳定性. 图 2模型中取l表示间隙传感器距离车体前端的距离(m).

由图 2所示模型车体的垂向动力学方程分别表示为式(1)，其中电磁力f_e(t)常用式(2)描述.

其中，u₀是真空磁导率(4π×10^-7 H/m)， N为电磁线圈匝数，A表示电磁铁有效面积(1 m²)， i(t)表示电磁铁中通过的电流. 由式(2)继续推导可得：

其中，i₀表示系统在平衡点处的电磁铁中流过的电流，z₀表示平衡点处的气隙位移，系数.

虽然由于直流斩波器中存在电感，所以电流对于电压总存在滞后，但现在已有了多种成熟的电流控制方法^[16]，所以本文模型中直接使用电流作为控制输入. 采用工程中常用的PID算法，取悬浮间隙z、 间隙变化速度z′和加速度z″为反馈变量，取k_p和k_v以及k_a为控制器参数，其中气隙位移反馈系数k_p表征系统的悬浮刚度，气隙位移变化速度反馈系数k_v可调节系统的悬浮阻尼，气隙位移加速度反馈系数k_a可调节悬浮系统的惯性. 通过PID控制的电流可以表示为

若平衡点处f_e(t)-z(t)之间的关系用等效的刚度和阻尼表示，可令K_f表示平衡点处的等效磁隙刚度，C_f表示平衡点处的等效磁隙阻尼，电磁力又可以表示为

其中，参数.

联立式(1)、 式(5)，令(t)=z(t)-z₀得描述系统在平衡点附近运动的微分方程：

3 稳定性分析

当车辆通过变坡点时，考虑如图 1所示最坏的情况. 由于气隙传感器安装位置对于控制系统产生了时滞τ=l/v₀(s). 在车体前端进入变坡点处T_s之后，由于轨道曲线的变化，车—轨道之间气隙的变化速度已经变为v₀·tan θ，气隙本身已经增加了h=l·tan θ，变为z₀+l·tan θ，并且车体产生的电磁力不再垂直于水平方向，其垂直于水平方向的分力变为f_e(t)·cos θ. 根据式(2)描述的电磁力与气隙之间平方的关系，实际作用的等效磁隙刚度与磁隙阻尼可表示为

此时描述系统的动力学方程(6)变为

对(7)进行整理得：

其中，a₁=C_fr·cos θ/m，a₂=Kfr·cos θ/m，a₃=-C_fr·v₀·sin θ-Kfr·l·sin θ，a₀=1，其对应的系统特征方程为

若不考虑传感器时滞对系统的影响(令τ=0)，特征方程(9)化简为

对于二阶系统，由Hurwitz稳定性判据可知如果系统渐进稳定，式(10)中各系数应满足的充要条件为： 特征方程各阶系数都应该大于0.

由于车辆质量m>0，等效磁隙阻尼C_f>0，坡度tan θ>0，因此条件中a₀>0，a₁>0总是满足的，将具体参数代入条件a₂+a₃>0得：

同时将控制参数与K_f和C_f关系代入式(11)也可推导出使系统稳定的参数的取值范围.

若考虑传感器时滞的影响(τ≠0)，系统即使满足条件(11)也不能保证系统的稳定性. 如果τ大于某一个临界值，系统的稳定性可能会随Hopf分岔而发生变化.

方程(9)是超越方程，本身难以求得具体的解析解，应用文^[17]中给出的方法，设λ=α+iβ，代入式(9)得：

若传感器时滞对于系统稳定性有影响，式(9)中必然会出现特征值穿越虚轴的情况，此时出现共轭复根λ =±iβ. 令α=0，将λ=iβ代入式(12)有：

继续化简，分别消去正弦和余弦函数得到：

再消去三角函数得：

其中，b₁=a₂²-2a₁²-a₁⁴，b₃=a₂²(a₃²-a₂²)，b₂=a₁²a₃²+2a₁²a₂²-2a₂²a₃. 由条件(11)，可知a₂>-a₃，并且从参数物理意义易知有a₃<0，所以有a₃²-a₂²<0，推出b₃<0，由方程根与其系数之间关系，方程必然存在正根. 设解为β=±β，代入式(14)可求出具体取值：

所以在条件(11)成立的条件下，系统的稳定性受时滞的影响可由以下条件判定：

1) ∀τ∈(0，τ)，系统渐进稳定.

2) τ=，τ系统处于临界状态.

3) ∀τ∈(，τ ∞)，系统不稳定.

综上所述，结合条件(11)、 (16)：

1)车辆通过变坡点的速度 v ₀越大，式(11)右边C_fr·v₀·sin θ部分越大，则系统稳定性随之变差.

2) 当变坡点处轨道坡度tan θ(取值通常为0～70‰)变大，式中cos θ变小，sin θ变大，式(11)左边变小而右边变大，系统稳定性变差.

3) 传感器安装位置离车体前端越远，l越大，式(11)右边K_fr·l·sin θ部分越大，系统稳定性变差.

4) 车体质量m 在条件式中作为分母出现，对于稳定性的影响很大，当m增大，车辆系统惯性增加，同时式(11)左边部分迅速变小，系统稳定性变差. 这也从理论上解释了试验线中当磁浮车辆重载时比轻载更容易发生砸轨现象的原因.

5) 在经过变坡点时，传感器安装位置带来的时滞会对悬浮系统稳定性造成影响，具体情况可由条件(16)判断.

6) 观察稳定条件(11)，当个别参数变化时，我们可以通过调节其它的参数来维持悬浮系统稳定性. 如当车辆质量增加时，式(11)左边变小，如果能通过调节v₀、 l、 θ等参数，使车辆进入变坡点时速度变慢，采用较小坡度的轨道、 调节系统等效磁隙参数等方法，使条件式右边也减小，则可以达到提高系统稳定性的目的.

4 数值仿真

本文采用Simulink工具箱进行数值验证，仿真模型如图 3所示. 控制系统通过期望气隙与实际气隙值计算出需要的控制电流，由电流产生电磁力影响悬浮系统的运动. 同时轨道曲线的变化影响悬浮气隙，继而对悬浮系统的运动状态产生影响，新的运动状态由于系统时滞原因，经滞后常数时间τ=l/v₀s后作为新的实际气隙值被用于计算控制电流. 仿真中系统采用的主要参数如下： 车体质量=2 000 kg，悬浮电磁铁有效面积=0.023 5 m²，悬浮电磁铁匝=350，间隙传感器距离电磁铁前端的距离=0.02 m，车辆速度=80 km/h，轨道坡度=10‰，额定悬浮间隙=0.008 m，车体在t=0.5 s时刻以匀速进入变坡点. 将PID控制系统传递函数的动态性能设计为等价二阶系统的动态性能(取阻尼系数ζ=0.5，最大超调量为5％，过渡时间为1 s)，再通过经典控制理论推导出控制器相应的参数取值： k_a=20，k_v=500，k_p=80 000.

在仿真1中，车辆速度分别取64 km/h、 80 km/h、 96 km/h，进入变坡点后，系统气隙位移的变化如图 4所示. 从图中可以看出，系统稳定性对于速度的变化较敏感. 在其它参数相同的情况下，随着车辆速度增快，悬浮气隙变化增大，系统稳定性变差.

在仿真2中，轨道坡度分别取8‰、 10‰、 12‰，车辆进入变坡点后，系统气隙位移的变化如图 5所示. 从图中可以看出，系统稳定性对于轨道坡度的变化很敏感. 在其它参数相同的情况下，随着坡度增大，悬浮气隙变化快速增加，系统稳定性变差.

在仿真3中，间隙传感器距离电磁铁前端的距离分别取0.005 m、 0.01 m、 0.02 m，车辆进入变坡点后，系统气隙位移的变化如图 6所示. 从图中可以看出，在其它参数相同的情况下，随着安装位置远离车体前端，悬浮气隙变化增大，系统稳定性变差. 但由于传感器安装的位置物理量本身较小，其对于系统稳定性的影响没有车速和轨道坡度大.

在仿真4中，车体质量分别取1 600 kg、 2 000 kg、 2 400 kg，车辆进入变坡点后，系统气隙位移的变化如图 7所示. 从图中可以看出，系统稳定性对于车体质量的变化也很敏感. 在其它参数相同的情况下，随着车体质量增大，悬浮气隙变化快速增加，系统稳定性变差.

5 结论

本文针对低速磁浮列车上下坡过程中出现的车辆砸轨现象，通过设计系统模型理论分析了车辆速度、 传感器安装位置、 轨道变坡点处坡度等因素对于车辆稳定性的影响.

研究表明，当车辆经过轨道变坡点时，车辆速度与轨道坡度对于系统稳定性有影响，悬浮系统稳定性随着车辆速度增加和轨道坡度变大而变差； 车体质量对系统稳定性有较大影响，质量越大，稳定性越差； 同时传感器的安装位置造成的控制系统时滞对于稳定性也有影响，并可能造成系统不稳定. 因此在一定的悬浮控制方式及相应的车—轨条件下，由于轨道坡度不能改变，为了提高系统的稳定性，车辆在上下坡时应适当减速运行，或减轻车辆载重. 通过数值仿真验证了理论分析中系统主要参数与悬浮稳定性之间关系的正确性. 结论可供磁浮车辆和轨道系统设计参考.