1 引言

控制系统广泛应用于科学和工程应用领域. 众所周知，滤波问题在控制系统的设计及其信号处理中具有重要的理论和实际意义. 卡尔曼滤波算法^[1]要求对噪声输入信号进行精确统计，且不确定性因素使其失去最优性，严重时引起滤波发散. 而H_∞滤波算法^[2]将噪声输入信号看作能量有界信号，有效解决了卡尔曼滤波算法对噪声输入信号的限制，同时考虑了系统参数的不确定性，具有良好的鲁棒性. 因此，H_∞滤波算法受到了人们越来越多的关注.

另一方面，非线性、 时滞、 不确定性和随机因素广泛存在实际系统中，制约了系统的分析设计. 近年来，对含有这些制约因素的系统的H_∞滤波问题引起了广大学者的关注，取得了相当多的研究成果. 文^[3]研究了一类具有多面体不确定性系统的保H_∞性能的参数依赖滤波器设计问题. 文^[4]和文^[5]分别针对时滞系统和非线性系统的H_∞滤波器设计问题进行了研究. 文^{[6, 7, 8, 9]}研究了一类非线性时滞系统的H_∞滤波器设计问题. 文^[10]考虑了时变时滞下界不为零的情形，对一类含有区间时变时滞的非线性系统的H_∞滤波器设计问题进行了研究. 文^{[11, 12, 13, 14]}研究了随机系统的H_∞滤波器设计问题. 然而，上述研究结果^{[3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]}均没有考虑随机传感器故障模型. 实际上，由于传感器部件老化，所处工作环境恶劣等原因，传感器将不可避免发生故障. 为了保证控制系统的安全性和可靠性，随机传感器故障模型在系统分析设计中也应该考虑进来^{[15, 16, 17]}. 据作者所知，还没有满足含有随机传感器故障的非线性随机时滞系统的H_∞滤波器设计问题的相应研究结果.

基于上述讨论，本文将针对一类含有随机传感器故障的随机非线性时滞控制系统的H_∞滤波器设计问题进行研究. 采用时滞划分推导出滤波误差系统在概率空间上全局渐近稳定的充分条件，在此基础上得到显示表示的滤波器参数，最后通过仿真验证了设计的有效性和可靠性.

2 问题描述

考虑一类含有it$\hat{o}$过程的非线性时滞系统，采用如下T-S模糊模型进行描述：

规则i： IF θ₁(t)为M₁ⁱ，θ₂(t)为M₂ⁱ，…，θ_g(t)为M_gⁱ，THEN

其中，τ≥0为定常时滞； i=1，2，…，l，l为IF-THEN规则数； Φ(t)为定义在[-τ，0]上的连续函数； x(t)∈Rⁿ、 y(t)∈R^m、 z(t)∈R^q、 v(t)∈R^s为相应的系统状态，测量输出、 估计输出和属于￡₂[0，∞)的外界干扰输入信号； w(t)为定义在一个完备概率空间(Ω，Γ，P)上具有自然流｛Γ_t｝_t≥0的1维标准布朗尼运动，满足E｛dw(t)｝=0和E｛dw²(t)｝=dt，E｛·｝表示数学期望，以下同；A_i 、 A_di、 B_vi、 C_i、 C_di、 D_vi、 E_i、 E_di、 E_vi、 F_i、 F_di、 F_vi、 L_i为第i个局部线性子系统适当维数的系数矩阵.

通过单点模糊化、 乘积推理、 中心平均反模糊化方法，可得下列全局动态模糊系统模型：

其中，θ(t)=[θ₁(t)，…，θ_g(t)]，简记为θ；$\prod\limits_{k=1}^{K}{{}}$M_kⁱ(θ_k)为第i条规则的启动强度； 权重u_i(θ)=，i=1，2，…，l，简记为u_i； M_kⁱ(θ_k)为隶属度函数M_kⁱ作用在θ_k上时相应的隶属度. 任意时刻都有u_i≥0，$\sum\limits_{i=1}^{l}{{}}$u_i=1.

通常假设滤波器和系统具有相同的模糊规则，采用类似于模糊控制器(或观测器)设计时所使用的并行分配补偿(PDC)方法. 本文设计的滤波器具有如下形式：

其中，xf(t)∈Rⁿ、 z_f(t)∈R^q和${\hat{y}}$(t)∈R^m分别为滤波器的状态、 估计输出和接收到的输入信号，A_fi、 B_fi和L_fi为需要设计的滤波器参数.

在实际的控制系统结构中，由于传感器部件老化或处于恶劣的工作环境下，因此将不可避免地发生故障. 采用如下方式建立完全或部分传感器故障模型，滤波器接收到的实际信号${\hat{y}}$(t)可描述为<

其中， ${\hat{y}}$_i(t)为滤波器接收到的来自第i个传感器发来的信号； Λ_i∈[0，σ]，σ≥1. Λ_i为描述第i个传感器工作状态的随机变量，Λ_i=0代表传感器完全失效； Λ_i=1代表传感器正常工作； 0<Λ_i<1和1<Λ_i≤σ分别代表传感器测量数据比实际值偏小和偏大，此时传感器测量到的数据有些失真. Λ_i的期望和方差分别为${\bar{\Lambda }}$_i和β_i²： 其中， 联立式(1)～(3)并定义如下变量： 可得滤波误差系统的一般形式为 其中， 为了测量扰动对滤波误差的影响，引进如下指标： 其中，γ>0. 易看出γ越小，扰动对误差的影响也越小.

在给出本文的主要结果之前，首先引入如下的定义和引理，其对推导出本文的主要结果起到了至关重要的作用.

定义1^[18] 滤波误差系统(5)如果满足下列条件：

(1) 假定存在一个正定的、 发散的及二次连续的可微的函数V(χ，t)，使得

为负定，其中tr(·)表示矩阵的迹.

(2) 对于所有的非零干扰v(t)∈￡₂[0，∞)，给定一个标量γ，满足：

则称系统的平衡点χ=0为在概率空间上的全局渐近稳定，且H_∞抑制界为γ.

引理1^［19](Schur补) 适当维数矩阵Q=Q^T、 R=R^T、 S：

等价于Q>0，Q-SR^-1S^T>0.

3 增广系统的H_∞控制

本文采用it${\hat{o}}$公式和时滞划分技术来分析设计H_∞滤波器(2). 首先给出如下定理，该定理保证滤波误差系统(5)在概率空间上渐近稳定，且H_∞抑制界为γ.

定理1 给定标量γ>0，τ>0和正整数λ>0，如果存在矩阵$\bar{P}$=$\bar{P}$^T>0、 $\bar{Q}$=$\bar{Q}$^T>0、 $\bar{S}$=$\bar{S}$^T>0、 $\bar{R}$=$\bar{R}$^T>0，A_fj、 B_fj、 L_fj和适当维数矩阵满足下列矩阵不等式：

其中， 则系统(5)全局渐近稳定，且满足H_∞抑制界为γ.

证明 将时滞区间[t-τ，t]均分为λ个子区间，并定义：

构建以下基于时滞划分的Lyapunov-Krasovskii泛函^[20]：

对式(8)应用it$\hat{o}$微分法则沿系统(5)的轨迹求dV(t)可得：

其中，

由Newton-Leibniz公式，并引进自由权矩阵${\bar{X}}$来寻找其中各项的关系，则有下式成立：

其中，ξ^T(t)=[ζ^T(t)χ^T(t-τ)v^T(t)]. 对等式(10)中的分布时滞项进行交叉项估计有：

综合以上分析，联立式(9)～(11)，可得

其中，

对式(12)取期望，注意到E｛Λ-${\bar{\Lambda }}$｝=0和由it${\hat{o}}$积分性质：

经计算可得如下结果：

其中， A+A^T记为〈A〉_s，以下同.

考虑加入性能指标(6)，对于外界干扰v(t)∈￡₂[0，∞)，由E｛V(0)｝=0，E｛V(t)｝≥0，根据式(6)和式(12)可得出：

其中， 根据： 可得 因此，利用引理1不难得出：

由式(7)可以看出：

因此根据式(13)可得出J(t)<0，$\forall $t>0. 证毕.

4 H_∞滤波器设计

第3节给出了滤波误差系统在满足一定扰动抑制能力下，系统全局渐近稳定的充分条件，但其中含有两个未知矩阵变量乘积的非线性项，且没有给出滤波器参数的显式表示. 本小节利用矩阵全等变换，对定理1进行线性化处理，同时得到当H_∞性能指标γ>0给定时，滤波器相应的系数矩阵的LMI求解形式.

定理2 给定一个标量γ>0、 τ>0和一个正整数λ，如果存在矩阵P=P^T>0、 Q=Q^T>0、 S=S^T>0、 R=R^T>0、 T>0、 X、 ${\tilde{A}}$_fj、 ${\tilde{B}}$_fj、 ${\tilde{L}}$_fj满足下列LMIs：

其中： 则称滤波误差系统(5)在概率空间上全局渐近稳定且扰动对滤波误差的影响小于γ，相应的滤波器参数为

证明 将正定对称矩阵${\bar{P}}$划分为 其中P=P^T>0， W=W^T>0， N=N^T，令：

用J和J^T分别左乘和右乘式(14)的两端，并引进如下新变量：

可知，式(15)等价于式(14). 结合式(16)，采用文^[21]中的等价变换${\tilde{x}}$_f(t)=(N^-TW)xf(t)可以得到本文需要设计的滤波器参数： 证毕.

5 仿真算例

本节将给出一个数值例子，来验证本文所提出的滤波器设计方法的有效性和可靠性. 考虑基于控制系统的一个特定T-S模糊模型，其具有两个局部线性系统，参数分别为：

(1) 第1个局部线性子系统参数：

(2) 第2个局部线性子系统参数：

权重u₁=sin²(x₁(t))，u₂=cos²(x₁(t))； H_∞抑制界γ=1.8； 时滞时间τ=0.8 s； 第1个传感器参数${\bar{\Lambda }}$₁=0.8，β²₁=0.16； 第2个传感器参数${\bar{\Lambda }}$₂=1.1，β²₂=0.09. 此时对应的传感器参数${\bar{\Lambda }}$=diag(${\bar{\Lambda }}$₁，${\bar{\Lambda }}$₂)=$\left[ \begin{matrix} 0.8 & 0 \\ 0 & 1.1 \\ \end{matrix} \right]$，β=$\left[ \begin{matrix} 0.4 & 0 \\ 0 & 0.3 \\ \end{matrix} \right]$. 根据给定参数下滤波误差系统是否有可行解选择合适的时滞划分数λ. 这里取λ=1就可以使时滞系统具有可行解，应用定理2可以求解出需要设计的滤波器参数为

选择外部输入干扰为v(t)=$\frac{{{e}^{-t}}}{1+t}$，t≥0，系统初始状态χ(t)=^{[1, -1, 0, 0]T}，仿真时间T=10 s，仿真步数为2¹⁰，仿真结果如图 1、 2所示.

从图 1可以看出，含有随机传感器故障和随机摄动的系统状态响应能很快收敛到初始状态，并一直保持稳定. 从图 2可以看出，滤波误差很快趋于0，滤波器的估计输出跟踪系统的估计输出.

根据以上仿真结果可以看出，含有随机传感器故障和随机摄动的系统在外界干扰作用下能够保持稳定，系统具有很好的安全性和鲁棒性. 因此，所设计的滤波器能够满足系统滤波需要.

6 结论

本文研究了一类含有随机传感器故障和it${\hat{o}}$过程的非线性时滞控制系统的H_∞滤波器设计问题. 主要应用it公式，时滞划分技术和LMI方法来分析和设计滤波器. 所设计的滤波器能够满足一类同时具有随机传感器故障和随机摄动的非线性时滞控制系统的滤波需要，且满足H_∞范数界. 仿真结果表明了设计方法的有效性和可靠性.

本文的研究结果是基于传统控制系统框架下被控对象的数学模型为具有定常时滞的非线性随机系统. 一方面，定常时滞为时变时滞的特殊情况； 另一方面，网络控制系统广泛应用在汽车工业，远程操控，飞行器系统等领域，带来了许多革新性的影响. 因此，考虑基于网络的具有随机传感器故障的非线性随机时变时滞系统的H_∞滤波器设计问题，有待今后进一步深入研究.