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不确定线性系统有限时间状态估计与故障重构
陈滟涛, 谢东垒, 谢贝贝, 杨俊起    
河南理工大学电气工程与自动化学院,河南 焦作 454000
摘要:针对具有外部干扰和执行器故障的不确定线性系统,给出了一种有限时间内估计系统状态及重构执行器故障的方法.首先,通过状态和输出等价变换,得到不受执行器故障和建模不确定信息干扰的降维解耦系统.在此基础上设计有限时间状态估计器,并设置任意小的时延参数,实现对降维系统状态的有限时间估计,从而达到对原系统状态有限时间估计的目的;其次,考虑高增益滑模微分器对系统输出微分进行有限时间估计;之后,在原系统状态和系统输出微分有限时间估计的基础上,提出一种对系统不确定信息和执行器故障同时估计的方法;最后,通过对具有执行器故障的F-16飞行器纵向系统模型进行仿真,验证所提方法的有效性.
关键词状态估计     故障重构     执行器故障     等价变换    
The Finite-time State Estimation and Fault Reconstruction for Uncertain Linear Systems
CHEN Yantao , XIE Donglei, XIE Beibei, YANG Junqi     
School of Electrical Engineering and Automation, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China
Abstract:To address a class of uncertain linear systems with external disturbances and actuator faults, we propose a method for estimating the finite-time state and reconstructing the actuator faults. First, by state and output equivalent transformations, we obtain a reduced-order decoupled system that can eliminate the influence of both actuator faults and disturbance information from the modeling uncertainty. Based on the above transformations, we present the finite-time estimator in which we employ a delay that can be set to be small enough for the purpose of estimating the states of reduced-order system in finite-time such that the purpose of finite-time state estimation can be realized for the original system. Second, we consider a high-gain sliding mode differentiator to exactly estimate the derivative of the output vector of the original system in finite time. Next, based on the estimates of both the state and output derivative of the original system, we propose an information reconstruction method that can simultaneously estimate actuator faults and uncertain information. Finally, we provide F-16 aircraft model subjects to actuator faults and validate the effectiveness of the proposed method.
state estimation     fault reconstruction     actuator fault     equivalent transformation    

 1 引言

针对具有未知干扰的线性或非线性系统,对系统的状态进行估计,即进行未知输入观测器设计,近年来得到了国内外专家学者的广泛关注. 在过去几十年中,各种各样的未知输入观测器设计方法已经被提出[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9],并已在故障诊断等领域得到了广泛应用[10, 11, 12]. 然而,上述文献都是在渐近收敛的意义上对系统的状态进行渐近估计. 比较而言,有限时间状态观测器能够在任意短的有限时间内实现对系统状态的估计. 在有限时间观测器的设计中[13, 14, 15, 16, 17],文[13]基于Luenberger观测器设计思想,针对无未知输入干扰的线性系统,设计了一种有限时间状态估计器. 文[15]给出了一种线性系统有限时间函数观测器设计方法. 文[17]把有限时间观测器设计方法扩展到多输出非线性系统,提出了一种全局有限时间非线性观测器设计方法.

故障诊断技术通常是通过系统输出和观测器输出之间的残差实现故障检测和隔离[18]. 基于未知输入观测器[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]的故障诊断技术[10, 11, 12, 18],故障诊断的及时性往往受到观测器误差系统的渐近收敛性能的影响,尤其对系统运行初始故障的检测和诊断并不有效. 有限时间状态估计器可以通过设定有限时间参数大小,从而在有限短的时间内实现对系统状态的估计,以保证对初始故障诊断的及时性. 基于此,本文给出了一种基于有限时间观测器的状态估计方法,并通过考虑一种高增益滑模微分器,实现对系统输出微分的有限时间精确估计. 在状态和输出微分的精确估计基础上,给出了一种执行器故障有限时间重构方法.

2 系统描述

考虑如下具有执行器故障的不确定系统:

其中,x∈Rn、 u∈Rm和y∈Rp分别为状态向量、 已知控制输入向量和可测输出向量; η∈Rk为建模不确定性或外部干扰,其信息相对于系统是未知的且被看作系统的未知输入; f∈Rq是系统的执行器故障信号; 矩阵A、 B、 C、 D和E是具有相应维数的常量矩阵,且rank(C)=p,rank(H)=q+k和p≥k+h,这里H=[D E].

假设1 假设(A,C)是完全可观的且满足下述秩条件:

其中l=q+k.

假设2  系统(1)的状态向量、 故障及未知信息及其微分是范数有界的.

本文系统在存在执行器故障及建模不确定性等未知输入的情况下,实现有限时间内的系统状态估计,从而使得在初始运行的短时间内出现的执行器故障得以有效估计或重构.

引理1  给定系统(1),秩条件(2)成立的条件为:当且仅当存在非奇异变换矩阵U和V使得[2] UAU-1= 成立,其中A11∈R(q+k)×(q+k)A22∈R(n-q-k)×(n-q-k)C2∈R(n-q-k)×(n-q-k)和可逆矩阵 C1∈R(q+k)×(q+k)且rank(H1)=q+k.

3 有限时间状态估计

本节主要实现对原系统(1)的有限时间状态估计. 首先,取状态变换x=Ux和输出变换y=Vy,在假设秩条件1成立的情况下,具有执行器故障的不确定系统(1)能够被转换为下述等价系统:

其中,x1∈Rq+k,输出分量y1∈Rq+k,$\phi $=[ηTfT]T,系数矩阵由引理1给出. 若矩阵C1是可逆矩阵,那么根据转换后的状态系统(3)可知,状态分量x1可以直接由输出分量y1得到,即x1=C-1y11. 故由式(3)可以得到状态分量x2的状态空间方程如下:

注1  为了在有限时间内,达到对原系统状态估计的目的,需要针对状态和输出变换后的降维系统(4),在有限时间内对其状态进行估计,并进而利用等价变换得到原系统状态的估计. 因此,基于文[13]构建降维系统(4)的有限时间状态估计器,以达到对其状态进行有限时间估计的目的.

对于降维系统(4),构造如下2个Luenberger观测器:

其中,$\hat{\bar{x}}$2,1∈Rn-q-k,$\hat{\bar{x}}$2,2∈Rn-q-k,矩阵L1L2是待设计的观测器增益矩阵. 假如取矩阵A1=A22-L1C22=A22-L2C2,那么式(5)和式(6)可统一写为
其中,

定理1  通过极点配置选择增益矩阵L1L2,使得A是Hurwitz矩阵,且子矩阵块A1A2的最大特征值实部满足如下关系:

其中,l=1,2,…,n-q-k. 对于t≥t0+τ,状态:
能够在有限时间τ内估计降维系统(4)的状态,其中,
且时间参数τ是任意的正常量.

证明  令误差方程为,则可以得到式(4)和式(7)之间的误差系统为

进一步可以得到:
因此,对于给定的正常量τ和t≥t0+τ,式(11)意味着:
基于式(9)和式(12),容易得到:
又因为:
所以:
其中,Δ=e1τ-e2τ. 基于式(10)可以得到:
故,
此外,由于:
所以:

将式(14)和式(15)代入式(13),可得$\hat{\bar{x}}$2=x2. 故在式(8)成立的情况下,由观测器系统(7)可得具有增益矩阵S的估计状态(9)能够在有限时间τ内估计降维系统(4)的状态.

注2  由于τ是任意正常量,所以理论上其值可设置为无限小,即定理1可以在任意有限小的时间内估计降维系统(4)的状态,这为重构执行器故障提供了基础. 容易通过极点配置求得满足条件(8)的增益矩阵L1L2. 同时,条件(8)也是增益矩阵S存在的充分条件[12].

注3  对于t∈[0,τ)和初始时刻t0=0,由式(11)得. 对于t∈[-τ,0],设υ(t)=υ(t0)= ,结合状态估计式(9),进一步有.

将式 (14)和式(15)代入上述状态估计式,可得 $\hat{\bar{x}}$2(t)=. 其中,t∈[0,τ). 结合式(15)可知,在t=τ时,$\hat{\bar{x}}$2是降维状态$\hat{\bar{x}}$2的精确估计.

在基于定理1得到降维系统(4)的有限时间状态估计之后,基于状态等价变换x=Ux容易得到原系统(1)的状态估计,即可以得到如下推论.

推论  在条件(8)成立的情况下,由式(7)、 式(9)和式(10)组成有限时间观测器,系统(1)的有限时间状态估计为

4 执行器故障重构

本节通过构造有限时间滑模微分器,对系统输出的微分进行有限时间精确估计,并在此基础上给出执行器故障和建模不确定信息的估计方法.

将系统输出y表示为y=[y1y2 … yp]T,其中yi=cix(i=1,2,…,p)为系统输出的第i个分量,其中ci是输出矩阵C的第i行向量. 针对系统输出的第i个分量yi,基于假设2并构造如下高增益滑模微分器:

依据文[19],合理选择微分器的高增益参数li1和li2,则在有限时间内可以使得下述方程组成立:

根据式(17)可知,如果在有限时间内式(18)成立,那么可以得到$\dot y$i=$\dot z$i1=zi2,即zi2在有限时间内是系统输出分量yi微分的精确估计. 从而可以得到向量z=[z12z22…zp2]T是原系统输出向量微分$\dot y$=[$\dot y$1$\dot y$2…$\dot y$p]T的精确估计.

基于高增益滑模微分器得到输出微分的估计之后,下面基于原系统(1),提出能同时对执行器故障和未知干扰估计的方法. 由系统(1)容易得到$\dot y$=C(Ax+Bu+H$\phi $),进而根据假设1可以得到:

其中,(CH)+是列满秩矩阵(CH)的佐伪逆矩阵.

基于推论1和高增益滑模微分器,给出如下用于对原系统的执行器故障和未知输入进行估计方法.

定理2  在假设1和假设2成立的前提下,那么下式估计是执行器故障和未知建模不确定性信息的估计.

证明  根据式(19)和式(20)容易得到估计误差方程为${\tilde \phi }$=(CH)+(${\tilde z}$-CA${\tilde x}$),其中${\tilde z}$=z-$\dot y$、 ${\tilde \phi }$=${\hat \phi }$-$\phi $和${\tilde x}$=${\hat x }$-x. 由推论1知z和${\hat x }$分别是输出微分${\dot y}$和状态x的有限时间估计,故${\hat \phi }$是$\phi $的有限时间估计.

在得到未知向量$\phi $的有限时间估计${\hat \phi }$之后,由于$\phi $=[ηTfT]T,可得执行器故障和未知信息的估计为

5 仿真

为了验证本文所提方法的有效性,本节考虑对具有执行器故障和未知干扰的F-16飞行器模型进行仿真[20]. 在飞行器参数分别为: 高度H=500 m,发动机油门参数T=0.146 4,总空速Vt=152.4 m/s和参考重心位置参数Xcg=0.35的情况下,假设系统状态参数x=[αwβvχr]T,其中α、 v、 w分别为飞行器沿X、 Y和Z坐标轴方向的速度分量; χ、 β和r分别为飞行器的侧倾角、 俯仰角和偏航角. 系统的已知输入u=[δhr δhl δar δal δr]T,其中δhr、 δhl、 δar、 δal和δr分别为右横向稳定器、 左横向稳定器、 右副翼、 左副翼和方向舵的信号. 系统输出向量为y=[β μrot rstab $\vartheta $ θ]T,其中μrot为稳定轴滚转角,rstab为稳定轴偏航角,$\vartheta $和θ分别为攻击角和侧滑角. 那么形如式(1)的F-16飞行器纵向模型如下:

在仿真中,执行器故障设定为f=2.5cos(2t),建模不确定性或外部未知干扰为η=1.6sin(2.6t+2.8),已知输入向量为u=[u1u2u3u4u5]T,其中u1=sin t、 u2=3cos(2.5t)、 u3=sin(1.8t)、 u4=cos(4.2t+1.8)、 u5=2.8cos(3.2t-9.6).

基于文[2],可得满足引理1的非奇异变换矩阵U和V,并利用状态变换x=Ux和输出变换y=Vy,那么原系统可转化为分解系统(3),并进而得到降维解耦系统(4). 对于(A22C2)和期望特征值组Π={-1,-3,-5,-7}和Π′={-10,-13,-15,-17},通过极点配置获得满足λl(A22-L1C2)∈Π和λl(A22-L2C2)∈Π′的观测器矩阵L1L2,即条件(8)得以满足. 进而得到观测器系统(7)中的参数矩阵AL、 T、 B. 设有限时间参数τ=0.5,得满足式(10)的状态估计矩阵S. 之后,设置初值υ(0)=[$\hat{\bar{x}}$2,1T(0) $\hat{\bar{x}}$2,2T(0)]T=[x2T(0) x2T(0)]Tx2(0)=[-0.61 0.53 -0.21 -0.87]T,那么根据式(7)、 式(9)和注3,可得如图 1所示的有限时间状态估计误差曲线.

图 1 τ=0.5时的x2估计误差曲线 Fig. 1 Error curves of x2 when τ=0.5

图 1可知,在系统运行的0.5 s内实现了状态估计. 为了更进一步说明由式(7)和式(9)形成的状态估计器的有限时间估计特性,在初始值不变的情况下,设定有限时间参数τ=0.1,可得到此时的状态估计效果如图 2所示. 由图 1图 2可知,在改变时间参数的情况下,状态估计器可以在任意小的设定有限时间内实现状态估计.

图 2 τ=0.1时的x2估计误差曲线 Fig. 2 Error curves of x2 when τ=0.1

以下仿真是在τ=0.5的情况下进行. 在得到降维系统的状态估计之后,基于推论1中式(16),可进一步得到原系统的状态估计. 系统状态初值设定为x(0)=[0.8 0.42 -0.65 0.53 0.21 -0.45]T,则可得原系统状态估计误差曲线如图 3图 4所示,由图可知其有限时间状态估计效果很明显.

图 3 状态x1~x3估计误差曲线 Fig. 3 Error curves of x1~x3

图 4 状态x4~x6估计误差曲线 Fig. 4 Error curves of x4~x6

在得到原系统(1)的状态估计之后,为了进一步了解系统的执行器故障信号,这里首先采用高增益滑模微分器(17),对系统输出信号的微分进行精确估计. 之后,基于输出微分信号的估计和系统的状态估计,利用式(20)和式(21)可以得到原系统执行器故障信号f的估计,同时也可以得到建模不确定等未知信息η的估计,其估计效果如图 5图 6所示.

图 5 执行器故障f的重构曲线 Fig. 5 Reconstructed curves of f

图 6 未知输入η的重构曲线 Fig. 6 Reconstructed curves of η
6 结论

本文基于状态和输出等价变换及有限时间状态估计理论,提出了一种同时对执行器故障与系统建模不确定性信息进行估计的方法. 首先,通过等价变换将具有未知信息和执行器故障的系统转化为降维解耦系统; 其次,通过设计有限时间状态估计器,实现对降维系统状态的估计,并基于状态变换得到原系统状态的有限时间估计; 最后,考虑一种高增益滑模微分器,对系统的输出微分信息进行有限时间精确估计,并在状态和输出微分有限时间估计的基础上,提出一种未知信息重构方法,从而达到对执行器故障重构的目的.

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"http://dx.doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2016.0129"
中国科学院主管,中国科学院沈阳自动化研究所、中国自动化学会共同主办。
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陈滟涛, 谢东垒, 谢贝贝, 杨俊起
CHEN Yantao, XIE Donglei, XIE Beibei, YANG Junqi
不确定线性系统有限时间状态估计与故障重构
The Finite-time State Estimation and Fault Reconstruction for Uncertain Linear Systems
信息与控制, 2016, 45(2): 129-134.
INFORMATION AND CONTROL, 2016, 45(2): 129-134.
http://dx.doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2016.0129

文章历史

收稿日期:2015-03-03
录用日期:2015-05-04
修回日期:2015-05-22

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