1 引言

由于机械臂在自动化生产过程中的重要作用，近年来对机械臂的控制问题成为了研究的热点. 其中，关于机械臂的轨迹跟踪问题的研究尤其活跃^[1-2]. 机械臂的轨迹跟踪控制广泛采用计算力矩的方法^[3]. 但是随着对跟踪精度和速度等要求的提高，就不得不考虑摩擦和扰动等不确定性因素. 这也给计算力矩的控制方法，带来了新的挑战. 而处理这些不确定因素的一个比较好的方法是对其进行逼近，然后进行补偿. 基于此思路，神经网络的非线性逼近能力可用于实现对机械臂的不确定性的补偿^[4-7]； 神经网络理论比较成熟，但是难以应用一些已知的信息和相关经验来设计控制系统. 席雷平等人利用非线性干扰观测器，来处理机械臂存在的不确定干扰^[8]. 尽管这种方案提高了机械臂关节的跟踪精度，但非线性干扰观测器设计要求干扰的变化是十分缓慢的. 廖武等人给出了一种鲁棒补偿器，来实现对不确定性的补偿^[9]. 这种方法能够起到不错的效果，但是鲁棒补偿器的参数选择过于繁难. 文^[10-16]利用模糊系统的万能逼近特性来实现对不确定性的逼近，然后进行相应的补偿处理，并为模糊系统设计了相应的自适应律. 模糊补偿方案是目前应对不确定性的较好的方法，但为了保证逼近精度，必须使用更多的模糊规则，目前研究的自适应模糊系统普遍存在维数较高的问题. 文^[17]所构造的自适应律采用鲁棒控制的方法克服不确定性带来的影响，该控制器的鲁棒性较强，但是鲁棒控制是一种十分保守的控制器，其稳定性在大多数情况下是以牺牲动态性能来保障的.

本文针对具有不确定性的机械臂，提出一种基于计算力矩与不确定性补偿的自适应控制方案. 针对机械臂的标称部分，直接采用计算力矩的方法设计出相应的控制量. 对于机械臂的不确定性摩擦，则构造相应的模糊系统进行逼近. 考虑到机械臂存在的扰动为时变的有界变量，因此可针对扰动设计一个附加的反馈控制量，以克服其带来的影响. 为保证控制系统的稳定性，均基于李亚普诺夫稳定性理论选择所用的控制律.

2 问题描述

针对任意一个n关节的机械臂，在理想情况下(无摩擦和扰动)，其模型如下所示^[18]：

其中，D(q)∈R^n×n为对称的惯量矩阵，C(q)$\dot{q}$∈R^n×n代表离心力和科氏力，G(q)∈Rⁿ代表重力矩，q∈Rⁿ为广义坐标，τ∈Rⁿ为驱动力矩.

实际中机械臂一般还会存在摩擦和扰动等不确定因素，因而机械臂模型可表示为^[13]

其中，F($\dot{q}$)∈Rⁿ为摩擦，一般来说在运动情况下摩擦的数值是速度的函数^[19]. τ_d(q，$\dot{q}$，${\ddot{q}}$，t)为时变的有界扰动变量.

针对理想模型(1)，通常可以利用计算力矩的方法设计控制

其中，q_d∈Rⁿ为给定的跟踪轨迹. 将控制律(3)代入模型(1)可以得到 其中，e=q_d-q为跟踪误差，K_v∈R^n×n，K_p∈R^n×n. 通过选择合适的K_v和K_p，总可以保证式(4)的根分布在复平面的左半平面，从而实现对给定轨迹的渐近跟踪. 如果动力学模型十分精确，计算力矩控制器具有极好的控制性能.

然而机械臂系统具有强耦合、 高度非线性的特点，尤其是当系统参数不确定时，控制系统的设计变得更加困难. 此时利用标称的计算力矩法所设计的机械臂控制系统很难得到令人满意的结果. 例如，对于实际模型(2)，由于包含了摩擦F(${\dot{q}}$)和扰动τd(q，，${\ddot{q}}$，t)等不确定因素，所以显然不能直接运用计算力矩的方法得到合适的控制律.

3 基于自适应模糊算法的控制系统设计

对于任意一个非线性连续函数f(x)(x∈Rⁿ)，根据模糊系统的万能逼近特性，总可以根据一定的模糊规则来构造相应的模糊系统逼近f(x)，实现非线性补偿的目的. 实际应用的机械臂，由于其结构的复杂性，常常存在建模误差，主要为不确定摩擦和扰动. 假设摩擦和扰动在实际中以未知力矩的形式施加于机械臂. 本文构造的复合控制系统，首先针对机械臂普遍存在的摩擦，构造自适应模糊系统逼近摩擦，从而得到摩擦部分的补偿控制量； 对于实际存在的随机扰动，设计反馈控制律，以克服扰动带来的影响； 最后将这两者与计算力矩的控制方法相结合，实现对期望轨迹的跟踪控制. 该复合控制系统的结构如图 1所示.

3.1 模糊系统的构造

首先，针对机械臂关节j(j=1，2，…，n)的摩擦F_j(${\dot{q}}$_j)∈R设计M_j条模糊规则<

其中，${\dot{q}}$_j为关节j的速度，F_j(${\dot{q}}$_j)为关节j所受的摩擦力，当${\dot{q}}$_j大小为x_jⁱ时，F_j(${\dot{q}}$_j)大小为y_jⁱ. 根据模糊规则(5)，利用乘积推理机、 单值模糊器、 中心平均解模糊器和高斯隶属度函数构造一个模糊系统${\hat{F}}$_j(${\dot{q}}$_jθ_j)，以逼近实际的不确定摩擦F_j(${\dot{q}}$_j) 其中，σ_jⁱ设计参数，其大小与高斯隶属度函数的覆盖宽度相关； θ_j为参数(y_jⁱ，x_jⁱ，σ_jⁱ)^T的向量集.

3.2 自适应模糊控制器的设计

定义模糊系统的最优参数集合为

构造变量

令${\tilde{\theta }}$_j=θ_j-θ^*_j，其中Λ∈R^n×n，其特征值均大于0. 构造李亚普诺夫函数

其中λ_i>0，λ∈R^n×n=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n).

将式(9)对时间求导，可得

由于A=${\dot{D}}$-2C是斜对称矩阵，即A=-A^T，故有

令x=s，根据式(2)、 式(8)和式(11)，令${\dot{q}}$_t=${\dot{q}}$_d-Λ${\tilde{q}}$，可将式(10)进一步写为

通常时变干扰τ_d是有界的，有

令${\hat{F}}$=(${\hat{F}}$₁(${\dot{q}}$₁θ₁)，${\hat{F}}$₂(${\dot{q}}$₂θ₂)…，${\hat{F}}$_n(${\dot{q}}$_nθ_n))^T，并设计控制律

其中，ρ=diag(ρ(1)，ρ(2)，…，ρ(n))^T，K∈R^n×n为所有元素都大于0的实对角阵. 从式(14)可知，控制器由3部分组成，u_c是基于机械臂的标称部分，利用计算力矩方法得到的控制量. u_v是利用模糊系统逼近摩擦而得到的补偿项. 而u_d则是针对有界时变扰动而设计的反馈控制律，该控制项将消除τ_d对李亚普诺夫导数的影响，将控制律(14)代入式(12)可得： 其中${\hat{F}}$^*=(${\hat{F}}$₁(${\dot{q}}$₁θ₁^*)，${\hat{F}}$₂(${\dot{q}}$₂θ^*₂)…，${\hat{F}}$_n(${\dot{q}}$_nθ_n^*))^T. 将其在θ_i^*进行泰勒展开，可以得到

令w(i)=F(i)-${\hat{F}}$(i)+ο(θ_i-θ^*_i²)，其中ο(‖θ_i-θ^*_i²‖)为‖θ_i-θ^*_i²‖的高阶无穷小量. 则式(15)可改写为

取自适应律

式(17)可化简为

显然-s^TKs<0，$\forall $s≠0，所以在最优逼近误差足够小的情况下有

模糊系统具有万能逼近特性，而自适应律能够保证模糊系统在不同时刻适用于整个状态空间的不同区域，所以条件(20)能够得到满足，因此使得${\dot{V}}$<0. 所以控制律(14)和自适应律(18)能够保证闭环系统的稳定性.

值得注意的是控制量u_d由于采用了符号函数对控制量进行切换，因而在实际控制中可能会存在颤抖现象. 此时可以利用陡峭的饱和函数加以改进

只要ε选得合适(通常在10^-3～10^-4选取)，则可以使得原不连续控制器(14)变为连续的控制器，从而消除颤抖现象.

3.3 自适应律的实现

自适应律(18)中含有偏导数的计算，这可以利用复合函数的求导法则，来实现对的计算，具体方法如下：

而可以按照式(23)计算 可按式(24)计算

这样可由式(22)、 (23)和(24)来计算得到.

4 仿真结果及其分析

为简单起见，不失一般性，机械臂选择为双关节，其简化图如图 2所示. 其中，r₁为机械臂大臂的臂长，r₂为机械臂小臂的臂长，m₁为大臂的质量，m₂为小臂的质量. 其数学模型具体如式(25)所示^[13].

其中，r₁=1 m，r₂=0.8 m； m₁=1.0 kg，m₂=1.5 kg； λ₁=λ₂=0.000 1； 式(14)中，针对扰动ρ=diag(0.05，0.1)、 依据式(14)确定控制律，

本文将上述自适应模糊控制率用于该模型，并与文^[13]所提出的算法进行比较. 跟踪正弦信号的效果如图 3(a)和图 3(b)所示，其中图 3(a)为跟踪情况的比较，图 3(b)为跟踪误差. 图 4是模糊系统对不确定摩擦逼近的情况.

由图 3(a)可以看出，两种算法都能实现对正弦信号的轨迹跟踪，但是从图 3(b)可以看出本文算法在1.5 s之后，机械臂关节1的跟踪误差几乎为0，而文^[13]的算法始终存在一定的跟踪误差. 对比发现，本文所提出算法跟踪精度更高.

图 4是模糊系统对不确定信息逼近的情况. 从图 4可以看出，采用本文提出的自适应律实现了对不确定性摩擦更好的逼近.

跟踪不规则给定信号的效果如图 5所示，其中5(a)为跟踪情况，5(b)为跟踪误差. 跟踪不规则信号时，模糊系统对不确定信息的逼近效果如图 6. 从图 5和图 6再次验证本文算法使得机械臂对给定轨迹具有更高的跟踪精度，对不确定性摩擦的逼近精度跟高.

5 结束语

针对刚性机械臂存在摩擦和扰动等不确定因素给轨迹跟踪控制带来的困难，基于李亚普诺夫稳定性理论，给出了一种机械臂的自适应模糊复合控制策略. 该策略针对机械臂的确定部分设计了相应的控制量，并构造模糊系统逼近摩擦，得到一个补偿控制量，同时利用扰动的有界性设计反馈控制律，以克服扰动带来的影响. 本文设计的基于摩擦以及扰动的自适应律能够保证构造的李亚普诺夫函数的导数负定，因而控制系统的稳定性能能够得到保证. 仿真结果表明，该算法能够显著提高跟踪精度，同时能够很好地在保证模糊系统对不确定性的逼近精度的同时，保证控制器稳定.