1 引言

随着工业自动化水平的不断提高，对于系统安全性和可靠性的要求也随之越来越高，系统中的任何一个故障都可能导致一系列的连锁反应，甚至造成整个系统不能正常工作以及巨大的损失^[1].因此，故障诊断技术得到了越来越多的关注，特别是网络化故障检测问题成为近来学者们研究的热点之一^[2-6].已有研究主要集中在已知网络传输条件下(比如数据丢包^[2-4]、网络诱导时滞^[5-6]等) 的故障检测算法设计，强调故障检测性能在网络传输环境下的鲁棒性.

另一方面，实际数据传输网络的带宽都是有限的.为了提高系统的整体性能，在保证故障检测性能的同时，必须设法减轻网络负担.近年来，文[7-10]提出在反馈信号传输中采用基于“事件触发”的突发性传输机制，取代传统计算机控制中采用的“时间触发”传输机制.通过对反馈信号进行“筛选”，大幅减少不必要的网络传输量，进而降低网络传输时滞、丢包等的发生概率.其中，“周期性事件触发机制”^[9-10]利用了网络控制系统固有的采样控制特性，可以克服“实时事件触发机制”^[7]需要专门另设硬件的缺点，以及“自触发机制”^[8]计算量大和保守性大的不足，因而更具实际应用价值.目前，已有少量文献将事件触发传输机制引入到网络化故障检测问题.文[11]针对连续时间控制系统研究了事件触发故障检测滤波器和控制器的联合设计问题，文[12-13]针对离散时间控制系统研究了故障隔离滤波器设计问题.

但是，文[11-13]都忽略了故障信号的存在频域范围信息.已有研究表明，工程实际中的故障信号往往仅存在于某些有限的频率范围内，例如飞行控制系统中执行器卡死故障的频率为零^[14].受此启发，文[14-16]针对存在

定常时滞下的故障检测问题，基于广义KYP引理^[17]直接对有限频性能进行处理，避免了引入频率加权引起的不精确近似和系统阶数增大等问题.但是，受限于广义KYP引理只能适用于线性时不变系统，文[14-16]的方法无法处理时变时滞情况，也不能直接应用于事件触发通信机制情况.以上讨论构成了本文研究的主要动机和出发点.

本文研究事件触发通信机制下的网络化有限频故障检测问题.首先为了便于描述故障观测器设计目标，提出了有限频输入的定义；然后，结合Finlser引理和有限频输入的特性，提出高频扰动和低频故障作用下的故障观测器设计算法；最后，通过数值算例说明了本文所提出方法的有效性.与已有研究工作相比，本文具有以下特色：

(1) 已有网络化故障检测研究^[2-6]均在假设网络状况已知的基础上设计故障观测器，而本文研究故障观测器与传输机制的联合设计问题，所得条件可以用于获得系统整体性能的最佳折中；

(2) 在事件触发通信机制下，网络化有限频故障检测系统本质上为一个双模切换线性系统，文[14-16]中所采用的频域方法将不再适用.为了克服这个困难，本文借鉴有限频不等式的时域解释^[18]，提出有限频输入的定义，从而直接在时域上设计故障观测器.

2 问题描述

考虑如下线性被检测系统

(1)

其中，和分别为系统状态、系统输出、有界干扰输入和故障输入；A，D，F和C为适维常数矩阵；假设(A，C) 可观测，A矩阵Schur稳定.

故障观测器采用如下形式：

(2)

其中，分别为故障观测器的状态和残差输出；y_k为事件发生器根据触发条件(3)，通过数据网络发送给故障观测器的系统输出.

(3)

其中，为触发条件函数，σ>0为触发阈值. 图 1给出了事件触发传输条件下的故障检测系统结构.

为简化问题，本文不考虑网络诱导时滞、丢包等因素，即故障观测器的输入与事件触发器的输出相同.结合式(1) 和式(2)，故障检测系统具有如下双模线性系统形式

(4)

其中，为增广状态. i表示由事件发生器决定的系统运行模态：如果；否则，i=0.式(4) 中参数矩阵为

根据式(4) 中增广状态ξ_k的定义，事件触发条件(3) 可以等价表示为

(5)

其中，

为了便于描述本文的设计目标，首先提出如下有限频输入的定义.

定义1  考虑如下离散时间系统

(6)

如果在输入信号υ_k∈L₂的作用下，系统状态η_k满足

(7)

或

(8)

或

(9)

则称υ_k∈L₂分别为对应于的低频输入、对应于的中频输入或对应于的高频输入.

注1  定义1给出的“有限频输入”概念，借鉴了文[18]中有限频不等式的时域解释.输入信号的“有限频特性”表现为对系统状态的驱动能力，例如：对应于的低频输入υ_k∈L₂满足不等式(7)，意味着在输入υ_k作用下系统状态η_k的相对变化速率低于.

基于定义1，本文的设计目标为：设计故障观测器(2) 和事件触发机制(3)，使得故障检测系统(4) 渐近稳定，且满足以下性能：

(ⅰ) (扰动抑制性能) 对于给定的γ>0，在对应于频率范围的高频扰动作用下，满足

(10)

(ⅱ) (故障灵敏性能) 对于给定的β>0，在对应于频率范围的低频故障作用下，满足

(11)

注2  在事件触发通信机制下，网络化故障检测系统(4) 不再为线性时不变系统，文[14-16]所采用的频域方法也将无法直接应用.为此，本文借助定义1中给出的有限频输入概念，提出由式(10)、式(11) 描述的时域性能指标.值得注意的是，指标(10)、(11) 可以看作广泛用于非线性系统分析的L₂增益方法^[19]在有限频域的推广.而且，基于有限频输入概念，也可以方便地进行时变时滞或随机丢包条件下有限频故障检测问题的研究.

3 故障观测器设计

本节首先分别针对没有故障输入情况和没有干扰输入情况，给出扰动抑制性能条件和故障敏感性能条件，然后结合这两个条件，提出故障观测器设计方法.

3.1 系统性能条件

(1) 扰动抑制性能条件

假设系统(4) 中没有故障输入(f_k≡0)，考虑只有高频扰动ω_k作用下的系统

(12)

引理1  假设系统(12) 渐近稳定，给定γ>0，σ>0，，L和Ω，如果存在矩阵，X₁和标量α_1，ij>0，β_1，ij>0，使得对于i，j∈{0，1}，满足

(13)

其中，

则系统(12) 在对应于的高频扰动作用下，满足扰动抑制性能(10).

证明  令，对式(13) 左乘ζ_k^T、右乘ζ_k，再根据Finsler引理，式(13) 等价于

(14)

令，展开式(14) 可得

(15)

其中，tr (·) 表示矩阵的迹.

对式(15) 的两边从k=0到∞求和，可得

(16)

其中，

进一步，结合干扰输入ω_k的高频特性，有

注意，上式中的最后一个等式是基于零初始条件和系统渐近稳定的假设.

考虑到Q₁>0，则有

(17)

由触发条件(5)，可得

(18)

将式(17) 和(18) 代入式(16)，并结合系统的零初始条件和渐近稳定性，可得.证毕.

(2) 故障敏感性能条件

假设系统(4) 中没有干扰输入(ω_k≡0)，考虑只有低频故障f_k作用下的系统

(19)

引理2  假设系统(19) 渐近稳定，给定β>0，σ>0，，L和Ω，如果存在矩阵，X₂，Λ和标量α_2，ij>0，β_2，ij>0，对于i，j∈{0，1}满足

(20)

其中，

则系统(19) 在对应于的低频故障作用下，满足故障灵敏性能(11).

证明  令，对式(20) 左乘、右乘，再根据Finsler引理，式(20) 等价于

(21)

展开(21)，可得

(22)

对式(22) 两边从k=0到∞求和，并且考虑到系统(19) 的零初始条件和渐近稳定性，可得

(23)

其中，.

进一步，基于系统的零初始条件和渐近稳定性，并且结合故障输入f_k的低频特性，有

因此，tr (Q₂Υ₂)≥0.

最后，由触发条件(5)，式(23) 可以保证.证毕.

3.2 故障观测器设计

综合引理1和引理2，可以获得故障观测器设计方法.令W=YL，并设置

(24)

(25)

其中，，可得如下结论.

定理1  假设系统(4) 渐近稳定，给定γ>0，σ>0和，如果存在矩阵和标量α_l，ij>0，β_l，ij>0，对于l=1，2，i，j∈{0，1}满足

(26)

(27)

其中，Ξ_1，ij和L₁在式(13) 中定义，Ξ_2，ij和L₂在式(20) 中定义

则系统(4) 在高频扰动作用下满足性能(10)，在低频故障作用下满足性能(11).进而，可得故障观测器增益矩阵L=Y^-1W.

注3  与引理1和引理2不同，由于故障观测器增益矩阵L未知，在定理1中必须将松弛矩阵X_i(i=1，2) 设置为特殊结构(24) 和(25)，以便使设计条件(26) 和(27) 具有线性矩阵不等式形式.必须注意，当松弛矩阵X_i(i=1，2) 设置为不同结构时，所引入的保守性大小也将不同.经过多次尝试，我们发现采用定理1中的松弛矩阵结构(24) 和(25)，可以引入较小的保守性.但是，对于如何设置松弛矩阵结构以取得最小保守性，目前还缺乏明确的结论.

在使用定理1求解故障观测器时，需要假设系统(4) 渐近稳定.考察系统(4) 的增广状态，其中A矩阵的Schur稳定性保证了x_k收敛，而y_k为通过事件发生器传输的系统输出，也必然随之收敛.因此，实际上只需保证故障观测器状态的收敛性.

基于以上考虑，提出如下两种故障观测器设计算法.算法1将求解故障观测器矩阵L和检验故障观测器稳定性分开进行，本质上是一种试探性的迭代算法.因此，如果算法参数(γ，σ或Ω) 的初始值设置不当，算法1可能耗时而难于获得可行解.算法2通过设置松弛矩阵为特殊结构，将故障观测器的稳定性检验与故障观测器矩阵的求解集成在一起，从而避免了算法1的迭代发散问题.但是将松弛矩阵设置为特殊结构，也给算法引入了很大的保守性.例如，对于本文后节给出的数值算例，算法2表现出比算法1更大的保守性.

算法1(故障观测器设计的迭代算法)

步骤1  给定γ>0，σ>0和Ω，对于矩阵和标量α_l，ij>0，β_l，ij>0(l=1，2，i，j∈{0，1})，计算式(26) 和(27) 的可行解.如果有可行解，计算L=Y^-1W；否则，算法无解.

步骤2  检验矩阵A-LC的Schur稳定性.如果稳定，则故障观测器矩阵为L；否则，调整γ，σ或的设定值，返回步骤1.

算法2(故障观测器设计的非迭代算法)

给定γ>0，σ>0和，对于矩阵 和标量α_l，ij>0，β_l，ij>0，α_3，ij>0，β_3，ij>0(l=1，2，i，j∈{0，1})，求解式(26)，(27) 和

(28)

其中，

如果有可行解，则在故障观测器L=Y^-1W作用下，系统(4) 渐近稳定且满足性能(10) 和(11).

3.3 阈值确定

采用算法1或算法2确定了故障检测器参数L后，可以通过如下方法计算残差估计函数J_r(k) 和阈值J_th：

这样，利用如下规则可以检测故障是否发生：

4 数值算例

考虑一个被检测系统(1)，具有如下参数

假设故障为静态故障，即，扰动为ω_k=0.8cos (10k) e^-0.05k，即.设置β=1，求解算法1，可得对应于不同σ的最佳扰动抑制性能γ_min和网络传输率(如图 2和图 3所示).由图 2可见，随着触发阈值σ的增大，最佳扰动抑制性能γ_min将变差.而且，在一般情况下，触发阈值σ决定了网络传输率. σ越大，传输率越低(见图 3).因此，使用算法1可以进行故障观测器和网络传输机制的联合最优设计，即固定性能指标γ_min，可由算法1获得具有最低传输率的事件触发器；也可以固定触发阈值σ，求取具有最佳扰动抑制性能的故障观测器增益L.在同样的参数设置下求解算法2，无法得到可行解.这表明在本数值算例中，算法2的保守性比算法1更大.

特别值得注意的是，如图 3所示，在σ=0(即，不使用事件触发传输机制) 和σ=0.02两种情况下的最优扰动抑制性能γ_min分别为0.277和0.279，而网络传输率分别为1和0.497 5，这意味着仅以低于1%的性能下降，就可以换取网络传输率大约50%的降低.从而充分说明了通过引入事件触发传输机制对于在保持故障检测性能的条件下，大幅减少网络传输量的显著作用.

最后，设置β=1，σ=0.02，γ=0.279，求解算法1，可得故障观测器增益矩阵为

图 4给出了残差估计函数J_r(k)，其中故障发生在k=30时.由图 4可见，故障发生后，残差估计函数J_r(k) 快速超过阈值J_th，从而被检测出来，这验证了本文所设计故障观测器的敏感性.

5 结论

本文研究了事件触发通信机制下的网络化有限频故障检测问题.将故障检测系统建模为一个双模切换线性系统，并且依据有限频不等式的时域解释定义了有限频输入.提出了两种故障检测器与传输机制的联合设计算法.一种是迭代算法，另一种算法通过设置松弛矩阵为特殊结构，可以一步完成.数值算例说明了，通过引入事件触发传输机制，可以在保持故障检测性能的条件下，大幅减少网络传输量.将本文的方法扩展到存在网络诱导时滞、丢包和量化反馈^[20]等情况，是进一步需要研究的问题.