1 引言

开放经济系统是由国际市场、产品市场和货币市场组成的，国际市场、产品市场和货币市场中各种经济变量总是随着时间变化不断地进行波动与调整，如汇率、利率、价格、税率、总需求、总供给、净出口、投资、消费、政府支出等变量随着时间而发生变化.各种经济变量调整和变动都会对开放经济系统的国际市场、产品市场和货币市场的动态演化产生深刻影响，导致开放经济系统中国际市场、产品市场和货币市场呈现出不断的波动、振荡、失衡等非均衡状态^[1].由于国际市场、产品市场和货币市场的失衡和振荡对开放经济系统运行会产生很大的负面影响，而稳定的国际市场、产品市场和货币市场则会促进宏观经济平稳、快速发展.为了熨平经济波动与失衡对经济发展的负面影响，当局必须依据宏观经济发展态势来设计相应的财政政策和货币政策，以期有效调整与控制开放经济系统演化状态.这就为本文研究提供了切入点.

蒙代尔-弗莱明模型是经济学家Mundell^[2]和Fleming^[3]在封闭经济系统IS-LM模型中，引入了资本流动和国际贸易等开放经济因素提出的，是分析和刻画开放经济系统的一般均衡的重要理论框架工具.蒙代尔-弗莱明模型在宏观经济和国际金融研究有着重要应用，许多学者对其进行了深入研究. Feldstein^[4]利用扩展蒙代尔-弗莱明模型提出孪生赤字理论，即财政赤字和贸易赤字同时减少，后来的经济实践也印证了该理论. Huh^[5]利用澳大利亚数据对蒙代尔-弗莱明模型进行结构数据检验，分析表明货币供给冲击对实际产出没有长期效果，与中国数据检验相反.王志强^[6]等利用基于向量误差修正模型检验了蒙代尔-弗莱明模型对分析中国经济发展变化的适用性以及预测能力.崔蕊^[7]等利用蒙代尔-弗莱明模型分析了中国财政与货币政策的有效性以及不同汇率制度水平下中国宏观经济政策的调整方向.杨佳琪^[8]等将风险因素加入到IS-LM-BP模型中，建立一个新的开放经济研究框架，并着重研究在风险因素影响下BP曲线的变化.逄淑梅^[9]等在标准的IS-LM-BP模型中加入跨境金融资产与负债对货币需求的影响，构建具有管理的浮动汇率、资本不完全流动的两国宏观调控模型，并利用模型分析了财政政策与货币政策的效应.

控制理论和方法主要用于解决工程领域问题^[10]，近年来用控制理论和方法研究经济问题也逐渐增多，取得了丰富的成果. Hochschulassistent^[11]对连续的宏观经济动态系统可控性进行研究.研究表明，许多动力系统可以在任意给定的时间路径通过脉冲控制实现引导目标.熊焰^[12]等构建修正的乘数-加速数模型，对模型的稳定性、能控性、能观性进行了分析，并利用我国统计数据对该经济系统进行仿真分析.焦红兵^[13]等研究了一类以CES生产函数为反馈的定常经济模型的稳定性，并证明非定常经济模型的解析解是全局渐近稳定的.龚德恩^[14]利用动态经济理论构建动态IS-LM模型系统，对封闭经济系统中的财政政策和货币政策的优化与设计问题进行了分析.甄子洋^[15]等利用信息融合最优估计方法针对未来干扰无预见和期望输出的线性系统最优跟踪问题进行研究，得到该问题的近似最优融合控制律，并以一类宏观经济系统为例进行仿真研究. Anisimov^[16]等对人力资源变量波动条件下基于混合约束的一种部门经济增长模型的最优控制问题进行分析和仿真研究.

综上分析，现有对蒙代尔-弗莱明模型研究主要采用经济计量方法、静态或比较静态方法，控制理论在经济研究中应用成果主要针对封闭经济系统，而实际经济系统必然会受到外部(国际) 经济的影响，是动态开放的系统，因此必须对现有封闭经济模型进行拓展，将国际市场引入，以更符合经济发展实际.为此，本文先构建连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型，再对连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型的动态结构特征进行分析，然后设计连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型的控制律并对其解析解的政策意涵进行分析和仿真研究.

2 连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型建立

通常蒙代尔-弗莱明模型是由供需均衡的国际市场、商品市场、货币市场组成的静态模型系统，但实际经济系统是动态演化的，即国际市场、商品市场、货币市场均为非均衡的.当国际市场出现非均衡时，实际汇率则会变动，以调节国际需求.当商品市场出现非均衡时，总供给发生相应调整.当货币市场出现非均衡时，利率则会变动，以调节货币供求.根据上述分析，可构造连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型如下：

总需求方程：

(1)

式(1) 中，D(t)、NX(t)、G(t)、C(t)、I(t) 分别为总需求、净出口支出需求、政府支出需求、消费需求、投资需求.

消费函数：

(2)

式(2) 中，b，C₀，Y(t)^d分别为边际消费倾向、自发性消费水平以及可支配收入.

可支配收入方程：

(3)

式(3) 中，T(t) 分别为税收，Y(t) 为总收入.

税收方程：

(4)

式(4) 中，τ是边际税率.

投资函数：

(5)

式(5) 中，j、g分别为投资对产出和利率变化的弹性系数.

总供给方程：

(6)

式(6) 表明，当商品市场供给大于需求(D(t) < Y(t))，库存增加，生产者会减少生产，因而总供给减少，整个经济活动水平下降；反之，当商品市场供给小于需求(D(t)>Y(t))，生产者会增加生产，因而总供给增加，整个经济活动水平上升；而均衡状态为D(t)=Y(t).

货币总需求函数：

(7)

式(7) 中，L(t) 为实际货币需求，M_d为名义货币需求，L₀为自发性货币需求，P为价格，R(t) 为利率，k，h分别代表货币需求对总产出和利率变化的弹性系数.

利率调节方程：

(8)

其中，为实际货币需求，M_s名义货币供给.式(8) 表明，当货币供给大于货币需求(L(t) < M(t)) 时，利率下降.反之，当货币供给不足(L(t)>M(t)) 时，利率会上升.

净出口函数：

(9)

式(9) 中，q为实际汇率、自发性净出口水平，n，m分别为净出口对产出和汇率变化的弹性系数，q，n，m均为外生参数，为简化计算把简记为E(t).

实际汇率调节方程：

(10)

式(10) 中，F(t)、BP(t) 分别为净资本流出和国际收支差额.式(10) 表明，当国际收支逆差(NX(t) < F(t))，实际汇率将会下降；反之，当国际收支顺差(NX(t)>F(t))，则实际汇率将会上升.

式(1)~(6) 刻画商品市场，式(7)、(8) 刻画货币市场，式(9)、(10) 刻画国际市场.

连续时间的蒙代尔-弗莱明模型的控制目标和变量：

连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统中，政府调控有3个目标：第一，希望总产出Y(t) 按照预先给定增长率δ增长，即总产出Y(t) 趋向计划总供给Y^*=Y₀(1+δ)^t.第二，希望利率稳定在预先给定水平，即利率R(t) 趋向预先给定适当的利率R^*.第三，实际汇率稳定在预先给定水平，即E(t) 趋向预先给定适当的汇率水平E^*，即Y(t)=Y₀^*(1+δ)^t，0 < δ < 1，Y₀^*>0，R(t)→R^*，E(t)→E^*.

根据纯增益反馈控制律的设计要求和连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统的控制目标，系统的输出变量y(t) 可以用矢量形式表示：

净资本流出F(t)、货币发行量M(t)、政府支出需求G(t) 分别是连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统中的汇率政策、货币政策、财政政策的代表变量，也是系统的控制输入变量，其矢量形式为

系统的状态变量为总产出Y(t)、利率R(t)、实际汇率E(t)，其矢量形式为

系统的干扰输入变量为自发性的消费C₀、投资I₀、货币需求L₀、净出口水平q以及计划总供给Y^*、目标利率R^*、目标汇率E^*.其矢量形式为

连续时间的蒙代尔-莱明模型的状态空间形式：

把式(3)、式(4) 代入式(2) 可得：

(11)

把式(1)、(5)、(9)、(11) 式代入式(6) 得：

(12)

把式(7) 式代入式(8) 得：

(13)

把式(9) 式代入式(10) 可得：

(14)

由式(12)~(14) 构成如下蒙代尔-弗莱明模型的动态系统：

(15)

把蒙代尔-弗莱明模型系统(15) 转换为状态空间形式：

(16)

状态空间(16) 中的3个方程分别为动态蒙代尔-弗莱明系统的装置方程、输出误差方程和外扰模型方程.根据纯增益反馈控制律的设计要求和连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统的控制目标，外扰模型方程满足如下边值条件：Y(t₀)=Y₀，Y(t_f)=Y₀^*(1+δ)^t；R(t₀)=R₀，R(t_f)=R^*；E(t₀)=E₀；E (t_f)=E^*，t₀，t_f分别为控制期始端和终端.

状态空间(16) 的系数矩阵分别为

比较上述建模过程可以看出，由于国际市场的引入，使得蒙代尔-弗莱明动态模型与封闭经济系统IS-LM模型在控制目标上有了较大区别.封闭经济系统IS-LM模型的控制目标仅要求系统的总产出按照预先给定增长率增长、利率稳定在预先给定水平，而蒙代尔-弗莱明动态系统，不仅要求系统总产出按照预先给定增长率增长和利率稳定在预先给定水平，而且还要求系统中实际汇率稳定在预先

给定水平，这样就要求蒙代尔-弗莱明动态系统的控制变量、状态变量、输出变量、干扰变量必须适应这一要求，在系统的控制变量、状态变量、输出变量、干扰变量中增加汇率、自发性净出口等影响国际市场平稳运行的因变量以实现蒙代尔-弗莱明动态系统的控制目标.蒙代尔-弗莱明动态系统的控制变量由封闭系统的u(t)=[G(t)，M(t)]^T变为u(t)=[G(t)，M(t)，F(t)]^T；状态变量由封闭系统的x(t)=[Y(t)，R(t)]^T变为x(t)=[Y(t)，R(t)，E(t)]^T；输出变量由封闭系统的y(t)=[Y(t)-Y^*，R(t)-R^*]^T变为y(t)=[Y(t)-Y^*，R(t)-R^*，E(t)-E^*]^T；干扰变量由封闭系统的w(t)=[C₀，I₀，L₀，Y^*，R^*]^T变为w(t)=[C₀，I₀，L₀，q，Y^*，R^*，E^*]^T.正是由于蒙代尔-弗莱明动态系统在控制变量、状态变量、输出变量、干扰变量发生变化，其政策控制难度增大和系统复杂性增强，其政策设计和控制策略也有很大不同，因而对开放经济系统蒙代尔-弗莱明模型的控制策略进行研究十分必要.

3 连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型的系统分析

对于实际经济系统而言，决策者总希望通过系统的输入信号对系统运行状态进行完全控制，使系统具有预期的动态性能.因而，有必要对连续时间的蒙代尔-弗莱明动态经济系统的能达性、能控性、能观性等系统结构特性进行分析.

3.1 系统能达性和能控性

定理1  连续时间的蒙代尔-弗莱明模型动态系统具有能达性与能控性.

证明  计算矩阵B的行列式可得：

则rank (B)=3.

因为能控矩阵Q_c=[B AB A²B]，所以有

即动态蒙代尔-弗莱明模型系统的能控矩阵Q_c的秩为3，Q_c为满秩矩阵，因而连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型具有能达性和能控性.

3.2 系统能观性

定理2  连续时间蒙代尔-弗莱明动态系统的能观性指数为3，具有完全能观性.

证明  计算矩阵C的行列式可得：det (C)=1，则rank (C)=3.

因为能观矩阵，所以有

即连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统能观矩阵Q_o的秩为3，Q_o为满秩矩阵，因而连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统具有能观性.

连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统的状态x(t) 具有能达性、能控性、完全能观性.根据现代控制理论，可以任意配置蒙代尔-弗莱明动态模型闭环系统的极点，使系统渐近稳定并具有良好的动态性能.

4 连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统控制律的设计

连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统的外部干扰输入为w(t)，其纯增益反馈控制器为u(t)，通过配置连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型闭环系统的极点，使系统渐近稳定，同时达到输出调节，即连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统的输出趋向于0，即

假设系统的状态反馈控制律为

其中，F_x为镇定矩阵、F_w为伺服矩阵.根据连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统的控制目标，连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型闭环系统必须渐近稳定，因而设计镇定矩阵F_x的原则是使A+BF_x为渐近稳定矩阵，并且系统具有良好的动态响应过程，即矩阵A+BF_x的特征值必须都在复平面的单位圆内；设计伺服矩阵F_w的原则是系统输出误差的静态值必须为0.根据系统静态误差的装置条件^[17-18]，可知F_w必须满足

(17)

其中，E为3×6阶未知矩阵.

4.1 求解F_x

由于连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统的状态x(t) 具有能达性和完全能控性，可以任意配置连续时间蒙代尔-弗莱明动态模型的闭环系统极点，使其闭环系统渐近稳定.根据设计镇定矩阵F_x的原则，矩阵A+BF_x的特征值必须都在复平面的单位圆内.假设任意给定的3个复平面的单位圆内极点{λ₁，λ₂，λ₃}为矩阵A+BF_x的特征值.

为简化讨论，可令|λ_i| < 1，i=1，2，3，λ_i均是实数.

设

为使A+BF_x为渐近稳定矩阵并具有良好的动态响应过程，可取：

连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型的闭环系统特征多项

式|λI-A-BF_x为

(18)

化简可得：

则

根据设计镇定矩阵F_x的原则，f₁₃，f₂₂，f₃₃取值分别使|λ₁| < 1，|λ₂| < 1，|λ₃| < 1.

4.2 求解F_w

设F_xE-F_w=Q，Q为3×7矩阵.由式(17)，可得矩阵方程：

(19)

解式(19) 可得：

由F_xE-F_w=Q，可知F_w=F_xE-Q，把F_x，E，Q代入可得：

把F_x、F_w代入控制律u(t)=F_xx(t)+F_ww(t)，可得控制律的解析解

即

(20)

把式(20) 回代到连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统，可得式(21)：

(21)

由系统(16) 的外扰模型方程可得：

(22)

把式(22) 回代入式(21) 可进一步可得出：

(23)

根据前面假设可知，f₁₁，f₂₂，f₃₃取值分别使|λ₁| < 1，|λ₂| < 1，|λ₃| < 1.即λ₁=α(b(1-τ)+j-n-1+f₁₁)，λ₂=-β(f₂₂+h)，λ₃=γ(m-f₃₃) 的模小于1.

所以，矩阵为稳定矩阵，因而有：

，即

定理3  连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统可通过纯增益反馈控制器(20)，使其闭环系统渐近稳定，达到输出调节.

定理3表明，可以通过设计控制器(20)，使连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统渐近稳定，并使系统具有预期的动态性能，实现了对蒙代尔-弗莱明动态系统的控制目标.

5 仿真分析

为验证所设计的纯增益反馈控制律对连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统控制的有效性，利用数字算例对连续时间的蒙代尔动态-弗莱明系统演化过程控制进行仿真，仿真工具为Matlab 7.11.

5.1 仿真参数设置与数据说明

为充分体现仿真式(20) 所设计控制律对连续时间的蒙代尔-弗莱明系统控制的有效性，对系统(15) 共涉及22个参变量的设置做如下说明：第一，参变量所赋的值必须满足参数的经济意义和模型要求；第二，参变量所赋的值应选取使得连续时间的蒙代尔-弗莱明系统产生剧烈波动和失衡状态数值，才能更好说明式(20) 所设计控制律对连续时间的蒙代尔-弗莱明系统控制的有效性以及本文理论分析；第三，参变量所赋的值必须体现连续时间的蒙代尔-弗莱明系统作为刻画开放经济系统框架工具的一般性，即参数除了满足条件一、二之外任意赋值也能实现对系统的有效控制.为此，对本文参数做如表 1的设置.

表 1设置中Y₀、q、I₀、C₀的单位为百亿元.在上述设置下，系统的状态变量x(t)=[Y(t)，R(t)，E(t)]^T的初始值为[1，0.02，4]^T，其中总产出Y的单位均为百亿元，汇率E的单位为元.系统的干扰输入变量w(t) 的初始值为[0.7，1，0.9，0.8，1，0.005，6.5]^T.而政府调控目标：

(1) 总产出Y_t按照预先给定增长率δ增长，即总产出Y_t趋向计划总供给Y^*=Y₀(1+0.05)^t.

(2) 利率稳定在预先给定水平，即利率R趋向给定利率R^*=0.005.

(3) 实际汇率稳定在预先给定水平，即E趋向给定汇率水平E^*=6.5元.

5.2 仿真结果分析

在上述参数设置下，连续时间的蒙代尔-弗莱明系统三维空间相位图形如图 1所示.在系统的三维相位图 1中，系统的三维相位图是一条由系统状态变量总产出Y(t)、利率R(t)、汇率E(t) 为坐标，随时间变化的空间曲线，并非直线，系统的三维相图表明系统是非平衡波动的.

在上述参数设置下，进一步采用动力学方法来仿真分析连续时间的蒙代尔-弗莱明系统动态波动情况.取100个时间单位进行仿真，仿真如图 2.

由图 2可以看出，在无控制条件下，系统是非平衡的，系统的消费C(t)、投资I(t)、总产出Y(t)、利率R(t)、汇率E(t) 出现巨大波动.其中，利率R(t) 在正负1区间内大范围振荡，汇率E(t) 大幅升值，在正负1元区间内波动和振荡.而利率、汇率大幅波动，引致系统总产出、消费、投资、净出口发生相应的巨幅振荡.总产出Y(t) 在正负10⁵亿区间内巨幅度波动，而随着总产出变化，系统的消费C(t) 在正负2×10⁴亿区间振荡，投资I(t) 由于利率的波动和总产出的变化，一直处于波动之中，在正负4.8×10⁴亿区间内振荡；净出口NX(t) 由于汇率大幅波动和总产出变化，一直处于剧烈波动之中，波动范围在0到1×10⁴亿之间.为了熨平经济失衡与剧烈波动对经济发展的负面影响，政府必须依据经济变量如消费C(t)、投资I(t)、净出口NX(t)、总产出Y(t)、利率R(t)、汇率E(t) 等发展态势设计相应的财政政策变量G(t)、货币政策变量M(t) 和汇率政策变量F(t)，以期有效调整与控制经济系统演化状态.

根据控制目标和经济变量变化情况，利用(22) 式所设计政策变量控制律对连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统进行控制，加入控制后的仿真曲线如图 3所示.从图 3可以看出，利率变量R(t) 由期初0.02逐步下降到0.005，到第5期即实现利率控制目标，随后稳定保持在0.005.汇率E(t) 由期初4元平稳贬值到6.5元，到第8期即实现汇率控制目标，后稳定保持6.5元.总产出以0.05增长速度平稳增长，到100期到达15 000亿元控制目标.由于利率保持在政府合理预期水平内，投资和消费都保持平稳增长，分别达到10 200亿元和9 800亿元，而不再波动和振荡；汇率也逐步回归到政府合理预期水平内，净出口在期初到6期随汇率贬值变化有些下降，之后随着总产出和汇率变化平稳，在6至100期平稳上升，到期末达到3 000亿元.这是因为期初到5期，总产出增加所带来进口增长大于货币汇率贬值所导致出口增加，到6期后总产出增加所带来进口增长逐渐小于货币汇率贬值所导致出口增加，净出口逐步增长.总之，整个经济系统不再剧烈波动与失衡，实现平稳快速发展.

上述仿真结果表明：利用式(20) 所设计政策变量可以使开放经济条件下货币市场、产品市场、国际市场的供需水平趋于稳定发展，实现系统的控制目标，有效调整与控制开放经济系统的演化状态，验证了所设计反馈控制律对连续时间的蒙代尔-弗莱明模型动态系统控制的有效性^[19]；在现代经济学的标准假设下，证实了连续时间的蒙代尔-弗莱明模型的可控性，即当经济系统出现波动，相关决策部门根据经济运行态势，合理设计财政政策和货币政策，有效实现预期调控目标，以熨平经济系统波动与失衡对经济发展的负面影响^[19].

6 政策含义和结论

对连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统控制律的解析解(20) 作变换如下：

(24)

(25)

(26)

由假设可知，λ_i < 1，i=1，2，3，λ_i均是实数，根据文[17]，则可知λ_i必为负实数，即-1 < λ₁ < 0，-1 < λ₂ < 0，-1 < λ₃ < 0，所以有：1-b(1-τ)+n-j-f₁₁=

连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统的反馈控制律u(t) 的解析解具有很强的政策意涵：

式(24) 表明，财政政策变量G(t) 的调节机制为：在即期总供给中扣除即期的净出口需求、投资、消费Y-(C-I-NX) 的基础上，与即期总供给与计划总供给之差Y-Y^*反向变化，与计划总供给Y^*同向变化^[19-20].

式(25) 表明，货币政策变量M(t) 的调节机制为：在即期货币需求的基础上，与即期利率与计划利率之差R-R^*同向变化.

式(26) 表明，汇率政策变量F(t) 的调节机制为：在即期净出口需求的基础上，与即期汇率与计划汇率之差E-E^*反向变化.

蒙代尔-弗莱明模型是研究开放经济条件下财政政策和货币政策对宏观经济影响的重要工具.本文利用现代控

制理论建立基于连续时间的蒙代尔-弗莱明动态模型的控制系统，在此基础上研究连续时间的蒙代尔-弗莱明模型的动态结构特征以及其控制律设计，得到基于连续时间蒙代尔-弗莱明模型控制系统的纯增益反馈控制律的解析解并进行仿真分析.研究表明：连续时间的蒙代尔-弗莱明动态系统能观性指数为3，具有完全能观性、能控性和能达性等控制结构特征；可以任意配置连续时间的蒙代尔-弗莱明闭环系统的极点，使系统渐近稳定，达到输出调节并具有满意的动态性能，即在现代经济学的标准假设下，证明连续时间的蒙代尔-弗莱明模型的可控性.根据参数的经济意义和模型要求进行仿真试验设计，仿真验证了本文所设计的反馈控制律对连续时间的蒙代尔-弗莱明系统控制的有效性.本文采用现代控制理论对开放经济模型--蒙代尔-弗莱明模型进行研究具有较大的理论意义和应用价值，能为决策者就宏观经济政策制定和经济系统分析提供了新的逻辑视角与方法.