2. 四川大学空天科学与工程学院, 四川 成都 610065
2. School of Aeronautics and Astronautics, Sichuan University, Chengdu 610065, China
1 引言
柔性关节驱动机构由于具有高的负载/自重比、体积小、能耗低等特点,其应用范围越来越广,比如天线指向机构、高精度操作机器人、航天机器人.柔性关节驱动机构的核心部件为谐波减速器或滤波减速器等精密减速器,受限于其结构,这些减速器在工作往往受到柔性变形、摩擦和外界干扰力矩等因素的影响.研究其先进的控制方法,提高对不确定摩擦、外界干扰力矩等非线性因素的补偿精度,进而提高位置控制精度具有重要的研究意义.
LuGre摩擦模型[1-2]是一个比较完善的摩擦模型,能精确地描述关节的摩擦特性,在基于模型补偿中得到了广泛的应用. LuGre摩擦模型的参数易受润滑条件、机械磨损、温度等工况变化的影响,基于固定参数的模型难以得到满意的补偿效果.文[3]为提高光学精密伺服转台跟踪精度的影响,提出了基于LuGre模型的补偿方法.文[4-5]提出了自适应摩擦补偿方法,但是当摩擦参数变化大时,其补偿能力有限.
针对柔性关节驱动机构动力学模型具有阶数高和严格反馈的特点,反步法[6-9]是设计这类非线性控制系统的有效方法,与神经网络结合可以解决一类不确定非线性系统的控制问题.刘金琨[9]提出了单连杆柔性关节机器人的反步控制方法.由于反步法需要对虚拟控制项进行求导运算,导致系统方程微分项“系数膨胀”的问题,大大增加了控制器设计的复杂程度.为了解决反步法“系数膨胀”的问题,Swaroop等[10]提出了动态面控制方法 (DSC),将虚拟控制项通过1阶滤波器,避免了对虚拟控制项的反复求导,克服了反步法的不足.文[11]提出了不确定高阶随机非线性系统的自适应动态面控制方法,用动态面技术解决了在高阶随机非线性系统非光滑状态反馈控制器设计过程中的计算膨胀问题.文[12]将动态面与RBF神经网络结合,应用于谐波驱动系统的控制,获得了较好的跟踪性能.文[13]结合动态面、模糊逻辑和神经网络,实现了柔性滤波驱动机构的非线性控制.上述文献更多地研究了系统对参考位置的跟踪性能,而较少研究神经网络对不确定项的逼近能力.文[14]利用跟踪误差和神经网络模型误差提出了复合神经设计,实现了神经网络对非线性不确定项更快和更精确的逼近.受文[15]中复合神经设计的启发,本文将复合神经设计与动态面控制方法结合,提出了柔性关节驱动机构的复合神经动态面控制,用神经网络在线逼近和补偿动力学模型中LuGre摩擦模型参数不定和外界未知干扰力对系统的影响,结合预测误差和补偿跟踪误差构建了神经网络权值的复合适应律.
2 动力学模型考虑不确定摩擦力矩、外界干扰力矩和柔性变形等非线性因素的柔性关节驱动机构的动力学模型[16]为
(1) |
其中,
(2) |
式中,σ0为接触面鬃毛刚度,σ1为微观阻尼系数,σ2为粘性摩擦系数,ρ为鬃毛的平均变形量,fc为库仑摩擦力矩,fs为静摩擦力矩,vs为Stribeck速度,g(1) 为有界函数.式 (2) 中的参数值为名义值,实际值随工况的变化而变化.设τf-τf=Δf,其中τf为LuGre摩擦力矩的实际值,τf为其名义值,Δf为LuGre摩擦参数变化时实际值与名义值之间的差值.
定义系统状态变量
(3) |
其中,
(4) |
本文用RBF神经网络[17]逼近系统的不确定项,其形式如下:
(5) |
其中,Xin∈Ω为输入向量,Ω为Rn上的紧集,Ω∈Rn,n为Xin的维数;
RBF神经网络能对非线性函数f进行任意精度的逼近,即:
(6) |
其中,ω*为理想权值向量,ε为逼近误差,εM为逼近误差的上界.
3.2 控制器设计在这一节中,预测误差和补偿跟踪误差将结合动态面控制方法对式 (3) 进行控制器的递归设计,递归设计过程包含4步,在前3步的进行虚拟控制量的设计,系统的最终控制律在最后一步设计.预测误差定义为系统的状态变量与串并行估计模型[18]之差.
第1步 给定位置参考信号yd,定义误差变量e1=x1-yd.
设计虚拟控制量x2为
(7) |
其中k1>0.让x2通过1阶滤波器得x2f,有:
(8) |
定义误差变量e2=x2-x2f,则e1的导数为
(9) |
为了消除误差项 (x2f-x2) 的影响,设计补偿项z1为
(10) |
其中z2将在下一步设计,定义补偿跟踪误v1=e1-z1.
第2步 由式 (3) 中的第2个等式并用神经网络逼近Δ2,得
(11) |
其中,X2=[x1,x2],ω2*为理想权值向量,ε2为神经网络的逼近误差且|ε2| < εM.
设计虚拟控制项x3:
(12) |
其中,
(13) |
定义误差变量e3=x3-x3f,则e2的导数为
(14) |
其中,
为了消除误差项 (K/(J1N))(x3f-x3) 的影响,设计补偿项z2为
(15) |
其中z3将在下一步设计.
定义补偿跟踪误差v2=e2-z2,定义预测误差z2NN=x2-
(16) |
其中β2>0,设计
(17) |
其中,γ2、γz2和δ2为正实数.
第3步 设计虚拟控制x4:
(18) |
其中k3>0.让x4通过1阶滤波器得到x4f,有:
(19) |
定义误差变量e4=x4-x4f,则e3的导数为
(20) |
为了消除误差项 (x4f-x4) 的影响,定义补偿项z3为
(21) |
定义补偿跟踪误差v3=e3-z3.
第4步 由式 (3) 中的第4个等式并用神经网络逼近Δ4,得
(22) |
其中,X4=[x3,x4],ω4*为理想权值向量,ε4为神经网络的逼近误差且|ε4| < εM.
最终控制律设计如下:
(23) |
其中,
e4的导数为
(24) |
其中,
设计补偿项z4为
(25) |
定义补偿跟踪误差v4=e4-z4,定义预测误差z4NN=x4-
(26) |
其中β4为正实数,设计
(27) |
其中γ4、γz4和δ4为正实数.
注 本文所研究的复合神经动态面控制方法,其神经网络的权值自适应律为
(28) |
式中,vi为补偿跟踪误差,ziNN为预测误差.复合自适应律提高了神经网络对不确定项的逼近速度和精度.
而对于传统动态面控制方法,其神经网络的权值自适应律为
(29) |
定理 设yd(t) 和ẏd(t) 在t≥0时连续有界.对柔性关节驱动驱动机构 (3),采用动态面控制律 (8)、(13) 和 (19),神经网络权值复合自适应律 (17) 和 (27),存在ki、σj、γzj、γj和βj,使得vi、
证明 选择李亚普诺夫函数为
(30) |
由式 (9)、式 (10)、式 (14)、式 (15)、式 (20)、式 (21)、式 (24)、式 (25) 得
(31) |
由式 (11)、式 (16)、式 (22) 和式 (26),得
(32) |
令
(33) |
对式 (30) 求导,由式 (31)、式 (32) 和式 (33),得
(34) |
易知:
则:
(35) |
假设神经网络权值有界,即存在正实数ωM,使得ωj*‖≤ωM.
令:
取ψ满足:
则式 (35) 可写为
(36) |
求解式 (36) 得
(37) |
式 (37) 表明V(t) 最终以P/(2ψ) 为界,定理1得证.文[19]证明zi是有界的,由定理1知vi有界,而vi=ei-zi,所以ei有界,系统的所有误差项有界.
5 仿真分析为表明本文所提柔性关节驱动机构的复合动态面控制方法 (DSC-NOVEL) 的有效性和优越性,与文[20]的传统动态面控制方法 (DSC-CLASSIC) 进行比较,文[20]中的方法的神经网络的权值自适应律具有如下形式:
(38) |
系统的初始状态设为0.控制器的参数选择为k1=k2=k3=k4=100,α2=α3=α4=0.001,γ2=γ4=5,δ2=δ4=500.神经网络经的输入X2和X4的中心设为[-1,1]×[-3,3]和[-3,3]×[-5,5],使用高斯基函数作为激活函数.对于Δ2,神经网络的节点数为49个,对于Δ4,神经网络的节点数为21个.
复合神经相关的参数为γz2=γz4=1 000,β2=β4=5.值得注意的是两种方法所用的仿真参数是一样的.
参数 | 名义值 | 实际值 |
σ0/(N·m/rad) | 360 | 306 |
σ1/(N·s/rad) | 9.7 | 11.2 |
σ2/(N·s/rad) | 4.9 | 6.4 |
fs/(N·m) | 15.6 | 16.8 |
fc/(N·m) | 11.2 | 9.4 |
vs/(rad/s) | 0.04 | 0.07 |
表 1中,各参数的实际值与名义值存在15%~67%的差别,假设外界干扰力矩为
选择位置参考信号为yd=sin (πt),在Matlab R2014a/Simulink环境下仿真,仿真结果如图 1~图 3所示.
柔性关节驱动机构对参考信号的跟踪误差如图 1所示,可以看到,本文所提的控制方法 (DSC-NOVEL) 的跟踪误差能很快达到稳定值 (±0.001 rad),而传统的动态面控制方法 (DSC-CLASSIC) 的跟踪误差则在震荡0.3 s后到达稳定值 (±0.002 8 rad),DSC-NOVEL的快速性和精确性都比DSC-CLASSIC高. 图 2和图 3能很好地解释这个结果. 图 2展示了两种方法对Δ2的逼近效果,可以看到,DSC-NOVEL对Δ2逼近的速度和逼近的精度都比DSC-CLASSIC高. 图 3展示了两种方法对Δ4的逼近效果,同样地,DSC-NOVEL对Δ4逼近的速度和逼近的精度都比DSC-CLASSIC高.可见,结合预测误差和补偿跟踪误差设计的复合神经动态面控制方法 (DSC-NOVEL),提高了神经网络对不确定项逼近速度和精度,更快速和精确地补偿了系统的不确定项,进而改善了柔性关节驱动机构的位置跟踪精度.
6 结论本文首先建立了包含LuGre摩擦模型、柔性变形和外界扰动力矩等因素的柔性关节驱动机构动力学模型.然后对该模型设计了复合神经动态面控制器,针对动力学模型中存在LuGre摩擦模型参数不定和外界干扰力矩的影响,利用RBF神经网络逼近和补偿动力学模型中的不确定项,为提高神经网络对不确定项的逼近速度和逼近精度,结合补偿跟踪误差和预测误差构建神经网络权值的复合自适应律.控制律由动态面方法推导,避免了“系数膨胀”的问题,简化了控制器的设计过程.通过李亚普诺夫理论证明当采用复合自适应律时,系统的所有误差项最终一致有界.在Matlab/Simulink环境下进行仿真分析,仿真结果表明,与传统的动态面控制方法相比,本文所提的复合神经动态面控制方法提高神经网络对不确定项的逼近速度和逼近精度,更好地补偿了系统的不确定项,进而提高了柔性关节驱动机构位置跟踪精度.
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