1 引言
近年来,多智能体网络的一致性问题在无人机、无人驾驶航天飞机和网络堵塞等方面有广泛的应用.它已经成为众多学者们所关注的热点问题之一,并取得了大量成果[1-7].所谓一致性问题是指通过合理地给出一致性条件,智能体之间通过局部信息交换,使得所有智能体关于某个感兴趣的信息达到一致.
目前,对于多智能体网络的一致性研究,大多数都是在假定智能体之间的信息传输是连续的基础上设计的,例如文[8-11].然而,针对多智能体网络,由于通讯信道会受到噪声干扰及传感器设备的限制,因此网络中相邻智能体之间的通讯方式可能是间歇的.此外,从控制角度出发,间歇控制比连续控制节约成本.在我们先前的工作中,利用间歇控制实现了时变多智能体网络的一致性[12];文[13]研究了间歇控制下线性动态多智能体系统的一致性;文[14]提出了自适应的间歇控制器;文[15-16]采用间歇控制实现了具有时滞、干扰等因素的多智能体系统的一致性问题.另一方面,网络节点间的连接关系可能会随时间发生变化,因此具有切换拓扑结构的网络模型更为实际,文[17-19]研究了切换拓扑下多智能体网络的一致性.针对网络系统的一致性,考虑到网络拥有的节点数众多,牵引控制能有效减少控制节点,因而是一种比较经济高效的方法[20],文[20-21]讨论了复杂网络的一致性问题,提出了有效的牵引控制策略.
需要指出的是,上述的相关结果是针对单层多智能体网络的[12-16].近来,文[22-25]研究了两层多智能体网络 (领导层网络与跟随者层网络) 之间的一致性,其中,领导层网络含有多个相互作用的智能体.然而,文[22-25]中相邻智能体的通讯方式是连续的,在此基础上,本文进一步研究间歇通讯下多智能体领导层网络与跟随者层网络的一致性问题.同时,考虑网络拓扑结构为切换情形.通过设计合适的时变牵引控制方案,有效地实现了两层网络间的一致性,并且得到了网络中对于通讯间隔的时间要求.与现有相关结果相比,比如文[22],虽然给出了牵引控制下两层多智能体网络间的一致性,但拓扑结构与牵引控制均是固定的;文[23]的牵引控制方案虽然是时变的,但网络拓扑结构固定,并且领导层网络与跟随者层网络没有考虑间歇通讯.因此,本文在一定程度上推广了现有的相关结果.通过利用李亚普诺夫函数方法,实现了在时变牵引控制方案下具有切换拓扑结构与间歇通讯的两层网络间的一致性.
2 问题描述 2.1 预备知识图论是研究多智能体网络的重要工具.在图中,每个节点表示一个智能体,两个节点之间的边表示智能体的通信链路.下面给出文中需要的图论知识[26].
g=(v,ε) 表示具有N个节点的图,其中v={1,2,…,N}为一个网络节点集,ε⊂v×v为边集.如果在节点i和节点j间存在一条路,则称节点i和节点j是连通的.如果一个图g中任何两个节点都是连通的,则称图g是连通的.连通的无向图称为无向连通图.
本文中,对于给定的无向图g=(v,ε),其邻接矩阵A∈RN×N定义为:若 (i,j)∈ε,那么矩阵A中的元素aij=aji=1;若 (i,j)∉ε,那么矩阵A中对应元素aij=aji=0.无向图g的拉普拉斯矩阵L∈RN×N定义为:
为了便于以下理论分析,首先给出一些有用的引理,如下:
引理1[27] 如果图g是无向连通的,那么矩阵L半正定,其所有的特征值为非负实数,并且依次可以排列为:0=λ1(L)<λ2(L)≤λ3(L)≤…≤λN(L).
定义矩阵B=diag{b1,b2,…,bN},其中bi≥0(i=1,2,…,N) 且至少存在一个bi>0.引入矩阵H=L+B.
引理2[10] 如果图g是无向连通的,那么矩阵H正定.
引理3[28] 矩阵C=(cij)m×n和矩阵D=(dij)p×q的Kronecker积定义为
对于C∈Rm×n,D∈Rp×q,E∈Rn×k,F∈Rq×r有如下性质:
(1) (C+D)⊗E=C⊗E+D⊗E;
(2) (C⊗D)(E⊗F)=(CE)⊗(DF);
(3) (C⊗D)T=CT⊗DT.
2.2 模型描述考虑两个多智能体网络,其中一个是领导层网络,另一个是跟随者层网络.不失一般性,假设领导层和跟随层都分别包含N个智能体.
多智能体领导层网络模型描述为
(1) |
其中,i=1,2,…,N;xi∈Rm代表第i个领导智能体的状态;k=1,2,…;A∈Rm×m.同时,网络节点间歇通讯,即:
多智能体跟随者层网络模型描述为
(2) |
其中,i=1,2,…,N;yi∈Rm代表第i个跟随者智能体的状态;k=1,2,…;A∈Rm×m.网络中节点间歇通讯,即:
(3) |
di(T2k)>0代表T2k时刻的控制增益,
定义1 若两个多智能体网络 (1) 与 (2) 的状态满足
为了得到领导层网络与跟随者层网络之间的一致性,即
根据式 (1)、式 (2)、式 (3),可得:
当
当
当t∈[T2k+1,T2k+2) 时,有:
进一步,引入向量eT(t)=[e1T,e2T,…,eNT]T.当t∈[T2k,T2k+1) 时,
(4) |
其中,B(T2k)=diag{b1(T2k),b2(T2k),…,bN(T2k)},
则当t∈[T2k+1,T2k+2) 时,
(5) |
综上可得:
其中,H(T2k)=L(T2k)+B(T2k).
定理1 假定领导层网络与跟随者层网络的拓扑结构始终是无向且连通的,那么网络 (1) 和网络 (2) 实现一致性的条件为:
(ⅰ) 对于给定耦合强度c>0,存在常数γ>0,满足γ=cβ-α,其中:
(ⅱ) 令Δk=Tk+1-Tk,k=0,1,…,假设存在Tw,Tr>0,并且满足如式 (6) 和式 (7):
(6) |
(7) |
证明 选择李亚普诺夫函数
(8) |
由定理1中的条件 (ⅰ)γ>0,则式 (8) 可化简成:
(9) |
当t∈[T2k+1,T2k+2)(k=0,1,…) 时,由式 (5) 得:
(10) |
相应地,当t∈[T0,T1) 时:
当t∈[T1,T2) 时:
因此,当t∈[T2k,T2k+1),k=1,2,…,时:
(11) |
当t∈[T2k+1,T2k+2),k=1,2,…,时:
(12) |
若定理1中的条件 (ⅱ) 的式 (6) 满足,则当t∈[Tk,Tk+1),k=0,1,…,就有:
(13) |
其中,
由式 (13) 得,当条件 (ⅱ) 的式 (7) 满足时,有k→∞,V(t)→0,即所有领导者的状态与跟随者的状态最终趋于一致,
注1 在定理1的条件 (ⅱ) 中,Tw可以表示多智能体网络连续通讯时间,Tr代表多智能体网络通讯间断时间.此外,在多智能体网络中,线性矩阵A一般为不稳定矩阵,因此α>0.
3 数值仿真在这部分,通过仿真实例来说明理论结果的有效性.考虑由10个领导者和10个跟随者构成的多智能体网络.状态矩阵
图 4给出了图 1~图 3的切换序列.从图 4可以看出,[0,0.2 s) 拓扑结构如图 2所示;[1 s,1.2 s) 拓扑结构如图 3所示;[2 s,2.2 s) 拓扑结构如图 1所示;切换序列为0时,网络间不通讯.图 5与图 6表示两层网络中相应节点的误差图,误差满足
本文主要研究的是时变牵引控制下间歇通讯多智能体网络之间的一致性.理论分析表明如果两个网络层的拓扑图是切换且连通的,通过合理地设置控制条件,就可以使得领导层网络与跟随者层网络最终实现一致,并且一致性条件比较容易实现.需要指出的是,由于一致性条件充分依赖于网络的拓扑结构,因此变换网络拓扑结构,就需要重新选择控制参数.在今后的研究工作中,将进一步研究如何降低控制参数的保守性,同时会着力于更多实际模型一致性问题的研究,比如有向、非线性的多智能体网络模型,从而加强网络模型的实际意义.
[1] | Chen Y, Lü J H, Han F L, et al. On the cluster consensus of discrete-time multiagent systems[J]. Systems & Control Letters, 2011, 60(7): 517–523. |
[2] | Andrea B, Albert D. Consensus in networks of mobile communicating agents[J]. Physical Review E, 2012, 85(1): 016113. DOI:10.1103/PhysRevE.85.016113 |
[3] | Olfati-Saber R, Fax J A, Murray R M. Consensus and cooperation in networked multi-agent systems[J]. Proceedings of IEEE, 2007, 95(1): 215–233. DOI:10.1109/JPROC.2006.887293 |
[4] | 曹美会, 鲜斌, 张旭, 等. 基于视觉的四旋翼无人机自主定位与控制系统[J]. 信息与控制, 2015, 44(2): 190–196. Cao M H, Xian B, Zhang X, et al. An autonomous vision-based localization and control system for quadrotor UAV[J]. Information and Control, 2015, 44(2): 190–196. |
[5] | 张湘, 肖建. 网络控制系统的最优通信和控制的协同设计[J]. 信息与控制, 2009, 38(2): 129–135. Zhang X, Xiao J. Optimal communication and control co-design of networked control system[J]. Information and Control, 2009, 38(2): 129–135. |
[6] | Wang L P, Gong D W, Zhang B B, et al. Novel pinning control strategy for coupled neural networks with communication column graphs[J]. Neurocomputing, 2016, 193(1): 260–267. |
[7] | Tang Z, Park J H, Lee T H. Distributed adaptive pinning control for cluster synchronization of nonlinearly coupled Lur'e networks[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2016, 39(1): 7–20. |
[8] | Zhu M H, Martínez S. Discrete-time dynamic average consensus[J]. Automatica, 2010, 46(2): 322–329. DOI:10.1016/j.automatica.2009.10.021 |
[9] | Wang Y, Wu Q H, Wang Y Q. Quantized consensus on first-order integrator networks[J]. Systems & Control Letters, 2012, 61(12): 1145–1150. |
[10] | Yang S F, Cao J D, Lu J Q. A new protocol for finite-time consensus of detail-balanced multi-agent networks[J]. Chaos, 2012, 22(4): 043134. DOI:10.1063/1.4768662 |
[11] | Yang W, Wang X F, Shi H B. Fast consensus seeking in multi-agent systems with time delay[J]. Systems & Control Letters, 2013, 62(3): 269–276. |
[12] | Hu A H, Cao J D, Hu M F. Consensus of leader-following multi-agent systems in time-varying networks via intermittent control[J]. International Journal of Control Automation and Systems, 2014, 12(5): 969–976. DOI:10.1007/s12555-013-0223-5 |
[13] | Wen G H, Duan Z S, Ren W, et al. Distributed consensus of multi-agent systems with general linear node dynamics and intermittent communications[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2014, 24(16): 2438–2457. DOI:10.1002/rnc.v24.16 |
[14] | Li H J, Su H Y. Distributed consensus of multi-agent systems with nonlinear dynamics via adaptive intermittent control[J]. Journal of the Franklin Institute, 2015, 352(10): 4546–4564. DOI:10.1016/j.jfranklin.2015.07.004 |
[15] | Huang N, Duan Z S, Zhao Y. Consensus of multi-agent systems via delayed and intermittent communications[J]. IET Control Theory & Applications, 2015, 9(1): 62–73. |
[16] | Xiao L, Liao X F. Periodic intermittent consensus of second-order agents networks with nonlinear dynamics[J]. International Journal of Control, Automation and Systems, 2014, 12(1): 23–28. DOI:10.1007/s12555-012-0156-4 |
[17] | Su Y F, Huang J. Two consensus problems for discrete-time multi-agent systems with switching network topology[J]. Automatica, 2012, 48(9): 1988–1997. DOI:10.1016/j.automatica.2012.03.029 |
[18] | Cao L, Zheng Y F, Zhou Q. A necessary and sufficient condition for consensus of continuous-time agents over undirected time-varying networks[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2011, 56(8): 1915–1920. DOI:10.1109/TAC.2011.2157393 |
[19] | Qin J H, Zheng W X, Gao H J. Consensus of multiple second-order vehicles with a time-varying reference signal under directed topology[J]. Automatica, 2011, 47(9): 1983–1991. DOI:10.1016/j.automatica.2011.05.014 |
[20] | Wu C W. Localization of effective pinning control in complex networks of dynamical systems[C]//2008 IEEE International Symposium Circuits and Systems. Piscataway, NJ, USA:IEEE, 2008:2530-2533. |
[21] | Lu W L, Li X, Rong Z H. Global stabilization of complex networks with digraph topologies via a local pinning algorithm[J]. Automatica, 2010, 46(1): 116–121. DOI:10.1016/j.automatica.2009.10.006 |
[22] | Wen G H, Yu W W, Zhao Y, et al. Node-to-node consensus of networked agents with general linear node dynamics[C]//IEEE International Conference on Cyber Technology in Automation, Control & Intelligent Systems. Piscataway, NJ, USA:IEEE, 2013:24-29. |
[23] | Wen G H, Yu W W, Wang J Y, et al. Distributed node-to-node consensus of multi-agent systems with time-varying pinning links[J]. Neurocomputing, 2015, 149(10): 1387–1395. |
[24] | Wen G H, Yu W W, Wang J Y, et al. Node-to-node consensus of multi-agent systems with switched pinning links[C]//Chinese Control & Decision Conference. Piscataway, NJ, USA:IEEE, 2014:269-273. |
[25] | Li H J. Distributed node-to-node consensus of multi-agent systems with nonlinear dynamics and communication constraints[C]//China IEEE Xplore Digital Library. Piscataway, NJ, USA:IEEE, 2015:273-278. |
[26] | Godsil C, Royle G. Algebraic graph theory[M]. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 2001. |
[27] | Ren W, Beard R W. Distributed consensus in multi-vehicle cooperative control[M]. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 2008. |
[28] | Horn R A, Johnson C R. Matrix analysis[M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1985. |