1 引言
应急物资储备仓库是应急物资存储和流转的枢纽，在应急物资管理和使用过程中，计划、采购、配货、发送、报废等工作环节都与应急物资的储备仓库发生直接业务联系，是应急物资管理工作的关键环节.当前，我国应急物资储备库分布广泛，库存的应急物资种类繁多，总价值数以亿计，在应对各类突发自然灾害和社会公共事件发挥着越来越重要的作用.
目前，各级各类应急物资储备库的库存管理多源于传统经验和工作习惯，在一定程度上存在库存物资的经费使用效益不高、易发浪费、应急响应速度慢的问题，从应急物资管理专业化进程来看，有必要对既有历史数据样本进行分析，通过数学建模的方式，针对应急物资储备仓库的最佳经济库存开展研究，探索建立能够满足应急物资出入库指令随机性强、库存周期不定、品种相对稳定等特点的最佳经济库存模型，进而合理确定库存检查周期、最优订货量和最佳订货点等库存管理的关键参数，逐步优化库存成本、平衡采购与供应计划、实时响应应急交货指令、避免物资积压闲置、平抑需求风险，为应急物资储备库的日常管理工作提供理论支撑，并进一步提高应急物资管理工作的信息化、科学化和精细化水平.
对此，国内外学者也已开展了卓有成效的理论研究和实践探索[1-4].Rosenshine和Obee研究了存在应急需求时，通过库存管理相关策略研究储备的提前期[5].Johansen和Thorstenson分析并制定了常规需求之外当应急需求条件激发时的供应商库存管理控制策略[6].Petrovic等[7]探讨了不确定环境下的链状生产型供应链，分别从分散控制与集中控制角度给出了库存最优订货量的确定模型.Qi等[8]研究了由突发事件所引起的市场规模变化对供应链产生的影响.Keskin等给出了综合采购和库存决策的仿真优化方法[9].阴艳超和郭成研究了不确定环境下的一种动态响应库存优化方法[10].黄照协等[11]提出了三级备件保障系统下的备件库存优化模型.姜天[12]提出了将制造企业备件进行分级管理的基本思想.江玮璠等[13]通过对随机需求环境下的企业收益进行分析，构建多批次存货质押融资的库存管理模型.刘洪娟[14]利用系统动力学的原理和方法构建了供应链环境下的多级库存仿真模型.孔玲爽等[15]、裴振兵等[16]、姜丽苹等[17]分别结合实践案例提出了相应的供应链的模型构建和算法，曾正洋等[18]、胡劲松等[19]重点分析了供应链的通道均衡和路径优化.这些研究工作的开展，从不同的角度丰富和拓展了应急仓储物资储备和调配理论，对于指导现实生产和激发相关领域工作人员的灵感和思路具有积极的理论意义和现实意义.
到目前为止，尽管随机环境下的应急物资库存管理已有一些研究成果，但一般情况下应急物资储备仓库每周期的订货量是稳定的且较少考虑初期的库存水平.本文在既有研究的基础上，提出最佳订货点概念，通过初期的库存水平，来确定这个周期内的订货量，并导出应急物资总库存量的确定模型，可供应急物资管理部门在应急决策中参考.
2 模型的构建从库存的周期性角度来看，库存可分为单周期库存和多周期两种.单周期库存，适用于需求周期和频率能够预先确定、周期内一次性订货、不需要重复补货的物品；多周期库存，适用于需求周期和频率随机、需要始终保持一定库存量的物品.不难看出，应急物资适用于多周期库存管理模型，且需求变化具有一定的随机性.本文将重点讨论适用于应急物资的随机环境下的、以库存成本最小化为目标的单产品多周期的应急物资库存模型的构建和验证方法.
库存成本是指应急物资从订货、存储保管到出库为止的过程中所产生的各种成本，包括因缺货可能造成的损失，即库存成本由订货成本、存储成本和缺货成本三个方面构成.其中，订货成本是指因订购产品所产生的费用；存储成本是指产品从入库到出库过程中产生的费用；缺货成本是指因发生缺货而不能满足应急出库指令所造成的经济损失和社会损失[20].
在多周期的情况下，上一周期的期末库存可以纳入下一周期作为期初库存，这既是多周期库存与单周期库存的实质区别，也是本文模型设定的基础：
(1) 顾客的需求量为q，假设为一个随机变量，其分布函数为F(·)；
(2) 配送中心 (即仓库) 的单位物品购买价格为k；
(3) 单位物品存储费为c；
(4) 单位物品缺货损失费为s；
(5) 仓库的订货量为Q，是决策变量；
(6) 上期期末库存为I，则进货后库存量也即是本周期库存为R=Q+I.
如果需求量q≤R，则需求全部得到满足.剩下R-q件产品，作为下一周期的期初库存.该周期的存储成本为
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(1) |
如果产品的需求量q>R，全部R都将出货，但还有q-R的需求没有得到满足，形成缺货成本：
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(2) |
还有订货成本k(R-I).则一个周期内的仓库总成本为
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(3) |
本文希望极小化仓库总成本，即求h(R) 的最小值，有如下命题.
命题 仓库总成本式 (3) 的最大库存量R*是如下方程的解：
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其中，F(·) 和f(·) 分别为随机变量q的分布函数和密度函数.
证明 对式 (3) 分别求1阶导数和2阶导数，得：
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(4) |
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(5) |
其中，f(·) 为随机变量q的密度函数.所以，成本函数h(R) 是凸函数，存在唯一解.令1阶导数为0，得：
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(6) |
通过上式，只要求出F(R) 的
|
证毕.
得到R*的值后，订货量Q随期初库存I发生变化，即有Q=R*-I.如果Q＜0，则不订货能节省费用.如果I略小于R*，此时订货有可能不经济.下面，比较总成本在订货和不订货情况下的大小，从而得到订货最佳点.
如果不订购，则该周期的总成本 (包含期初库存I的储备费用) 为
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(7) |
如果订货，则该周期的总成本 (包含期初库存I的储备费用) 为
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(8) |
若g1(I)≤g2(R)，则不订货是比较节省成本的.当I=R时，g1(I)=g2(R).如果有一个最小的I*，使得不等式成立，则I*就是最佳订货点.因此，检查期初库存量为I，若I＜I*，则订货，订货量Q=R*-I；若I≥I*，则本周期不订货.
4 数值算例应急物资储备仓库的主要任务就是保证实时满足应急调度指令的需要，保证库存物资的持续供应.采用某应急物资储备仓库中某种物资出库的一组数据进行实证分析，数据如表 1所示 (单位：个).此物资的成本价格为100元/个，每个存储费用为0.5元/个，缺货所造成失费用为101元/个.设用户单位每个月的需求为随机变量，其密度函数为
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(9) |
| 时间/月 | 期初库存 | 出库量 | 期末库存 |
| 1 | 500 | 800 | 700 |
| 2 | 700 | 1 600 | 100 |
| 3 | 100 | 900 | 200 |
| 4 | 200 | 700 | 500 |
| 5 | 500 | 850 | 650 |
| 6 | 650 | 1 200 | 450 |
| 7 | 450 | 850 | 600 |
| 8 | 600 | 900 | 500 |
| 9 | 500 | 1 000 | 500 |
| 10 | 500 | 2 500 | 100 |
| 11 | 100 | 750 | 350 |
| 12 | 350 | 1 050 | 300 |
由式 (4) 得：
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(10) |
即最大库存量R*=718.为得到订货最佳点，由上面分析和式 (7)、式 (8) 知，g1(I)≤g2(R*)，可得方程如下：
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(11) |
见图 1，可得到I*≈708.所以，每月检查库存水平I：若产品的库存I不足708个，则进货量为718-I；否则不进货.
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| 图 1 最佳订货点 Figure 1 The best order point |
(1) 应用概率论优化应急物资储备仓库库存量，给出了最佳存储方案，从而使仓库订货行为更为经济合理，库容最佳.
(2) 传统应急物资储备仓库每周期的订货量相对固定，没有充分考虑原始的库存量对经济库存水平的影响，本文提出了基于原始库存量的最佳订货点概念，通过最佳订货点的优化，确定本周期内的订货量.
(3) 本文提出了单品种物资多周期的最佳库存模型，在未来研究中可以考虑多品种多周期的库存模型及其在应急物资管理中的应用.
(4) 经某应急物资储备仓库在实际库存优化工作中应用和验证，本文提出的最佳经济库存模型能够匹配该品种应急物资的日常采购、储备和配送的实际需要，实时满足应急指令需求并指导该应急物资储备库的日常运行，在一定程度上提高政府部门应急物资预算资金的使用效益，节约采购和库存成本，实现了经济效益和社会效益双丰收.
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