1 引言
时效处理具有消除工件的内应力、稳定组织和尺寸、改善机械性能等作用.模压时效炉主要针对航空铝合金产品的时效处理，所以对温度的控制精度要求极高.在实际的生产过程中，难以对锻件温度进行直接测量，加之现场环境恶劣等问题，使模压时效炉温度的优化控制难以实现.传统的控制方法以延长时效处理时间为代价保证产品质量，效率低下.因此，建立软测量模型实现锻件温度的软测量具有现实意义.
模压时效炉加热过程是一个物理变化、化学变化同时存在的复杂过程，具有复杂非线性、强耦合等特点.目前，针对非线性过程软测量的常用方法有神经网络、支持向量机、核偏最小二乘等.神经网络建模方法是一种稳态操作条件下基于生产数据的建模方法，王锡淮等[1]在加热炉钢坯温度软测量中使用分布式RBF(radial basis function)神经网络和C聚类，取得了较好的在线预估效果，但是神经网络建模方法对于样本数量较小的软测量建模效果并不理想.支持向量机(support vector machine，SVM)作为一种常用的小样本统计建模方法，已经在各行各业得到了越来越多的应用[2-4].肖莎丽等[5]针对步进式加热炉钢坯温度难以直接测量的问题，基于SVM对钢坯温度进行预估，并使用剪枝方法对结果进行优化，取得了良好的效果，但由于这一建模所需参数计算复杂，导致训练时间过长，不适用于实时动态模型.基于核偏最小二乘回归的统计建模法是一种有效的小样本非线性建模方法[6-8]，宋海鹰等[9]通过核偏最小二乘法的动态预测模型预测铜转炉吹炼中的风量氧量，取得了良好的在线测量效果，但是单核的偏最小二乘法很难完整地描述数据特性[21].
综上所述，本文基于局部加权混合核偏最小二乘算法(local weighted mixed kernel partial least squares，LWMKPLS)进行模压时效炉的温度软测量，该方法采用结合局部核函数和全局核函数形成混合核函数，以便于更完整地描述数据特性；并在混合核偏最小二乘算法的基础上使用局部加权算法，为训练样本加权，提高了模型的预测精度.最后采用工业数据进行仿真实验.实验表明，该模型效果良好，完全满足时效炉锻件温度测量要求.
2 过程描述与软测量建模 2.1 模压时效炉加热过程模压时效炉的炉体为2层嵌套结构，炉体结构如图 1所示.
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| 图 1 炉体结构图 Figure 1 The furnace body structure |
模压时效炉炉体结构复杂、体积庞大，其加热过程中工况复杂，难以用线性模型进行描述.模压时效炉炉膛有加热室和工作室两个区域，加热室有4个加热区，工作室分为4个独立的工作区控制，与加热区一一对应.安装在炉膛两端的4台风机将加热室的热量带到工作室，形成一个大的热循环对炉内锻件进行加热.
2.2 模压时效炉温度软测量建模恒温保温时长是模压时效处理工艺中的关键的指标，由于无法确定锻件达到设定温度所需的时间，现在工业现场锻件温度达到设定温度的时长，只能靠工人经验估计，这大大地降低了工作效率，影响了产品质量.因此，实时地获得锻件温度是优化模压时效炉温度控制系统的关键，其测量方法分为直接和间接两种.直接测量方法就是在废弃的锻件表面打孔并安装测温使用的热电偶，直接测量锻件温度；间接方法则是通过对炉内加热状况和温度场分布进行分析，提取其中对锻件温度影响比较大，同时较易测量的中间变量，建立模压时效炉温度软测量模型，从而估计锻件温度.
本文主要通过较易测量的4个工作室的炉壁温度，结合实际的工作环境建立软测量模型，估计实际锻件温度.根据温度的连续变化性，可以认为第m+1时刻的温度数据是之前m个时刻的温度数据的函数：
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(1) |
式(1) 中，x(k)表示第k次各个工作室炉壁温度的(k时刻)输入向量，y(k)表示第k次的实际锻件温度输出，m为影响温度输出的输入延迟步数，e是扰动误差，f(·)代表模压时效炉工作室温度与实际锻件温度之间的函数关系.
根据加热过程的实际情况，模型的系数是根据生产过程随时调整的，应用滑窗技术[10]建立温度输入数据的实时更新2维矩阵.其中，行代表所取时刻，即取k时刻，k-1时刻及k-m+1时刻；列代表各个时刻不同区的炉壁温度数据.利用第k-m+1，…，k-1，k时刻的温度数据对当前时刻的温度数据建立动态模型[9]：
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(2) |
式中，b为模型的参数向量，将由局部加权混合核偏最小二乘法辨识得到；E为残差矩阵.由于本文是多输入单输出，即4个测温点输入，一个预测温度输出模型其具体的输入输出矩阵如式(3) 和式(4) 所示：
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(3) |
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(4) |
其中，xi，yj∈RM.
3 建立基于LWMKPLS的软测量模型 3.1 建立基于RBF-KPLS的模压时效炉软测量模型由于模压时效炉锻件温度软测量模型对温度精度要求很高，而径向基核函数的局部学习能力较强[12]，能够根据最近历史温度得到精度较高的预测温度，所以首先使用核偏最小二乘法(径向基核)建立模型对锻件温度进行测量.
一般情况下，如果X与Y具有线性关系，则可直接根据式(2) 求出回归系数的最小二乘估计
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(5) |
由于加热过程的复杂非线性的特点，根据核函数将X映射到高维空间后，再应用最小二乘估计方法.
将采集到的模压时效炉炉壁温度数据组进行预处理，分别得到训练集合样本和测试集合样本.根据核函数原理和KPLS算法，通过径向基核函数对待测样本数据xt进行核变换.将xt映射φt∈Gs，Gs为高维特征空间.通过径向基核函数Krbf可得核向量：
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(6) |
其中ΦtrainT为训练样本经过核变换后的在高维空间映射的转置矩阵.易知核矩阵：
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(7) |
根据KPLS算法按如下步骤建立回归模型[11]：
(1) 对Ktrain进行对中处理，记为Kcenter：
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(8) |
式(8) 中，I为N×N的单位矩阵，E为N维列向量，元素全为1.
(2) 令i=1，K1=Kcenter，Y1=Ycenter定义新变量ui、ti、ci，初始化ui为Y1的任意一列.
(3) 
(4) 更新
(5) 如果ti不收敛，则返回至步骤(3)；收敛则转步骤(6).
(6) Ki+1=(I-titiT)Ki(I-titiT)，Yi+1=Yi-titiTYi，
(7) 令i=i+1，重复步骤(3) 到步骤(7)，直到找出M个主元，得到主成分矩阵T=[t1，t2，…，tM]，U=[u1，u2，…，uM].
(8) 计算回归系数向量：
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(9) |
(9) 将kt中心化后，作为模型输入，即可得输出估计值：
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(10) |
为了验证所建立核偏最小二乘法的模压时效炉锻件温度预测模型的精确性及泛化能力，选取二次保温过程的锻件，设定加热温度分别为115 ℃和170 ℃，其中通过交叉验证方法取得径向基核函数的参数项σ=1.421，其仿真结果如图 2所示.
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| 图 2 基于径向基核的建模结果 Figure 2 The results of the modeling based on the RBF kernel |
根据图 2可知，在低温加热保温阶段，模型的预测能力良好，预测温度误差在3 ℃左右，但是对于高温加热阶段，模型预测出现较大误差，这表明模型的泛化能力不够好.为了提高模型的泛化能力，满足模压时效炉多种不同类型锻件、多种设定温度对模型泛化能力的要求，下面将对径向基核函数进行改进.
3.2 建立基于混合核的模压时效炉软测量模型根据模压时效炉锻件加热工艺特点，锻件的加热设定温度、合金状态、规格型号、装炉量都会对锻件升温曲线造成影响，这就要求模型具有较好的泛化能力，这时多项式核函数是比较好的选择[12].又由于时效处理工艺对模压时效炉锻件温度的精度要求很高，这时径向基核函数是比较好的选择.所以本文在径向基核函数的基础上，融合了多项式核函数，形成混合核函数，结合径向基核函数与多项式核函数的优点，使所组成的混合核函数更适合模压时效炉锻件加热过程的特性.
本文选用了径向基核函数和多项式核函数结合的混合核函数[13-14]：
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(11) |
其中，Kmix为混合后的核函数，Kpoly为多项式核函数，Krbf为径向基核函数，α为混合系数且0≤α≤1.显然可知，当α=0时，混合核函数退化为径向基核函数；当α=1时，混合函数退化为多项式核函数.不同的混合系数α所对应的混合核函数的性质不同.易知，当α变小时，混合核函数的局部精确度加强；相反，当α变大时，混合核函数的全局性变优.
混合参数α的选取目前并没有相关的理论研究，只能根据实际的实验效果选取最佳的值.根据所设计的二次加热数据对不同的混合系数α进行误差测试，所得结果如表 1所示.
表 1中各项误差性能指标计算式为
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(12) |
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(13) |
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(14) |
式中
由表 1可知，当α=0.15时取得最优效果.根据交叉验证方法取得多项式核函数的参数项d=0.9，建立基于混合核的偏最小二乘法模压时效炉锻件温度软测量模型，重复3.1节中的建模过程，完成模型训练后，用设计的二次加热温度数据对所建立模型重新进行测试，得到图 3所示结果.
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| 图 3 基于混合核的建模结果 Figure 3 The results of the modeling based on the mixed kernel |
如图 3所示，建立基于混合核的偏最小二乘法模压时效炉锻件温度软测量模型在针对低温加热过程和高温加热过程都取得了良好的预测效果，可以满足模压时效炉的工艺要求，预测精度达到3 ℃以内.根据对模压时效炉数据的分析可知，不同的测温点温度对锻件实际温度的反映情况不同.基于这个思想，本文引入局部加权算法，对所建混合核偏最小二乘算法的软测量模型进行进一步的改进.
3.3 局部加权回归为了克服模压时效炉升温过程中工作室各区温度不均匀，影响模型精度的问题，本文引入LWL(locally weighted learning)算法[15-18]，并选用欧几里得距离进行权值计算.当估计待测样本的输出时，所建模型根据实时采集的样本温度对模型进行更新，以构造在线局部模型.
根据待测样本与各个训练样本间的温度差大小，为待测样本取定权值.假设第i个样本的权值为wi，样本的权值矩阵为W，W为对角矩阵：
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(15) |
其中，n表示待测样本的维数.由于模压时效炉分为了4个工作区域，而本文中对每个区域仅设置了一个采样点，因此在本文中n=4.
根据式(15)，式(2) 变为
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(16) |
根据最小二乘算法可求出局部模型回归系数的最小二乘估计
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(17) |
将采集到的模压时效炉炉壁温度数据组进行预处理，分别得到训练集合样本和测试集合样本.根据核函数原理和KPLS算法，通过式(1) 构造混合核函数对待测样本数据xt进行核变换.将xt映射为φt∈Gs，Gs为高维特征空间.那么通过混合核函数Kmix可得核向量：
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(18) |
其中，ΦtrainT为训练样本经过核变换后的在高维空间映射的转置矩阵.易知核矩阵：
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(19) |
由于KPLS回归算法是将原始数据通过核函数映射到高维特征空间后，采用修改的NIPALS-LS算法在高维特征空间里对映射后的数据进行线性PLS回归建模，因此可以在高维特征空间中通过计算欧氏距离分配样本权值，再根据线性局部加权回归思想对映射后的数据进行加权.易知第i个训练样本点与待测样本点在高维特征空间G中的距离为
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(20) |
式(20) 为隐式数据的计算，采用核技巧[19]对式(20) 进行处理，即：
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(21) |
其中，Ktrain，ii表示混合核矩阵的元素，kt，i表示混合核向量中的元素.根据核技巧，式(20) 可转化为
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(22) |
将各样本距离值转化为样本权值的函数，定义为[20]
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(23) |
其中，dmin和dmax分别为高维特征空间G中待测样本点与训练样本的最小距离和最大距离；β是为了适应不同锻件过程所设置的参数，可取2或1或0.5；ntrain表示训练样本容量.
根据式(16)~式(23) 即可求得映射到高维空间中的训练样本权值.
根据式(15)，在高维特征空间G中对训练样本ΦW，train和对应输出Ytrain分别进行加权：
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(24) |
根据式(18) 和式(19)，核向量kt和核矩阵Ktrain的加权形式为
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(25) |
为了验证局部加权算法对软测量模型的影响，将基于径向基偏最小二乘法(RBF-KPLS)、混合核偏最小二乘法(MKPLS)与局部加权混合核偏最小二乘法(LWMKPLS)三种建模方法进行对比，结果如表 2所示.
由表 2可知，局部加权算法的引入，使模压时效炉软测量模型的整体性能得到了提高，最大绝对误差、均方根误差及脱靶率均有所降低.这说明局部加权算法使模型的预测精度得到了提高.
通过重新建立基于局部加权混合核的偏最小二乘算法软测量模型并根据二次加热数据对模型进行测试，所得到实验结果如图 4所示.
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| 图 4 测试数据仿真结果 Figure 4 The simulation results of the test data |
由图 4可知模型预测曲线基本和锻件真实温度曲线重合，模型预测误差基本控制在1 ℃以内，说明加入局部加权算法后，模型精度得到了进一步的提高，能够满足模压时效工艺温度要求.
3.4 基于LWMKPLS的建模过程分析本文将经过加权后的核向量和核矩阵作为建模基础，根据混合核偏最小二乘算法对加权后的数据进行建模，得到LWKPLS软测量模型.
建模步骤为：
(1) 选取具有实测数据的锻件加热过程数据作为训练样本.
(2) 构造混合核函数，根据构造的混合核函数将训练样本映射到高维特征空间.
(3) 取待测锻件的温度数据样本，将数据通过混合核函数映射到高维特征空间，并在高维特征空间中计算各训练样本的权值.
(4) 根据KPLS算法建立局部回归模型估计锻件温度.
(5) 更新温度历史训练样本数据集.
建模过程结构如图 5所示.
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| 图 5 软测量建模过程 Figure 5 The process of the modeling for the soft measurement |
本文使用上述建模方法，针对某铝厂的模压时效炉进行数据采集，并进行了实验测试.为了保证模型的可靠性，共采集10炉(约9 000组)现场数据进行实验. 10炉数据中包含了不同的锻件规格型号、合金状态、设定温度、保温时间、装炉量等的时效过程，每组数据间隔时间为1 min，所采集数据包括作为辅助变量的炉壁温度和通过在废弃锻件上打孔的方式直接测量的锻件温度，所测实际锻件温度作为预测标准.将所采数据分为2个部分，训练样本数据(8炉)和测试样本数据(2炉)，先通过训练数据对模型进行训练，然后通过测试数据测试模型的可靠性、准确性.
第1炉锻件规格型号为J11-57，设定温度为187 ℃，合金状态为2D70T6，仿真结果如图 6所示，其中横坐标代表加热时间，纵坐标为温度，红线是预测输出结果，黑线是锻件实际温度.
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| 图 6 基于第1炉锻件数据的仿真结果 Figure 6 The simulation results based on the data of the first furnace forgings |
第2炉锻件规格型号为HL-4，设定温度为170 ℃，合金状态为2014T6，仿真结果如图 7所示.
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| 图 7 基于第2炉锻件数据的仿真结果 Figure 7 The simulation results based on the data of the second furnace forgings |
两炉数据的锻件在合金状态、规格型号、装炉量、设定温度方面均不同，验证了模型具有较好的泛化性，所预测温度除了在接近设定温度时由于超调所引起的轻微波动，其它部分模型预测输出温度与实际测量温度基本重合.
下面进行以上实验结果的误差分析，其中横坐标代表每组数据的获得时间，纵坐标为模型误差温度，单位为℃，结果如图 8、图 9所示.
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| 图 8 第1炉数据模型误差 Figure 8 The first furnace data model errors |
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| 图 9 第2炉数据模型误差 Figure 9 The second furnace data model errors |
由图 8和图 9所示误差分析可知，两炉数据的实验测试结果表明，建模预测精度可以控制在1 ℃以内，符合模压时效炉的工艺要求，能够对炉内温度的优化控制有所帮助，具有实际应用价值.
5 结论(1) 针对模压时效炉锻件温度难以直接测量的问题，提出了基于LWMKPLS的软测量方法，并对混合核和局部加权特性对软测量精度的影响进行了仿真实验.
(2) 通过本文的仿真实验验证可得，LWMKPLS算法模型适用于模压时效炉的锻件温度软测量.
(3) 所建立的模压时效炉LWMKPLS模型具有所需样本少，泛化能力强的特点，适用于不同合金的锻件在不同温度段的实际温度估计，符合实际情况.使用局部加权混合核偏最小二乘法能较好地预测锻件的实际温度，从而更好地控制时效过程中的加热过程，具有较大的应用价值.
| [1] |
王锡淮, 李少远, 席裕庚.
加热炉钢坯温度软测量模型研究[J].自动化学报, 2004, 30(6): 928–932.
Wang X H, Li S Y, Xi Y G. Research on soft sensor model for slab temperature in reheating furnace[J]. Acta Automatica Sinica, 2004, 30(6): 928–932. |
| [2] |
郑蕊蕊, 赵继印, 赵婷婷, 等.
基于遗传支持向量机和灰色人工免疫算法的电力变压器故障诊断[J].中国电机工程学报, 2011(7): 56–63.
Zheng R R, Zhao J Y, Zhao T T, et al. Power transformer fault diagnosis based on genetic support vector machine and gray artificial immune algorithm[J]. Proceedings of the CSEE, 2011(7): 56–63. |
| [3] |
王恺, 关少卿, 汪令祥, 等.
基于模糊信息粒化和最小二乘支持向量机的风电功率联合预测建模[J].电力系统保护与控制, 2015(2): 26–32.
Wang K, Guan S Q, Wang L X, et al. A combined forecasting model for wind power predication based on fuzzy information granulation and least squares support vector machine[J]. Power System Protection and Control, 2015(2): 26–32. DOI:10.7667/j.issn.1674-3415.2015.02.005 |
| [4] |
王玉松.
基于SVM的雷达故障预诊断技术研究[J].舰船电子工程, 2011, 31(8): 149–151.
Wang Y S. Pre-diagnosis technology research on SVM-based radar fault[J]. Ship Electronic Engineering, 2011, 31(8): 149–151. |
| [5] | 肖莎丽. 基于支持向量机的温度控制系统研究[D]. 武汉: 武汉科技大学, 2010. Xiao S L. Based on support vector machines research in temperature control system[D]. Wuhan: Wuhan University of Science and Technology, 2010. |
| [6] | Huang X, Cao D S, Xu Q S, et al. A novel tree kernel partial least squares for modeling the structure-activity relationship[J]. Journal of Chemometrics, 2013, 27(3/4): 43–49. |
| [7] | Xin M, Gu W, Wang J. Speech emotion recognition with MPCA and kernel partial least squares regression[J]. Journal of Computers, 2014, 9(4): 998–1004. |
| [8] | Chu F, Wang F, Wang X, et al. Performance modeling of centrifugal compressor using kernel partial least squares[J]. Applied Thermal Engineering, 2012, 44(2): 90–99. |
| [9] |
宋海鹰, 桂卫华, 阳春华, 等.
基于核偏最小二乘法的动态预测模型在铜转炉吹炼中的应用[J].中国有色金属学报, 2007, 17(7): 1201–1206.
Song H Y, Gui W H, Yang C H, et al. Application of dynamical prediction model based on kernel partial least squares for copper converting[J]. The Chinese Journal of Nonferrous Metals, 2007, 17(7): 1201–1206. |
| [10] | Ni W, Tan S K, Ng W J, et al. Moving-window GPR for nonlinear dynamic system modeling with dual updating and dual preprocessing[J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2012, 51(18): 6416–6428. |
| [11] | Rosipal R, Trejo L J. Kernel partial least squares regression in reproducing kernel hilbert space[J]. Journal of Machine Learning Research, 2002, 2(2): 97–123. |
| [12] | 徐飞. 基于混合核函数的LSSVM发酵建模[D]. 大连: 大连理工大学, 2012. Xu F. Modeling of fermentation process based on multiple kernels least squares support vector machine[D]. Dalian: Dalian University of Technology, 2012. |
| [13] | Smits G F, Jordaan E M. Improved SVM regression using mixtures of kernels[C]//Proceedings of the 2002 International Joint Conference on Neural Networks. Piscataway, NJ, USA: IEEE, 2002: 2785-2790. |
| [14] |
薛欣, 贺国平.
基于多个混合核函数的SVM决策树算法设计[J].计算机工程与应用, 2007, 43(8): 142–144.
Xue X, He G P. Designing the algorithm of SVM decision tree based on many mixture of kernels[J]. Computer Engineering and Applications, 2007, 43(8): 142–144. |
| [15] |
孙茂伟, 杨慧中.
局部加权混合核偏最小二乘算法及其在软测量中的应用[J].信息与控制, 2015, 44(4): 481–486.
Sun M W, Yang H Z. Local weighted mixed kernel partial least squares algorithm and its applications to soft-sensing[J]. Information and Control, 2015, 44(4): 481–486. |
| [16] | Atkeson C G, Moore A W, Schaal S. Locally weighted learning[J]. Artificial Intelligence Review, 1997, 11(1/2/3/4/5): 11–73. |
| [17] |
杨慧中, 陈定三.
局部惩罚加权核偏最小二乘算法及其应用[J].控制工程, 2011, 18(6): 886–889.
Yang H Z, Chen D S. Local penalized weighted kernel partial least squares algorithm and its applications[J]. Control Engineering of China, 2011, 18(6): 886–889. |
| [18] |
刘毅, 王海清, 李平.
局部最小二乘支持向量机回归在线建模方法及其在间歇过程的应用[J].化工学报, 2007, 58(11): 2846–2851.
Liu Y, Wang H Q, Li P. Local least squares support vector regression with application to online modeling for batch processes[J]. Journal of Chemical Industry and Engineering(China), 2007, 58(11): 2846–2851. DOI:10.3321/j.issn:0438-1157.2007.11.027 |
| [19] |
王文俊, 张军英.
基于核的类别非局保留投影[J].模式识别与人工智能, 2009, 22(5): 769–773.
Wang W J, Zhang J Y. Kernel Based Class-Wise None-Locality Preserving Projection[J]. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2009, 22(5): 769–773. |
| [20] |
葛志强, 刘毅, 宋执环, 等.
一种基于局部模型的非线性多工况过程监测方法[J].自动化学报, 2008, 34(7): 792–797.
Ge Z Q, Liu Y, Song Z H, et al. Local model based monitoring for nonlinear multiple mode process[J]. Acta Automatica Sinica, 2008, 34(7): 792–797. |
| [21] |
王雅琳, 黄凯华, 伍铁斌, 等.
基于核偏最小二乘的砷盐净化除钴过程钴离子浓度软测量[J].中南大学学报:自然科学版, 2015(1): 141–148.
Wang Y L, Huang K H, Wu T B, et al. Soft sensor based on kernel partial least squares for cobaltion concentration in cobalt removal purification process with arsenic salt[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2015(1): 141–148. |