2. 湖南工程学院电气信息学院, 湖南 湘潭 411101;
3. 湖南工程学院风电装备与电能变换协同创新中心, 湖南 湘潭 411101
2. College of Electrical Information, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411101, China;
3. The CIC of Wind Power Equipment and Energy Conversion, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411101, China
1 引言
复杂网络广泛存在于自然界与人类社会的各种现象中.已有研究表明,如电网、社会关系网、Internet等都具有复杂网络所固有的特性.
同步现象是自然界中最典型的集体行为和基本运动,针对在复杂网络系统的控制与同步方面研究,人们做了大量的工作,并已取得许多重要成果,随着研究工作的不断深入,研究内容也越来越丰富.复杂网络同步一直是该领域所研究的热点课题,而复杂网络系统节点间同步控制更是取得了大量的成果[1-4, 8-17].在文[1]中,Luo针对具有扩散性的复杂网络系统,设计保性能控制器,对扩散网络怎样保证同步提出了一种方便有效且成本低廉的控制方法.Nariman[2]针对具有模糊特性的复杂网络系统,利用牵制控制原理,分别得出了其在自适应控制器作用下和在自适应脉冲控制器作用下系统达到节点间同步的条件.同时,针对由多簇子网构成的复杂网络系统,讨论复杂网络系统的簇同步问题研究同样取得了广泛的研究成果[5-7].如Lu在文[5]中,运用自适应控制的方法,研究了复杂动态网络系统簇同步稳定的情况.文[6]中,Wang运用自适应控制方法同时结合牵制控制原理,针对具有分数阶特性的复杂网络系统,研究了其簇同步.在我们研究复杂网络系统的簇同步时,要求每个子网内所有节点同步,而不同子网络的同步态是不同的.但是,子网络的同步态还存在另外一些类型——子网间交叉同步.现今,针对多子网复杂网络系统,鲜有人研究其交叉同步,仅在文[8]中,Zhou针对变时滞多子网复杂网络系统,设计反馈控制器,研究了其稳定性问题.
近年来,间歇控制以其在工程实际中应用简便、节省能量、易于实现等优势被人们所关注[9-11].间歇控制最初作为一种有效的控制方法来控制一类线性经济系统,随后被广泛应用于制造、运输、保密通信及混沌同步等领域.Cai在文[9]中设计了一种间歇控制器,利用牵制控制原理,控制部分节点,研究了复杂网络系统节点指数同步稳定状态;Pan等[10]将间歇控制引入随机复杂网络,研究了同时具有参数不匹配和随机扰动复杂网络的随机准同步问题.同时,复杂网络系统中,由于信息的传递、能量的传输通常会引起系统滞后现象[12-14, 18-20],这种滞后现象表现为两种形式:耦合时滞、节点时滞;而在实际问题中,时滞往往是时变的.所以本文从具有时变耦合时滞,时变节点时滞的复杂网络系统出发,设计间歇控制器,研究其子网间的交叉同步问题就显得尤为有意义了.
基于此,本文针对由多个子网络构成的双时变时滞复杂网络系统,首先提出子网间交叉同步的概念,并考虑网络节点间关系的4种情况,设计周期间歇控制器,研究此类系统的子网交叉同步稳定问题.利用李亚普诺夫稳定性理论结合零点定理,得出了具有可变时滞特性复杂网络系统网络间交叉同步指数稳定控制器存在的充分条件和控制脉宽与系统参数及控制器的函数关系.最后结合所给条件,给出一个数值仿真说明其有效性.
2 问题描述以节点为状态变量,考虑如下多子网变时滞复杂动态网络系统:
(1) |
其中,xij=(xij1,xij2,…,xijm,)T∈Rm是系统子网络i中节点j关于时间的状态变量;时滞τ1(t)、τ2(t)为有界函数,满足0≤τ1(t),τ2(t)≤τ;耦合矩阵G =(Gik)∈RN×N描述网络中各个子网的拓扑结构,定义如下:若子网i和子网j(j≠i)存在连接,则Gij=Gji=1;否则Gij=Gji=0(j≠i);并且矩阵G的对角元素定义为
定义1 Γikjr∈R描述网络中第k个子网的第r个节点对第i个子网的第j个节点的可耦合强度,且
对Γik=(Γikjr)∈Rn×n,在任意同步状态下,系统满足子网条件:
注1 在任意同步状态下,对于一个子网络Ni中某个节点Ai,若另一子网的某一个或多个非对应节点NkAr与此节点相连,且存在作用效果,则要求与此一个或多个另一子网节点NkAr对应的内网节点NiAr与节点NiAi相连,且耦合作用强度满足
假设1 [15] 对于光滑非线性向量函数f(t,x(t),x (t-τ(t))),对于所有向量x(t),y(t)∈Rn,均存在正常数L1>0,L2>0,满足下面semi-Lipschitzta条件
(2) |
引理1 [16] 存在任意的m维实变向量X,Y,K为正定对称矩阵,P ∈Rm×m,则下列矩阵不等式成立:
(3) |
式(1) 是基于每个节点的状态变量,对多子网系统进行描述;在系统(1) 基础上,对由n个节点构成的子网,以各子网络为状态变量,得如下系统:
(4) |
其中:xi(t)=(xi1T(t),…,xinT(t))T,ui(t)=(ui1T(t),…,uiNT(t))T,Γik=(Γikjr)∈Rn×n,f(t,xi,xi(t-τ1(t)))=(fT(t,xi1,xi1(t-τ1(t))),…,fT(t,xin,xin(t-τ1(t))))T.
定义2 (子网络间交叉同步定义) 对于满足条件的复杂网络系统(4),若存在网络间同步状态s(t)使得下式成立,则网络间同步.
(5) |
其中,xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xin(t))为第i个子网内各节点状态变量的整体描述,s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))∈Rnm为一个孤立子网络,且满足 ṡ(t)=f(t,s(t),s(t-τ1(t))),表示复杂网络系统子网同步流行,当系统达到子网络间交叉同步时,则系统内各个子网间同步,即各子网内节点状态与其所对应节点状态同步,子网络内各节点运动状态独立.
为使系统达到子网络间交叉同步状态,定义误差状态:
(6) |
即存在:eij(t)= xij(t)-sj(t).
本文主要针对每个子网xi,i=(1,2,…,N),设计控制器使系统的达到同步状态,即对应的每个节点的误差状态满足:
(7) |
针对系统(1),设计间歇控制器使系统同步稳定
(8) |
其中:kij(t)为间歇反馈控制器的控制增益,满足
(9) |
T>0为控制周期,ξ>0为控制周期脉宽,m=1,2,….根据等式(6) 和系统(1),令θ=ξ/T>0,得如下误差系统:
(10) |
其中:
当所设计的控制器使误差系统(10) 指数稳定时,则系统(1) 达到网络间同步状态.
定理1 当假设1成立,L1、L2为正常数,ε为满足条件的正常数,当存在正常数a1、a2及对角矩阵K满足下列条件时
(11) |
(12) |
(13) |
(14) |
其中:
证明 令:
构造李亚普诺夫函数为
(15) |
在假设1的条件下,利用定理1所给出的条件,当t∈[mT,(m+θ)T),其中m=1,2,…时,有
令:K =diag(k11,k12,…,kNn),则:
根据引理1中(3) 式,有:
令:
当t∈[(m+θ)T,(m+1)T),其中m=1,2,…时,有
存在
利用定理1所给条件证明
若成立,则系统指数稳定.
设存在函数
令
(16) |
首先对(17) 式进行证明:
(17) |
假设存在t0∈[0,θT),满足下式
(18) |
(19) |
基于等式(16)、(18)、(19),对Q(t)进行求导运算,有
与(18) 式第二部分矛盾,所以(17) 式成立.同时,对t∈[θT,T),目标是要证明下式:
(20) |
假设存在t1∈[θT,T),满足下式
(21) |
(22) |
对于0≤τ1(t),τ2(t)≤τ,若θT≤t1-τ1(t1)≤t1或θT≤t1-τ2(t1)≤t1,根据(22) 式,有
若-τ≤t1-τ1(t1)≤θT或-τ≤t1-τ2(t1)≤θT,根据式(16)、式(17),有
所以,对于所有的0≤τ1(t),τ2(t)≤τ,有
基于等式(19)、式(21)、式(22),对R(t)进行求导运算,有
与(21) 式第二部分矛盾,所以(20) 式成立.对于t∈[θT,T),有
此外,由式(16)、式(17) 式,对于t∈[-τ,θT),有
所以有
对于t∈[T,(1+θ)T)
对于t∈[(1+θ)T,2T)
对于t∈[mT,(m+θ)T)
(23) |
对于t∈[(m+θ)T,(m+1)T)
(24) |
令h→1,由W(t)定义,可得:
(25) |
即定理1证明完成.
推论1 对于系统(1),若时滞0≤τ1(t)=τ2(t)=τ,在假设1成立条件下,L1、L2为正常数,ε为满足条件的正常数,则系统达到同步稳定的充分条件为存在正常数a1、a2及对角矩阵K满足
其中:
证明参考定理1.
推论2 对于系统(1),若系统不考虑耦合时滞,即τ2(t)=0,在假设1成立条件下,L1、L2为正常数,则系统达到同步稳定的充分条件为存在正常数a1、a2及对角矩阵K满足
其中,K =diag(k11,k12,…,kNn),ξ>0是方程
证明参考定理1.
对于定理1,若取
推论3 当假设1成立,L1、L2为正常数,ε为满足条件的正常数,当存在对角矩阵K满足下列条件时
其中:
考虑一个包含三个子网的复杂网络系统,其中每个子网有20个节点,节点为三维向量
其中,时变时滞的上界为τ=0.02,网络间耦合矩阵G =
对于非线性函数[17]:
其中,1≤i≤3,1≤j≤20,xij=(xij1,xij2,xij3)T∈R3,
取σ=10,α=19.53,w=0.163 6,r1=-1.432 5,r2=-0.783 1,ν=0.5,β=0.2,τ1=0.02,同时,可以很容易得到下面[15]
其中,
由推论3,可得图 1,其中0.713 8≤θ≤1,取a*=53.5,θ=0.75.通过定理1给出条件,选取ε=29,得出对于所有节点添加间歇控制器,控制宽度为0.75,当控制增益kij满足kij < -80时,系统达到稳定状态.
图 2为控制器作用下,复杂网络系统子网交叉同步节点误差向量状态曲线图.其中红色曲线表示第一个子网节点的误差状态,黑色曲线表示第二个子网节点的误差状态,蓝色曲线表示第三个子网节点的误差状态.
由此可见,系统在控制器的作用下,经过一段时间后可达到稳定状态.
5 小结本文针对由多个子网络构成的双时变时滞复杂网络系统,考虑网络节点间关系的4种情况给出多子网复杂网络系统的数学模型,提出子网间交叉同步方案,设计周期间歇控制器,利用李亚普诺夫稳定性理论结合罗尔引理,得出了具有可变时滞特性复杂网络系统网络间同步指数稳定控制器存在的充分条件和控制脉宽与系统参数及控制器的函数关系.最后结合所给条件,给出一个数值仿真说明其有效性.
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