1 引言

近二十年里，基于T-S模糊模型^[1]的非线性系统稳定性分析和控制器综合得到了很多学者的广泛研究，大部分的结果都是基于普通的二次李亚普诺夫函数^[2]和并行分布补偿(parallel distributed compensation，PDC)算法^[3].然而，普通的二次李亚普诺夫函数具有一定的保守性.为了克服这个问题，Tanaka等^[4]提出了模糊李亚普诺夫方法，相对于普通的二次李亚普诺夫函数，模糊李亚普诺夫函数可以得到更宽松的稳定条件.之后，国内外很多学者对模糊李亚普诺夫函数进行了研究^[5-10].王岩等^[5]将模糊李亚普诺夫方法应用到离散模糊系统中.Tanaka等^[6]又基于模糊李亚普诺夫函数，提出了一种广义系统方法.文[7]通过引入松弛矩阵变量，解除了系统矩阵和李亚普诺夫矩阵的耦合关系，确保了额外的自由度，也为后来的很多研究提供了新思路.文[8]采用non-PDC控制律方法，获得了更小保守性的镇定条件并验证了non-PDC控制律的有效性.文[9]构造了一个新的模糊李亚普诺夫函数，获得了新的稳定条件和镇定条件.文[10]通过深入研究前件隶属函数对时间导数的特性，在文[7]的基础上进行改进，获得了更小保守性稳定条件.近来，Xie等^[11-13]又获得了新的降低连续和离散时间T-S模糊系统稳定条件保守性方法.然而，相对于系统稳定条件保守性降低的研究，对系统镇定条件保守性降低问题的探讨较少，而且上述大部分文献选用的模糊李亚普函数同样存在一定的保守性，因此有待进一步研究.

H_∞控制器设计问题一直以来受到很多学者的关注.自模糊李亚普诺夫方法提出之后，很多学者基于该方法对T-S模糊系统的H_∞控制器设计问题进行了研究，初期在离散模糊系统有探讨^[14-15].而近几年，在连续模糊系统的研究越来越多，也取得了一定的成果^[16-20]，但依然存在很大的改进空间，如构造更合适的模糊李亚普诺夫函数，或引入更松弛的矩阵变量，或对隶属函数时间导数的特性进一步探究等.

针对上述原因，本文基于一个新的模糊李亚普诺夫函数，采用PDC控制结构，对连续T-S模糊系统进行了分析，通过深入研究前件隶属函数时间导数的特性，并引入更松弛矩阵变量，解除了系统矩阵和李亚普诺夫矩阵的耦合关系，获得了一个新的镇定条件.然后对系统的H_∞控制器设计问题进行了研究，给出了相应的H_∞控制器方法.最后通过2个数值仿真验证了所提方法的有效性.

2 问题描述

考虑下面一类连续时间T-S模糊系统，其第i条模糊规则表示为：

(1)

式中，x(t)∈Rⁿ为系统的状态向量，u(t)∈R^m为系统的控制输入，w(t)∈R^s为外界干扰输入，y(t)∈R^l为系统的输出，x₁(t)，x₂(t)，…，x_p(t)为模糊前件变量，M_ij为模糊集合，r为模糊推理规则数，A_i、B_i、E_i和C_i为具有适当维数的已知常数矩阵.

给定输入对(x(t)，u(t))，采用单点模糊化、乘积推理和平均加权反模糊化，可得模糊系统的整个状态方程为

(2)

其中，

式中，μ_ij(x_j(t))是x_j(t)关于模糊集合M_ij的隶属函数；w_i(x(t))满足w_i(x(t))≥0且(i=1，2，…，r)；h_i(x(t))是第i条模糊规则的隶属度，满足：

(3)

根据并行分布补偿算法(PDC)可设计局部状态反馈控制器：

(4)

整个状态反馈控制律为

(5)

本文研究的目标有2个：

(1) 当w(t)=0时，找到一个控制律(5)，使闭环系统(2) 镇定，并获得一个更松弛的镇定条件；

(2) 在零初始条件下，对于任意有界干扰w(t)∈L₂[0，∞)，满足下面的H_∞性能：

(6)

其中，||·||₂代表L₂范数，γ>0.

为了证明本文中的主要结果，首先给出如下的特性与引理：

特性1 ^[10] 给定l∈{1，2，…，r}，考虑h_ρ(ρ∈{1，2，…，r})满足凸和特性(3)，则对任意矩阵X ∈R^n×n和P_ρ∈R^n×n，式(7)成立：

(7)

另外，由式(3) 可知，式(8) 也成立：

(8)

其中，R为任意合适维数的对称矩阵，0≤ε≤1.

引理1 (relaxation principle)^[8] 对于矩阵Ƴ_ij和条件：

(9)

如果存在矩阵Ω_ii和Ω_ij(i < j)，满足条件：

(10)

(11)

(12)

则不等式(9) 成立.

为便于描述，以下分别用h_i、h_j表示h_i(x(t))和h_j(x(t))，符号“*”表示对称矩阵中的对称项.

3 松弛镇定条件

本节基于模糊李亚普诺夫方法，通过深入研究前件隶属函数时间导数的特性，并引入更松弛的矩阵变量，解除了系统矩阵和李亚普诺夫矩阵的耦合关系，获得了一个更松弛的镇定条件.

考虑w(t)=0，将控制律(5) 代入式(2) 得闭环系统：

(13)

从式(13) 可以看出，对所有的t有：

(14)

因此，对任意合适维数的方阵M，可以得到

(15)

下面的定理将给出闭环系统(13) 镇定的充分条件.

定理1 假设：

(16)

其中ϕ_ρ≥0，ρ∈{1，2，…，r}，给定标量0≤ε≤1，μ>0，对一些固定的l∈{1，2，…，r}，如果存在对称矩阵T_i、Y、S、Π_ii、和矩阵N、S_i，，使得矩阵不等式：

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

成立，则闭环系统(13) 镇定，控制器增益为F_i= S_i^T N^-T.式中，

(27)

(28)

证明 考虑候选模糊李亚普诺夫函数形式：

(29)

式中，P_i= P_i^T，R = R^T，(P_i+εR)≥0.

求V(x(t))对时间的导数，并与式(8) 和式(15) 相加整理可得

式中，

由特性1和假设(16) 可得

(30)

因此有：

(31)

式中，

(32)

对上式左边乘以非奇异矩阵diag(M^-1，M^-1)，右边乘以diag(M^-T，M^-T)可得：

(33)

其中，

定义变量N = M^-1，T_i= NP_i N^T，T_ϕ= NP_ϕ N^T，S = NXN^T，Y = NRN^T，S_j= NF_j^T，可以得到式(27) 和式(28).由引理1可知，如果式(17)~式(26) 成立，则有，闭环系统镇定，控制器增益由F_i= S_i^TN^-T给出.证毕.

4 H_∞控制器设计

本节在上节的基础上，对连续T-S模糊系统的H_∞控制器设计问题进行研究.利用模糊李亚普诺夫函数和线性矩阵不等式理论，给出了系统H_∞控制器设计方法.

考虑w(t)≠0，由式(15) 同理可得：

(34)

下面的定理将给出系统H_∞控制器设计方法.

定理2 假设式(16) 成立，给定标量γ>0，0≤ε≤1，μ>0，如果对一些固定的l∈{1，2，…，r}，存在对称矩阵T_i、Y、S、Π_ii、和矩阵N、S_i，满足式(17)~式(26)，则闭环模糊控制系统的H_∞范数小于γ.式(17)~式(26) 中：

(35)

(36)

证明 如文[18]中所示，如果：

(37)

成立，则条件(6) 成立.

考虑模糊李亚普诺夫函数(29)，求其对时间的导数，并与式(8) 和式(34) 相加，式(37) 可整理为

式中，

(36)

应用矩阵的Schur补性质，Φ_ij < 0，有：

对上式左边乘以非奇异矩阵diag(M^-1，I，M^-1，I)，右边乘以diag(M^-T，I，M^-T，I)可得：

式中，

同样定义变量N = M^-1，T_i= NP_i N^T，T_ϕ= NP_ϕ N^T，S = NXN^T，Y = NRN^T，S_j= NF_j^T，可得到式(35) 和式(36).因此如果式(17)~式(26) 成立，则闭环模糊控制系统(2) 的H_∞范数小于γ，控制器增益由F_i= S_i^TN^-T给出.证毕.

推论1 假设(16) 成立，给定标量0≤ε≤1，μ>0，令ρ=γ²，如果优化问题：

有解T_i、Y、N、S、S_i、Π_ii、Π_ij、、，则可获得使闭环系统扰动衰减度γ最小化的最优H_∞控制律，相应的最小扰动衰减度为.

5 仿真示例

例1 考虑由两条规则描述的连续T-S模糊模型^[7]：

规则1：如果x₂是Φ₁¹，则

规则2：如果x₂是Φ₁²，则

其中，

假设ϕ₁=ϕ₂=1，令μ=0.04，ε=0.5，l=1，参数0≤a≤25，0≤b≤2，分别采用文[10]定理5.1和本文定理1进行仿真，其中文[10]定理5.1仿真时取i=l=1.基于两种方法获得的镇定区域如图 1所示，其中(*)代表LMIs有可行解，a和b表示在一定范围内取值的系统未知参数.

从图 1可以明显地看出，基于本文定理1的镇定区域比文[10]中定理5.1要大很多，因此可推断本文定理1获得的镇定条件具有较小的保守性，进一步说明了所提方法的有效性.

注1 不考虑松弛引理1，令ε=0，本文定理1可转换为文[10]中的定理5.1，因此文[10]中定理5.1是本文定理1的一种特殊情况.

例2 考虑一类小车倒立摆平衡问题，摆的运动方程为^[19]

式中，x₁表示摆与垂直方向的角度；x₂是角速度；g=9.8 m/s²是重力常数；m是摆的质量；M是小车的质量；2l是摆的长度；u是作用在车上的力；w是外部干扰；a= ；在仿真中，摆的参数选择为m=2.0 kg，M=8.0 kg，2l=2.0 m.

小车倒立摆的T-S模型为：

规则1：如果x₁(t)大约是0，则

规则2：如果x₁(t)大约是，则

其中，

两组规则的隶属度函数表示为

PDC控制律为

规则1：如果x₁(t)大约是0，则

规则2：如果x₁(t)大约是，则

考虑两种方法对本例进行仿真，方法及获得的最小扰动衰减度γ_min对比如表 1所示.其中，本文推论1仿真时取ε=0.4，μ=0.01，ϕ₁=ϕ₂=1.

从表 1中可以看出，本文推论1得到的γ_min更小，因此可知本文推论1相比文[19]提高了系统的H_∞性能，对干扰的抑制效果更好.

给定标量γ=0.01，ε=0.4，μ=0.01，ϕ₁=ϕ₂=1，利用本文定理2及推论1，可得状态反馈增益分别为

定理2：

推论1：

假设初始条件为，外部干扰w(t)=sin t，分别采用定理2和推论1所得控制器应用于本例，可得相应的系统响应曲线如图 2所示.从图 2可以看出本文设计的H_∞控制器满足指定的要求，推论1获得的最优H_∞控制律控制效果更好.

6 结论

本文对一类连续时间T-S模糊系统的镇定和H_∞控制器设计问题进行了研究.首先，基于模糊李亚普诺夫函数和并行分布补偿(PDC)算法，获得了一个新的LMI形式表示的镇定条件，因此可以简单地通过凸优化技术解决.然后研究了系统的H_∞控制器设计问题，并给出了H_∞控制器设计方法.与一些已有的结果相比，获得的镇定条件增大了系统的镇定区域，设计的H_∞控制器具有较小的干扰衰减水平，降低了保守性.最后的两个仿真示例说明了所提方法的有效性.今后的工作将基于模糊李亚普诺夫方法对带有参数不确定或时滞的连续模糊系统进行研究.另外，对于系统的控制器设计也可采用non-PDC控制律方法.