1 引言
自主式水下航行器(AUV)是一种海洋开发工具，在海洋开发中发挥着重要的作用，可以完成海洋研究、海底管道铺设与检查、水下勘探及海洋救援等任务，已被广泛应用于众多领域[1-4]. AUV的点镇定问题描述为：对于给定的初始位姿，设计控制律使AUV能够到达期望的目标位姿并稳定在该目标位姿[5].点镇定问题在实际中有广泛的应用，如AUV完成水下对接等任务时，要求AUV能够稳定在某一定点，并且姿态角满足一定要求.因此，研究AUV的点镇定很有必要.一般的AUV仅配备了艉部推进器和一套操作舵(水平舵和垂直舵)，属于典型的欠驱动系统[6].由于欠驱动AUV存在非完整约束，根据Brockett必要条件可知，不存在光滑时不变状态反馈控制律，这就使得其点镇定控制具有特有的困难.
关于点镇定问题的控制方法，主要有连续时变控制方法[7]、混合控制方法[8-9]和非连续控制方法[10-12].关于连续时变控制方法，Dong等在考虑海流影响下采用反步法设计控制律，实现了欠驱动AUV在水平面的点镇定[7].连续时变控制方法虽然保证了控制曲线光滑，但是系统的收敛速度较慢.关于混合控制方法，Aguiar和Pascoal设计了一种基于逻辑切换的混合控制律[8].文[9]利用混合控制的思想设计了连续时不变的切换控制器.混合控制方法理论分析比较复杂，不便于程序实现.关于非连续控制方法，控制器设计相对简单且容易得到系统的渐近稳定.文[10]采用坐标变换设计时不变非连续控制律，实现了欠驱动AUV水平面位置和姿态的镇定.文[11]设计了滑模控制器使欠驱动AUV在水平面上渐近稳定到原点，该方法会使得系统存在抖振且抖振不容易消除.文[12]将系统分解成若干个子系统，并分别采用合适的控制律对各个子系统有序镇定，最终使整个系统的位姿稳定于原点.但是，假设待有序镇定的子系统保持稳定且不受先前阶段的影响，假设条件过于理想化，存在一定局限性.
加幂积分方法近年来引起了众多研究者的关注[13-20].采用加幂积分方法设计控制器时，需要系统的模型满足一定的要求，如具有上三角结构或下三角结构的系统[13-16].由于加幂积分方法设计的控制器在系统收敛速率方面的优势，常被用到实际非线性系统控制的研究中[17-20].当设计实际控制系统的控制器时，加幂积分方法往往不能直接应用，需要对具体的系统模型进行相应的改进.文[17]采用加幂积分方法对轮式机器人系统设计控制律，实现了轨迹的快速跟踪.文[18]采用加幂积分方法设计的控制器为AUV轨迹跟踪系统提供更快的跟踪速度.加幂积分方法还被用到多智能体的一致性控制问题中[19-20]，来提高闭环系统的收敛速度.
对于欠驱动AUV在水平面的点镇定问题，加幂积分方法不能直接应用于本文的AUV模型，需要对AUV的数学模型进行相应的改进.本文通过对欠驱动AUV的数学模型进行坐标变换及变量代换，将原来的系统分为2个子系统，分别采用加幂积分方法设计控制器，保证系统的稳定性和良好的镇定效果，提高了系统的收敛速度，并通过数值仿真对所设计方法的有效性进行验证.
2 AUV的数学模型 2.1 AUV在水平面的运动学和动力学模型描述AUV的运动时，需要建立地坐标系{U}和体坐标系{B}.对于水平面内的AUV，一般只考虑进退、横移和艏摇运动分量，其运动学模型为[10]：
|
(1) |
|
(2) |
|
(3) |
其中，u、v、r分别为体坐标系下AUV的进退速度、横移速度和偏航角速度，ψ为AUV的偏航角，x、y分别为AUV在地坐标系{U}XU轴、YU轴方向上的相对位移.若忽略AUV在升沉方向上的运动、横倾和纵倾方向的转动，则动力学方程[10]：
|
(4) |
|
(5) |
|
(6) |
其中，τu、τr分别为纵向推力和转艏力矩，m(·)表示附加质量，d(·)为非线性水动力阻尼项.假设AUV是悬浮的，并且浮心和重心重合.
2.2 坐标变换如图 1所示建立极坐标系，进行坐标变换：
|
(7) |
|
(8) |
|
| 图 1 坐标变换 Figure 1 Coordinate transformation |
图中，d是由oB到OU的向量，e表示d的长度，β表示由xB轴到d的夹角.对式(7)、式(8)求导可得
|
(9) |
|
(10) |
|
(11) |
注1 坐标变换是当e≠0时进行的，由式(10)可知，当e=0时，角β的导数是不存在的.
注2 欠驱动AUV属于非完整系统，根据Brockett必要条件，无法通过连续时不变控制律完成点镇定控制.为此，通过建立极坐标系，设计非连续控制律，来避开Brockett必要条件的限制.
3 控制器设计控制器设计目标是设计τu、τr使得AUV从初始点稳定至目标点，即速度u、v、r趋于0，距离x、y趋于0，角度ψ满足ψ=2nπ，n∈Z.根据坐标变换的条件，按照e=0和e≠0两种情况，分别设计非光滑控制器.当e≠0时，通过变量代换将系统分为航向控制和距离控制2个子系统，分别设计控制器τr和τu，达到控制目标.当e=0时，AUV已经处于目标点，u、v都为0，只需控制ψ和r，设计控制器τr，使得ψ满足ψ=2nπ，n∈Z，r趋于0.
3.1 变量代换作如下变量代换[10]：
|
其中γ为正的偶整数，则式(4)~式(6)、式(9)~式(11)可写为
|
(12) |
|
(13) |
|
(14) |
|
(15) |
|
(16) |
|
(17) |
式(12)~式(15)为航向控制子系统，式(16)~式(17)为距离控制子系统.
3.2 航向控制定理1 针对系统(12)~系统(15)，设计控制器：
|
(18) |
使得系统渐近稳定，虚拟控制律r*为
|
(19) |
其中，k1>0，k2>0，
证明 选取李亚普诺夫函数
|
令z1=δ，z2=(r-r*)1/p并将式(19)代入得
|
取李亚普诺夫函数
定义
|
当k满足
|
其中，
|
假设u、v都有界，则ξ有界，即存在μ>0，|ξ(t)|≤μ.当k/(γ-1)>0，
定理2 假设航向控制系统中变量δ、σ、ξ和r都趋于0，ψ趋于集合ψ=2nπ，n∈Z，针对距离控制系统(16)、(17)，设计控制律：
|
(20) |
其中k3>0，则可使得变量e收敛到0.
证明 针对系统(16)、系统(17)，使距离e收敛于0的方法是：当t➝∞时，若cos β➝1，使ρ收敛于正值；若cos β➝-1，使ρ收敛于负值.定义
|
εq、εβ和εξ为使Rε成为不变集的正数.选取李亚普诺夫函数
当e=0时，同样采用加幂积分方法设计控制器.此时有：
|
(21) |
|
(22) |
引理1[16] 对任何实数x、y，若有c、d均为大于0的实数，0 < q=q1/q2 < 1，其中q1、q2都为正奇数，则有下列不等式成立：
|
定理3 针对系统(11)、系统(21)，设计控制律：
|
(23) |
使得系统(11)、系统(21)渐近稳定，其中，0 < q=q1/q2 < 1，q1和q2都为正奇数，l>0，
证明 令x1=ψ，x2=r，则系统(11)、系统(21)可写成
选取李亚普诺夫函数
|
设计虚拟控制律x2*=-k4x1q，因此：
|
(24) |
选取李亚普诺夫函数：
|
(25) |
其中，φ=x21/q-x1*1/q.由式(24)和式(25)整理可得
|
(26) |
由引理1|x2-x2*|=|(x21/q)q-(x2*1/q)q|≤21-q|φ|q，则：
|
(27) |
因为|x2||x2-x2*|≤|x2-x2*||x2-x2*|+|x2*||x2-x2*|，由引理1并整理式(26)和式(27)得
|
(28) |
将控制律(23)代入式(28)可得
综上所述，完整的控制律为
|
注3 若所设计的控制器的分数幂p和q均取为1，那么控制器就等同于文[10]中的反步法控制器.与反步法控制器基于抵消思想进行设计不同的是，加幂积分控制器是基于控制思想进行设计的.
注4 加幂积分控制器由于分数幂的作用，在平衡点附近，会比一般渐近稳定控制器具有更大的控制幅值，从而使得系统具有更快的收敛性能.
4 数值仿真本节针对欠驱动AUV的点镇定控制进行了数值仿真，给定AUV参数[12]：mu=200 kg，mv=250 kg，mr=80 kg·m2，du=70 kg/s，dv=100 kg/s，dr=50 kg/s. AUV的初始状态定为：x(0)=-10 m，y(0)=0，e(0)=10 m，β(0)=0，ψ(0)=0，u(0)=0，v(0)=0，r(0)=2 rad/s.选取参数k=0.07，k1=0.01，k2=3，k3=0.01. γ为是正偶数，p满足0 < p=p1/p2 < 1，p1、p2都为正奇数. AUV的期望偏航角为ψ=2π，n=1.经过多次调节参数，选取γ=1，p=5/9时能够获得较好的状态响应曲线.
根据上述模型参数，将加幂积分控制器与文[10]中反步法控制器的控制效果进行对比，以验证加幂积分控制器的有效性和优越性.仿真曲线如图 2~图 6所示. 图 2为距离e的变化曲线，在加幂积分控制器的作用下，距离e收敛到0的时间少于反步法控制器. 图 3为偏航角ψ的变化曲线，加幂积分控制器使偏航角ψ在217 s处稳定在2π，而反步法控制器使偏航角ψ的稳定时间为269 s.在δ平衡点附近，即偏差小于1的范围内，由于加幂积分控制器中分数幂的存在，偏差部分可产生更大的控制幅值，例如当p=5/9，δ的偏差为δ=0.1时，控制幅值为δp=(0.1)5/9≈0.278，大于此时偏差的幅值0.1，从而提供更大的控制作用，使得δ更快地收敛到0.由δ=β+ψ/γ可间接控制偏航角ψ，使偏航角ψ具有更快的收敛速度. 图 4(a)、图 4(b)分别为2种控制器作用下AUV的位移x、y的变化曲线，说明加幂积分控制器使得位移x、y的收敛速度更快. 图 5(a)、图 5(b)分别为两种控制器作用下的AUV的速度u、v、r的变化曲线，说明本文设计的控制器使得AUV的进退速度、横移速度和偏航角速度渐近收敛到0的速度要快于反步法控制器. 图 6(a)、图 6(b)分别为两种控制器作用下AUV从起始点到目标点的运动曲线，AUV的实际路径最终都稳定在目标点，通过对比可知，加幂积分控制器使得AUV到达目标点具有更短的行程.
|
| 图 2 距离e的曲线 Figure 2 The curve of the distance e |
|
| 图 3 偏航角ψ的曲线 Figure 3 The curve of the yaw angle ψ |
|
| 图 4 位移x、y的曲线 Figure 4 The curves of the displacement x, y |
|
| 图 5 速度u、v、r的曲线 Figure 5 The curves of the velocity u, v, r |
|
| 图 6 AUV从起始点到目标点的运动曲线 Figure 6 The motion curves of AUV from the starting point to the target point |
由仿真结果可知，在所设计的点镇定控制律的作用下，距离e趋于0，位移x、y趋于0，速度u、v、r趋于0，偏航角ψ趋于2π，即AUV渐近稳定到目标位姿.与基于反步法的点镇定控制器相比，本文设计的控制器具有更快的收敛速度，并且缩短了AUV的航程，具有一定的有效性和优越性.
5 结论本文研究了水平面内欠驱动AUV的点镇定问题，给出了一种基于加幂积分方法的点镇定控制器的设计方法.通过变量代换将系统分为航向控制系统和距离控制系统，降低了直接进行控制器设计时的系统阶次.同时，采用加幂积分方法设计控制器，由于分数幂的作用，系统具有更快的收敛性能，状态响应曲线较为平滑，所设计的控制器能够使系统渐近收敛到0.最后，仿真结果表明本文设计的控制器能够实现欠驱动AUV在水平面内的点镇定.
| [1] |
蒋新松, 冯锡盛, 王棣棠.
水下机器人[M]. 沈阳: 辽宁科学技术出版社, 2000: 3-18.
Jiang X S, Feng X S, Wang D T. Unmanned underwater vehicles[M]. Shenyang: Liaoning Science and Technology Press, 2000: 3-18. |
| [2] |
王宏健, 王晶, 曲丽萍, 等.
基于方差缩减粒子滤波的无人水下航行器航位推算[J]. 信息与控制, 2013, 42(2): 173–180.
Wang H J, Wang J, Qu L P, et al. Dead reckoning of unmanned underwater vehicle based on particle filtering with variance reduction[J]. Information and Control, 2013, 42(2): 173–180. |
| [3] | Alam K, Ray T, Anavatti S G. Design and construction of an autonomous underwater vehicle[J]. Neurocomputing, 2014, 142(1): 16–29. |
| [4] | Wynn R B, Huvenne V A I, Bas T P L, et al. Autonomous underwater vehicles (AUVs):Their past, present and future contributions to the advancement of marine geoscience[J]. Marine Geology, 2014, 352(2): 451–468. |
| [5] | Fossen T I. Handbook of marine craft hydrodynamics and motion control[M]. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Ltd., 2011: 241-242. |
| [6] |
王芳, 万磊, 李晔, 等.
欠驱动AUV的运动控制技术综述[J]. 中国造船, 2010, 51(2): 227–241.
Wang F, Wan L, Li Y, et al. A survey on development of motion control for underactuated AUV[J]. Shipbuilding of China, 2010, 51(2): 227–241. |
| [7] | Dong Z P, Wan L, Li Y M, et al. Point stabilization for an underactuated AUV in the presence of ocean currents[J]. International Journal of Advanced Robotic Systems, 2015, 12(3): 1048–1054. |
| [8] | Aguiar A P, Pascoal A M. Global stabilization of an underactuated autonomous underwater vehicle via logic-based switching[C]//IEEE Conference on Decision & Control. Piscataway, NJ, USA:IEEE, 2003:3267-3272. |
| [9] | Aguiar A P, Hespanha J P, Pascoal A M. Stability of switched seesaw systems with application to the stabilization of underactuated vehicles[C]//Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control. Piscataway, NJ, USA:IEEE, 2005:4584-4589. |
| [10] | Aguiar A P, Pascoal A M. Rugulation of a nonholonomic autonomous underwater vehicle with parametric modeling uncertainty using Lyapunov functions[C]//Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Piscataway, NJ, USA:IEEE, 2001:4178-4183. |
| [11] | Sankaranarayanan V, Banavar R N. Stabilization of an underwater vehicle[J]. IFAC Proceedings Volumes, 2005, 38(1): 580–585. |
| [12] | Sankaranarayanan V, Mahindrakar A D, Banavar R N. A switched controller for an underactuated underwater vehicle[J]. Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2008, 13: 2266–2278. DOI:10.1016/j.cnsns.2007.07.004 |
| [13] | Lin W, Qian C J. Adding one power integrator:A tool for global stabilization of high-order lower-triangular systems[J]. Systems and Control Letters, 2000, 39(5): 339–351. DOI:10.1016/S0167-6911(99)00115-2 |
| [14] | Qian C J, Lin W. A continuous feedback approach to global strong stabilization of nonlinear systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2001, 46(7): 1061–1079. DOI:10.1109/9.935058 |
| [15] | Qian C J, Lin W. Non-Lipschitz continuous stabilizers for nonlinear systems with uncontrollable unstable linearization[J]. Systems and Control Letters, 2001, 42(3): 185–200. DOI:10.1016/S0167-6911(00)00089-X |
| [16] |
李世华, 丁世宏, 田玉平.
一类二阶非线性系统的有限时间状态反馈镇定方法[J]. 自动化学报, 2007, 33(1): 101–104.
Li S H, Ding S H, Tian Y P. A finite-time state feedback stabilization method for a class of second order nonlinear systems[J]. Acta Automatica Sinica, 2007, 33(1): 101–104. |
| [17] | Wang Z, Li S H, Fei S M. Finite-time tracking control of a nonholonomic mobile robot[J]. Asian Journal of Control, 2009, 41(3): 12212–12217. |
| [18] | Li S H, Wang X Y, Zhang L J. Finite-time output feedback tracking control for autonomous underwater vehicles[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering, 2014, 40(3): 1–25. |
| [19] | Li S H, Du H B, Lin X Z. Finite-time consensus algorithm for multiagent systems with double-integrator dynamics[J]. Automatica, 2011, 47(8): 1706–1712. DOI:10.1016/j.automatica.2011.02.045 |
| [20] | Li S H, Wang X Y. Finite-time consensus and collision avoidance control algorithms for mumltiple AUVs[J]. Automatica, 2013, 49(11): 3359–3367. DOI:10.1016/j.automatica.2013.08.003 |