不确定AUV系统的鲁棒最优滑模控制
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不确定AUV系统的鲁棒最优滑模控制
杨清1,2, 宿浩2, 唐功友2, 高德欣1     
1. 青岛科技大学信息科学技术学院, 山东 青岛 266061;
2. 中国海洋大学信息科学与工程学院, 山东 青岛 266100
摘要: 为了实现具有参数摄动和随机扰动等不确定性欠驱动自主水下航行器的鲁棒控制,基于线性二次型调节器(LQR)方法和滑模控制,设计了一种鲁棒最优积分滑模控制器.首先,给出了AUV的垂直面数学模型;其次针对AUV的标称模型,根据二次型性能指标,设计了基于状态独立黎卡提方程(state dependent Riccati equation,SDRE)最优控制器,使标称系统的性能满足提出的最优指标;然后,考虑系统的不确定性,在SDRE标称控制器的基础上设计鲁棒最优积分滑模律,使AUV系统在满足性能指标要求的同时,对不确定性具有鲁棒性.最后,采用REMUS AUV系统模型验证了该方法的有效性和鲁棒性.
关键词: 欠驱动自主水下航行器     滑模控制     最优控制     不确定性    
Robust Optimal Sliding MODE Control for AUV System with Uncertainties
YANG Qing1,2, SU Hao2, TANG Gongyou2, GAO Dexin1     
1. College of Information Science and Technology, Qingdao University of Science & Technology, Qingdao 266061, China;
2. College of Information Science and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China
Abstract: To realize the robust control of an underactuated autonomous underwater vehicle (AUV) with uncertain parameter perturbations and random disturbances, we propose a robust optimal sliding mode control approach based on alinear quadratic regulator and sliding mode control. First, we give the AUV model in a vertical plane. Second, on the basis of the quadratic form performance index and the state-dependent Riccati equation (SDRE), we design the optimal controller for the AUV nominal system without uncertainties which makes the quadratic performance index optimal. Then, we consider the uncertainty of the system, and design the robust optimal integral sliding mode control law based on the SDRE nominal controller, which not only minimizes the performance index but is also robust to uncertainties. Finally, the validity and robustness of the presented control approach are demonstrated by a dynamic model of the remote environmental unit AUV.
Key words: underactuated autonomous underwater vehicle     sliding mode control     optimal control     uncertainty    

0 引言

自主水下航行器(AUV)因为其在海洋开发,海底探测和军事等领域的广泛应用背景而成为现在控制界的研究热点之一[1-15].目前有很多关于AUV控制方法,主要包括:预测方法[1]、神经网络控制方法[2]、自抗扰控制器[3-4]、鲁棒控制方法[5-8]、滑模变结构控制方法[9-15]等. AUV系统有强非线性、水动力系数不确定性和外界扰动,这些不确定性要求控制器要有很强的鲁棒性.滑模控制对满足匹配条件的任意摄动及外干扰有着较鲁棒性更好的不变性,且具有快速的响应能力,因此,常被用于AUV的控制中.文[9-10]对于具有控制输入时滞和时变水动力系数的AUV,设计了一种滑模深度控制器;文[11]针对AUV大幅变深时弹道参数变化显著、小扰动线性化模型偏差大的问题,提出了一种纵向运动变结构控制方法;文[12]设计了一种基于双曲正切函数,能消除抖振的软变结构AUV深度控制器;文[13]设计一种二阶滑模新型控制器,来处理欠驱动AUV控制中存在的未知扰动问题;文[14]针对垂直面运行的受扰动AUV,设计了一个自适应滑模控制器提高其控制性能;文[15]针对AUV系统中的有界扰动,设计了一个轨迹跟踪滑模控制器.

由于滑模控制的趋近运动容易产生抖振现象,Utkin提出了积分滑模思想[16],它能取消趋近模态,可以使系统状态一开始就运动在滑模面上,消除了传统滑模控制的趋近运动过程,从而实现全局鲁棒滑模控制,近年来开始被引入AUV系统控制中[17-18].线性二次型最优调节器(LQR)是提高系统性能的重要理论,但基于LQR理论设计的最优控制,当系统存在不确定性影响时其性能指标会偏离原最优值,从而引起系统的性能下降,甚至引起系统的不稳定.

本文把LQR方法与滑模控制相结合,给出了一种鲁棒最优滑模控制器设计方法.首先,针对不确定系统的标称模型,基于二次型性能指标,采用SDRE控制方法设计了最优控制器;其次,构造积分滑模面,取消了趋近模态,使得系统的任意初始条件都在滑动面上,并证明滑模面的不变性;然后,考虑系统的不确定性,设计了一种鲁棒最优滑模器,使系统在满足给定性能指标要求的同时,对未建模动态和外界随机干扰等不确定性具有全局鲁棒性.

1 问题描述

AUV空间6自由度运动模型如图 1所示.

图 1 AUV空间6自由度运动模型 Figure 1 The schematic of a six-DOF AUV model

为了便于AUV控制系统的分析和综合,通常将其运动分解为水平面运动和垂直面运动,本文研究AUV的垂直面运动,其运动状态变量为深度z、俯仰角θ、升沉速度w和俯仰角速度q,假设其轴向速度为恒值(即),所有横向参数为0且AUV除了尾舵没有别的推进器,此时系统只有一个控制输入δs,而有2个运动自由度,其动力学方程可表示为[22-23]

(1)

其中,

其运动学可表示为[22-23]

(2)

式中各符号意义与文[22-23]中相同.假设其基准运动为轴向直航运动,没有艏向和横滚运动,二阶粘性阻尼系数为相对小量且(xGyGzG)=(xByBzB)=0,则式(1)可以整理为

(3)

其中,.

由于运动学方程(2)中含有sin θ和cos θ等非线性项,考虑到俯仰角θ≈0,有cos θ=1和sin θ=θ,式(2)可整理为

(4)

假设水动力系数Z(·)M(·)的标称值已知.由于系统参数的标称值一般并不足够精确,同时为了便于表述,以ZZ0和ΔZ分别代表系统参数的实际值,标称值和摄动值,它们关系是Z=Z0Z,在实际应用中,参数摄动值总是有界的.

x(t)=[w q θ z]T为状态向量,u(t)=δs(t)为控制向量,对于AUV的垂直面控制,关注的其深度输出z,由式(3)和式(4),并考虑到参数摄动,整理得

(5)

其中,d(xt)表示系统的已知和(或)未知的非线性项,包括系统未建模动态及外界随机扰动等;ΔA(xt)、ΔB(xt)是未知的时变函数矩阵,表示系统参数的不确定性;C=[0 0 0 1],AB为相应的确阶数系统矩阵,显然(AB)是可控的,(AC)是可观的.

对不确定AUV系统(5)设计鲁棒最优滑模控制器,使其动态性能具有标称系统的最优性能,同时具有滑模控制的全局鲁棒性.设计主要分3个部分:

1) 设计连续的控制量使标称系统具有满意的控制性能;

2) 构造滑动面,取消系统的趋近模态;

3) 设计不连续的控制量补偿系统中存在的各种不确定性.

2 主要结果 2.1 标称系统的SDRE最优控制器设计

本节首先不考虑不确定性对系统的影响,采用SDRE控制方法,对标称系统设计最优控制器.

设ΔA(xt)、ΔB(xt)和d(xt)均为0,则不确定AUV系统(5)对应的标称系统为

(6)

选取二次型性能指标:

(7)

其中,Q≥0和R > 0为加权矩阵,它们直接影响闭环系统的动态特性,调整QR权阵,可以有效折中控制量和系统的动态性能;u*为不考虑参数摄动和外界干扰不确定性的标称控制器.

根据极大值原理,标称系统(6)关于二次型性能指标(7)的最优控制律为

(8)

其中,λ(t)为式(9)中两点边值问题的解:

(9)

定理1[17]  标称系统(6)关于二次型性能指标(7)的SDRE最优控制律,由式(10)确定:

(10)

其中,P为Riccati矩阵方程

(11)

的唯一正定解. x(t)是闭环系统的最优动态方程

(12)

的最优解.

2.2 积分滑模面构造与不变性证明

根据最优控制理论,在SDRE标称最优控制律作用下,闭环系统(12)是渐近稳定的.但是对于存在不确定性的AUV系统(5),如果仍然采用SDRE标称控制器,则系统的动态响应就会偏离期望的最优轨线,甚至不稳定.

下面利用积分滑模的原理,设计不连续补偿控制,使SDRE标称最优控制器鲁棒化,保证系统在不确定性存在的情况下,运动轨迹与标称系统期望的最优轨迹相同.

首先,构造积分滑模面[16, 19]

(13)

其中,ϕ(t)是引入的辅助滑模变量;G为适当维数的常值矩阵,选择合适的G使得GB可逆.选择ϕ(t0)=-Gx(t0),可以看出,对于任意给定的初始条件x(t0),都能满足s(t0x(t0))=0,即初始条件就位于滑动流形上,从而取消了趋近模态.

假设1  ΔA(xt)、ΔΒ(xt)和d(xt)有界且满足匹配条件,即存在适当维数的未知函数矩阵使式(14)的关系成立:

(14)

即系统的不确定性满足匹配条件.

根据以上假设,定义:

(15)

为总的复合干扰和不确定项.由于构成δ(xt)的各项皆有界,因此δ(xt)必有界且假设存在已知的正常数γ0γ1使得式(16)的关系成立:

(16)

其中,‖·‖表示Euclidean范数.

其次,讨论滑动运动的稳定性和对复合干扰和不确定项具有不变性,给出定理2:

定理2  若不确定AUV系统(5)按式(13)选取积分滑模面,则其滑动模态对存在的参数摄动、外界随机扰动等不确定性具有完全不变性.

证明  由于系统无趋近模态,因此系统从一开始即在滑模上,对s(t)求导,可得

(17)

,得其等效控制:

(18)

将式(18)代入式(5)可得系统的理想滑动模态方程:

(19)

由式(19)可看出,滑动模态与参数摄动、外界随机扰动等不确定性无关,具有不变性.定理2,证毕.

注1  积分滑模使得系统的任意初始条件都在滑动面上,取消了趋近模态,削弱抖振现象,保证整个动态过程都具有滑动模态,从而实现全滑模控制.

注2  滑动模态方程的维数与系统维数相同,即系统不降阶.

2.3 鲁棒最优滑模控制律设计

针对不确定AUV系统(5)设计鲁棒最优滑模控制器,给出定理3.

定理3  对于不确定AUV系统(5),按式(13)选取滑模面,设计其鲁棒最优滑模控制律形式:

(20)

其中,-Kx(t)为标称系统的最优反馈控制器,K=R-1BTP > 0为最优反馈增益;ρ(x(t))为扰动补偿切换增益:

(21)

其中,μ为适当的正常数;sgn(·)为符号函数,则该控制器能保证起始于任意初值的不确定AUV系统(5),其状态轨线在有限时间到达滑动面s(t)=0,且一直保持在上面.

证明  选择李亚普诺夫函数:

(22)

对式(22)求导,有:

(23)

将鲁棒最优滑模控制律式(20)代入式(23),并参考式(15)整理得

(24)

其中,‖·‖1表示Euclidean 1-范数.式(24)表明,若‖s‖≠0,闭环系统是渐近稳定的,所以滑模存在和有限时间到达条件成立,定理3证毕.

结论  对于不确定AUV系统(5),若按式(13)构造积分滑模面,按式(20)选取鲁棒最优滑模控制律,则系统的整个动态过程关于给定的性能指标是全局鲁棒最优的.

3 仿真示例

本文以REMUS AUV的系统为仿真模型,其主要标称参数见表 1[22-23].

表 1 REMUS AUV的标称参数 Table 1 The nominal parameters values of the REMUS AUV
符号 数值 单位
-4.88 kg·m2/rad
-1.93 kg·m/rad
-35.5 kg
Mw|w| 3.18 kg
Mq|q| -188 kg·m2/rad2
Zw|w| -131 kg/m
Zq|q| -0.632 kg·m/rad2
Zuu -9.64 kg/(m·rad)
Muu -6.15 kg/rad
Muq -2 kg·m/rad
Muw 24 kg
Zuq -5.22 kg/rad
Zuw -28.6 kg/m
B0 306 N
W 299 N
m 30.48 kg
Iyy 3.45 kg·m2

假设AUV的航速为2 m/s,则其标称系统模型的矩阵方程为

下面考虑AUV系统的未建模动态,设所有相关水动力系数有30%的相对不确定度[9],则:

进行标称控制器设计时,调节QR矩阵,可以对控制量和控制性能进行权衡,既保证良好的控制性能,又避免控制量饱和.为简单起见,选择二次型性能指标(7)的加权矩阵Q=I4×4R=1.选择滑模控制器参数矩阵G=[1/B(1,1) 0 0 0],此时GB可逆.为了对比分别采用SDRE最优控制(SDRE optimal control)和鲁棒最优滑模控制(robust optimal sliding mode control),对AUV进行控制,本文给出了3种情况对比:

Case 1理想情况

假设AUV运行中处于理想状态,系统不存在参数摄动、随机扰动等不确定性,两种控制方法对比如图 2~图 4所示.

图 2 无不确定性情况状态响应对比曲线 Figure 2 Comparison curves of state variables without uncertainties
图 3 无不确定性情况控制律对比曲线 Figure 3 Comparison curves of the control law without uncertainties
图 4 无不确定性情况性能指标对比曲线 Figure 4 Comparison curves of the performance index without uncertainties

图 2~图 4可以看出,该种情况下两种控制器的控制结果基本一致.

Case 2有参数摄动情况

当AUV系统矩阵AB中参数发生参数摄动,系统两种控制方法对比如图 5~图 7所示.

图 5 有参数摄动情况系态响应对比曲线 Figure 5 Comparison curves of state variables with parameter perturbations
图 6 有参数摄动情况控制律对比曲线 Figure 6 Comparison curves of the control law with parameter perturbations
图 7 有参数摄动情况性能指标对比曲线 Figure 7 Comparison curves of the performance index with parameter perturbations

图 5~图 7可以看出,系统在存在参数摄动影响时,鲁棒最优滑模控制下的动态响应对参数摄动不敏感控制效果优于SDRE最优控制.

Case 3有外界扰动和参数摄动情况

当AUV系统矩阵AB中参数发生参数摄动,并存在外界随机扰动如图 8,两种控制方法对比如图 9~图 11所示.

图 8 随机扰动 Figure 8 Random disturbances
图 9 有随机扰动和参数摄动情况状态响应对比曲线 Figure 9 Comparison curves of state variables with random disturbances and parameter perturbations
图 10 有随机扰动和参数摄动情况控制律对比曲线 Figure 10 Comparison curves of the control law with random disturbances and parameter perturbations
图 11 有随机扰动和参数摄动情况性能指标对比曲线 Figure 11 Comparison curves of the performance index with random disturbances and parameter perturbations

图 9~图 11可以看出,系统在受到参数摄动和外界干扰同时影响时,此时SDRE最优控制作用下的动态响应偏离了原最优轨线,动态性能变差,不能正常工作,二次型性能指标也大大地超过了原最优值.而全局鲁棒最优滑模控制的状态轨线几乎不受扰动的影响,对参数摄动不敏感,说明了该方法是鲁棒最优的.

4 结论

本文将LQR方法与滑模控制理论相结合,设计了一种鲁棒最优滑模控制器,并应用于AUV系统控制中.该控制器分为2个部分:连续的标称控制量和不连续控制量,连续的标称SDRE控制器使标称系统具有满意的控制性能,不连续控制量为了更好地抑制系统不确定性扰动.最后,通过仿真结果表明,该控制器不仅能够实现AUV垂直面的深度控制并使性能指标最优,而且对于系统的未建模动态、外部随机干扰等不确定具有较强的鲁棒性.

参考文献
[1] 杜亮, 严卫生, 高剑, 等. 波浪干扰下的AUV纵向运动建模与模型预测控制[J]. 系统仿真学报, 2012, 24(6): 1180–1184.
Du L, Yan W S, Gao J, et al. Modeling and model predictive control of AUV longitudinal motion under wave disturbances[J]. Journal of System Simulation, 2012, 24(6): 1180–1184.
[2] 陈子印, 王宏健, 边信黔, 等. 基于反馈增益的AUV稳定神经网络反步变深控制[J]. 控制与决策, 2013, 28(3): 407–412.
Chen Z Y, Wang H J, Bian X Q, et al. Stable neural network backstepping for diving control of AUV based on feedback gain[J]. Control and Decision, 2013, 28(3): 407–412.
[3] Shen Y X, Shao K Y, Ren W J, et al. Diving control of autonomous underwater vehicle based on improved active disturbance rejection control approach[J]. Neurocomputing, 2016, 173: 1377–1385. DOI:10.1016/j.neucom.2015.09.010
[4] 万磊, 张英浩, 孙玉山, 等. 复杂环境下的欠驱动智能水下机器人定深跟踪控制[J]. 上海交通大学学报, 2015, 49(12): 1849–1854.
Wan L, Zhang H Y, Sun Y S, et al. Depth control of underactuated AUV under complex environment[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2015, 49(12): 1849–1854.
[5] 张利军, 齐雪, 赵杰梅, 等. 垂直面欠驱动自治水下机器人定深问题的自适应输出反馈控制[J]. 控制理论与应用, 2012, 29(10): 1371–1376.
Zhang L J, Qi X, Zhao J M, et al. Depth-keeping control for autonomous underwater vehicle in vertical plane using adaptive output feedback controller[J]. Control Theory & Application, 2012, 29(10): 1371–1376.
[6] Pan H J, Xin M. Depth control of autonomous underwater vehicles using indirect robust control method[J]. International Journal of Control, 2012, 85(1): 98–113.
[7] Moreira L, Soares C G. H2 and Hdesigns for diving and course control of an Autonomous underwater vehicle in presence of waves[J]. Journal of Oceanic Engineering, 2008, 33(2): 69–88. DOI:10.1109/JOE.2008.918689
[8] Subudhi B, Mukherjee K, Ghosh S. A static output feedback control design for path following of autonomous underwater vehicle in vertical plane[J]. Ocean Engineering, 2013, 63: 72–76. DOI:10.1016/j.oceaneng.2013.01.029
[9] 毕凤阳, 张嘉钟, 魏英杰, 等. 模型不确定时滞欠驱动AUV的模糊变结构控制[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2010, 42(3): 358–363.
Bi F Y, Zhang J Z, Wei Y J, et al. A fuzzy sliding mode controller for underactuated autonomous underwater vehicles with uncertain time delay[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2010, 42(3): 358–363. DOI:10.11918/j.issn.0367-6234.2010.03.005
[10] 魏英杰, 毕凤阳, 张嘉钟, 等. 时滞时变AUV的模糊变结构控制[J]. 系统工程与电子技术, 2009, 31(8): 1949–1952.
Wei Y J, Bi F Y, Zhang J Z, et al. Fuzzy sliding mode controller for time-delay and time-varying autonomous underwater vehicles[J]. Systems Engineering and Electronics, 2009, 31(8): 1949–1952.
[11] 孙昊, 陈贇, 冯源, 等. 大潜深AUV纵向变结构控制研究[J]. 弹道学报, 2012, 24(2): 20–24.
Sun H, Chen M, Feng Y, et al. Variable structure controller for longitudinal control of deep-submergence AUV[J]. Journal of Ballistics, 2012, 24(2): 20–24.
[12] 刘云龙, 高存臣, 任启峰, 等. 水下机器人基于sigmoid函数的软变结构控制[J]. 电机与控制学报, 2012, 16(2): 90–95.
Liu Y L, Gao C C, Ren Q F, et al. Soft variable structure control based on sigmoid functions for autonomous underwater vehicles[J]. Electric Machines and Control, 2012, 16(2): 90–95.
[13] Joe H, Kim M, Yu S C. Second-order sliding model controller for autonomous underwater vehicle in the presence of unknown disturbances[J]. Nonlinear Dynamics, 2014, 78(1): 183–196. DOI:10.1007/s11071-014-1431-0
[14] Traditionally J. Adaptive terminal sliding mode NDO-based control of underactuated AUV in vertical plane[J]. Discrete Dynamics in Nature and Society, 2016, 2016: 1–9.
[15] Elmokadem T, Zribi M, Youcef-Toumi K. Trajectory tracking sliding mode control of underactuated AUVs[J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 84(2): 1079–1091.
[16] Utkin V I, Shi J. Integral sliding mode in systems operating under uncertainty conditions[C]//Proceedings of the 35th IEEE Conference on Decision and Control. Piscataway, NJ, USA: IEEE, 1996: 4591-4596.
[17] Zhang J, Liu X, Xia Y, et al. Disturbance observer based integral sliding mode control for systems with mismatched disturbances[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2016, 63(11): 7040–7048. DOI:10.1109/TIE.2016.2583999
[18] Kim M, Joe H, Kim J, et al. Integral sliding mode controller for precise manoeuvring of autonomous underwater vehicle in the presence of unknown environmental disturbances[J]. International Journal of Control, 2015, 88(10): 1–43.
[19] Yang Q, Su H, Tang G Y. Approximate optimal tracking control for near-surface AUVs with wave disturbances[J]. Journal of Ocean University of China, 2016, 15(5): 789–798. DOI:10.1007/s11802-016-2986-9
[20] Ma H, Tang G Y, Hu W. Feedforward and feedback optimal control with memory for offshore platforms under irregular wave forces[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 328(4/5): 369–381.
[21] 唐功友, 逄海萍, 孙慧影. 不确定时滞系统的全局鲁棒最优滑模控制[J]. 控制理论与应用, 2009, 26(8): 850–854.
Tang G Y, Pang H P, Sun H Y. Global robust optimal sliding-mode control for uncertain systems with time-delay[J]. Control Theory & Application, 2009, 26(8): 850–854.
[22] Prestero T. Verification of a six-degree of freedom simulation model for the REMUS autonomous underwater vehicles[D]. Cambridge, MA, USA: MIT, 2001.
[23] Geranmehr B, Nekoo S R. Nonlinear suboptimal control of fully coupled non-affine six-DOF autonomous underwater vehicle using the state-dependent Riccati equation[J]. Ocean Engineering, 2015, 96: 248–257. DOI:10.1016/j.oceaneng.2014.12.032
[24] Kim D W. Tracking of REMUS autonomous underwater vehicles with actuator saturations[J]. Automatica, 2015, 58: 15–21. DOI:10.1016/j.automatica.2015.04.029
http://dx.doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2018.0176
中国科学院主管,中国科学院沈阳自动化研究所、中国自动化学会共同主办。
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杨清, 宿浩, 唐功友, 高德欣
YANG Qing, SU Hao, TANG Gongyou, GAO Dexin
不确定AUV系统的鲁棒最优滑模控制
Robust Optimal Sliding MODE Control for AUV System with Uncertainties
信息与控制, 2018, 47(2): 176-183.
Information and Control, 2018, 47(2): 176-183.
http://dx.doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2018.0176

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收稿/录用/修回: 2016-12-14/2017-02-20/2017-05-18

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