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非常数扩散率的分数阶分布参数系统的控制
陈娟1,2, 崔宝同1,2     
1. 江南大学轻工过程先进控制教育部重点实验室, 江苏 无锡 214122;
2. 江南大学物联网工程学院, 江苏 无锡 214122
摘要: 研究了具有混合边界条件和非常数扩散率的分数阶分布参数系统(原系统)的边界反馈控制问题.该问题可以视为具有常数扩散率的分数阶分布参数系统边界反馈镇定问题的推广.具体而言,通过变量变换将原系统转化为更具一般性的分数阶分布参数系统(新系统).利用反步法、积分变换设计新系统的Dirichlet边界反馈控制器,再根据给定的变量变换得到原系统的边界反馈控制器.进一步而言,基于Mittag-Leffler稳定性理论(分数阶李亚普诺夫稳定性理论)获得了在边界反馈控制器作用下的原系统Mittag-Leffler稳定的充分条件.最后给出了具体的数值仿真算例,从而说明了本文所提方法的有效性.
关键词: 非常数扩散率     分数阶分布参数系统     边界反馈控制     反步法    
Control of a Fractional Distributed Parameter System with Non-constant Diffusivity
CHEN Juan1,2, CUI Baotong1,2     
1. Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry(Ministry of Education), Jiangnan University, Wuxi 214122, China;
2. School of IoT Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China
Abstract: We consider the boundary feedback control of a fractional distributed parameter system (original system) with mixed boundary conditions and non-constant diffusivity. This situation can be viewed as a generalization of the boundary feedback stabilization problem of a fractional distributed parameter system with constant diffusivity. Specifically, we convert the original system into a general fractional distributed parameter system (new system) by a change of variables. We utilize the backsteping method and integral transformation to design a Dirichlet boundary feedback controller for the new system. Then, we can obtain a boundary feedback controller for the original system via the change of variables. Moreover, based on the Mittag-Leffler stability theory (fractional Lyapunov stability theory), we obtain sufficient conditions for Mittag-Leffler stability of the original system by the boundary feedback controller. Lastly, we present a specific numerical simulation example to verify the effectiveness of our proposed method.
Key words: non-constant diffusivity     fractional distributed parameter system     boundary feedback control     backstepping method    

0 引言

随着分数阶微积分和分布参数系统的发展,产生了分数阶分布参数系统.分数阶微积分[1]可能也有利于分布参数系统的建模和分析,或者说现实世界可以用分数阶微积分很好地描述,因而用来描述自然界中复杂的信息物理过程的分数阶分布参数系统具有广阔的研究前景和重要的研究意义,其中包括分数阶扩散系统、分数阶反应扩散系统等.一般而言,分数阶分布参数系统可以用分数阶微分方程来描述.近年来,分数阶微分方程的理论和应用方面的研究获得了众多科研人员关注[2-5].文[2]和文[3]分别探讨了分数阶系统的模糊跟踪控制问题以及混沌控制问题.Cui等[4]针对可变系数(非常数)时间分数阶微分方程,给出了一种求解该方程的高阶紧致指数有限差分算法.文[5]中,Chi等探讨了非常数扩散率的空间—时间分数阶微分方程的数值解问题.

分数阶反应扩散系统是由分数阶反应扩散方程[6]来描述的.具体来说是由反应项和反常扩散项构成的.反常扩散通常可以建模成时间分数阶或空间分数阶微分方程.由于反常扩散(分数阶扩散)模型可以更加精确地描述介质中的反常运输过程的记忆性和遗传性,因而被广泛地应用于水文学[7]、生物学[8-9]、图像处理[10]等方面.随着分数阶系统边界控制的仿真研究的不断发展进步,近年来涌现了大量的关于分数阶反应扩散系统的相关研究成果[11-12].Gafiychuk等在文[11]中主要分析了耦合的非线性分数阶反应扩散系统的稳定性并在此基础上研究了系统动力学方程的数值解问题.Turut等[12]将多变量近似法应用于时间分数阶反应扩散方程的解数值计算,并将该方法所得仿真结果与广义的微分变换方法的仿真结果作比较,从而验证了所提的多变量近似法的有效性.

另一方面,一些重要的控制方法,尤其是Krstic[13]提出的反步法,对整数阶反应扩散系统的边界镇定性问题[14-15]的研究起着重要的作用,其主要思想是应用积分变换将在边界反馈控制器作用下的给定系统转化为稳定的目标系统.反步法对于整数阶系统,特别是分布参数系统的控制问题而言,并不算是新方法.更多关于反步法的研究可以参阅文[16-17].文[17]考虑了反步法应用于整数阶分布参数系统的边界控制问题,该系统的反应项、对流项和扩散项的系数均为依赖于空间变量的系数(非常数).将反步法应用于分数阶分布参数系统的研究成果也有一些,比如文[18]研究了具有常数扩散率和Dirichlet或Neumann边界条件的分数阶反应扩散系统的边界反馈控制问题.文[19]将其结论推广到混合或Robin边界条件,其中边界反馈控制分别是Dirichlet、Neumann和Robin边界反馈控制.

文[18-19]均只考虑了具有常数扩散率的分数阶反应扩散系统的边界反馈控制问题.然而,在实际中,分数阶反应扩散过程的数学模型中的扩散系数通常是依赖于空间变量或时间变量的非常数[4, 20],这就需要重点研究具有非常数扩散率的分数阶系统.基于此,本文考虑依赖于空间变量的非常数扩散率,它可以看作是异质环境(非均匀介质)中的扩散过程[5, 21]的扩散率.进一步而言,根据文[22]中反步法在具有空间依赖性扩散率的整数阶反应扩散系统的边界反馈控制问题中的应用以及相关结论,本文将反步法引入到具有混合边界和非常数扩散率的分数阶分布参数系统,探讨基于反步法的边界反馈控制器的设计和系统可镇定性问题.这里系统的混合边界条件是指在x=0端点处为Robin边界条件,在x=1端点处为Dirichlet边界反馈控制,也就是说控制施加在x=1端点处.具体方法是选取适当的变量变换,从而原系统(分数阶分布参数系统)的边界反馈镇定问题就转化为新系统(更具一般性的分数阶分布参数系统)的相应问题.根据分数阶李亚普诺夫理论和变量变换方法,设计的边界反馈控制器可使得原系统在一定条件下达到Mittag-Leffler稳定.从理论方面而言,本文的研究内容丰富了分数阶分布参数系统控制问题的理论内容;从应用方面而言,本文的研究内容对解决实际工程应用问题具有一定的参考作用.

1 系统描述

考虑如下具有混合边界条件和非常数扩散率的Caputo时间分数阶分布参数系统,该系统的状态方程和初值为

(1)

其中,当x∈[0, 1]时,非常数扩散率ϕ(x)>0,u0(x)表示非零初值,0CDtα(·)表示Caputo时间分数阶导数[23],定义为

该系统的边界条件为

(2)
(3)

其中,p>0,U(t)为控制输入.

对于该系统(1)~(3),考虑新变量u(xt)替换原系统中的变量u(xt),可得更具一般性的非常数扩散率的分数阶分布参数系统:

(4)
(5)
(6)

其中,, .为了便于计算,这里假设为常数,后面内容中将给出ϕ(x)的解.

如果系统(4)~(6)的状态变量v(xt)的Caputo时间分数阶导数被整数阶导数取代的话,那么上述方程(4)将退化为文[22]中的非常数扩散率的整数阶偏微分方程(整数阶反应扩散系统).从常数扩散到非常数扩散的推广使得文[18-19]中的常数扩散率的分数阶分布参数系统的相关结论也同样适用于非均匀介质.

基于以上的分析可以发现,系统(1)~(3)的Mittag-Leffler稳定性问题可以转化为系统(4)~(6)的相应问题来讨论.由文[24]中的分数阶系统稳定性的结论可知,系统(4)~(6)(其中U1(t)=0)稳定的充分必要条件为

也就是多项式的根在闭合幅角扇区以外,其中,算子κ定义为.对于这样的开环系统(无控制输入)而言,如果a1(x)足够大的话,即使算子κ的特征值为负值,那么系统(4)~(6)还是会不稳定的.因而可以获得系统(1)~(3)(其中U(t)=0)也是不稳定的.本文的目的是考虑基于反步法的Dirichlet边界反馈控制作为控制输入使系统(1)~(3)稳定.

2 边界反馈控制

本节主要是通过反步法和积分变换求解系统(4)~(6)的控制器的核函数,从而获得系统(1)~(3)的核函数以及构造出相应的Dirichlet边界反馈控制器.应用积分变换[27]

(7)

以及Dirichlet边界反馈控制器:

(8)

将系统(4)、(5)转变为相应的目标系统,该目标系统的状态方程和初值为

(9)

边界条件为

(10)
(11)

其中,ϕ(x)>0,λ>0,p1s>0,w0(x)=v0(x)+∫0xk(xyv0(y)dy为初值.

为了方便进一步讨论目标系统的稳定性,引入Mittag-Leffler稳定性定义.

定义1[25]  如果:

其中,t0表示时间初值,α∈(0,1),β≥0,b>0,m(0)= 0,m(u)是非负的且m(u)关于u满足局部Lipschitz条件,uRn,Lipschitz常数为m0,∀α>0,tC.那么方程Ct0Dtαu(t)=f(xu)的解是Mittag-Leffler稳定的,其中0 < α < 1,u(t0)是初值条件,ft∈[t0,∞)上是分段连续的且关于u满足局部Lipschitz条件.

本文中u(xt)为函数可以看作以上定义中的向量u为1维向量时的情形,即uRn(n=1).根据定义1,当非常数扩散率ϕ(x)满足一定条件时,目标系统在L2(0,1)空间和H1(0,1)空间中是Mittag-Leffler稳定的,更多的细节参见第2.2节定理1的证明.因此,需要确定出稳定的条件以及求解出核函数k(xy).这里值的注意的是,系统(1)~(3)的相应Dirichlet边界反馈控制器为

(12)

其中,l(xy)为核函数,其与k(xy)的关系将在后面的内容中给出.

2.1 核函数解的分析

首先求解系统(4)~(6)的核函数k(xy).对积分变换(7)求x的1阶导数,再结合边界条件(5)和(10)可得k(0,0)=p1s-p1.求解积分变换(7)的Caputo时间导数和其关于x的2阶导数,再结合方程(4)和边界条件(5),有:

(13)

这里注意记号:

(14)

其中,kx(xx)=kx(xy)|y=xky(xx)=ky(xy)|y=x.

联合等式(13),记号(14)和k(0,0)=p1s-p1,可得k(xy)满足偏微分方程:

(15)

其中,(xy)∈Θ={0≤yx≤1}.

求解式(15)的第3个方程,再结合k(0,0)=p1s-p1,有

(16)

根据文[22]中的相关讨论,同样引入变量变换

(17)
(18)
(19)

将核函数偏微分方程(15)转变为便于讨论的标准形式.经过一系列变换和数学运算后,方程(15)转变为下面的的偏微分方程

(20)

其中,φ-1(·)表示φ(·)的反函数,

(21)

由式(16)经过变量变换替换后可得

(22)

该式与核函数偏微分方程(20)的第3个方程相吻合且.

考虑到系数的界限,文[19]中引理2的证明可以应用于偏微分方程(20)的解的问题.综合以上分析,可得下面的引理.

引理1  假设a1(y)∈C1[0, 1],核函数k(xy)偏微分方程(15)有唯一解,该解有界且在0≤yx≤1上二次连续可微,其中k(xy)由式(17)~(20)给出.

注1  系统(4)~(6)的边界反馈控制器也可以选择Neumann边界反馈控制器或Robin边界反馈控制器.在这两种情形下所求的核函数偏微分方程与Dirichlet边界反馈控制器情形下的核函数偏微分方程相同.因而核函数k(xy)不变.同理对于系统(1)~(3)也是一样的,即在Neumann或Robin边界反馈控制器两种情形下的核函数l(xy)也是不变的.

注2   这里的核函数k(xy)与文[22]中的核函数是有所不同的,区别在于约束条件k(0,0)的取值.文[22]中k(0,0)取值为零值,而本文中的k(0,0)的取值可以为零值也可以为非零值.因此,核函数l(xy)的约束条件l(0,0)取值同样也更为宽松.

最后,考虑到系统(1)~(3)到系统(4)~(6)之间的变量变换关系,再结合以上核函数k(xy)解的分析过程,可以得到系统(1)~(3)的核函数

(23)

其中,k(xy)由式(17)~式(20)给出.

为了直观描述核函数l(xy)的求解过程和相应的边界反馈控制器的构造过程,这里给出一个具体的例子.

例1  假设为常数,a1(x)=a+c=a1,系统(1)~(3)为

(24)
(25)
(26)

经过变量变换后的系统(4)~(6)为

(27)
(28)
(29)

考虑积分变换(7)和Dirichlet边界反馈控制器(8)将系统(27)、(28)转变为相应的目标系统(9)~(11).这里,目标系统中p1s=p1.应用上面所提方法求解核函数k(xy),有:

(30)

其中,(xy)∈Θ={0≤yx≤1}.

再根据等式(17)~(19),式(30)可以转化为

(31)

其中,-ϕ″(y))+a1+λ.

应用文[22]中第3部分的内容,这里同样假设为常数,μ=xy.从而可获得ϕ(μ)的两个解,这里取其中一个解:

(32)

ϕ0>0,x0是任意常数.该解满足为常数c的假设条件,根据等式(32)可得c=0.由于为常数,因而.

基于文[26]第8部分的相关内容可得偏微分方程(31)的解.再结合等式(17)~(19)与等式(32)可得

(33)

其中,v=xy.

(34)

其中,.

可得l(xy),且

(35)

以上的核函数k(xy)、k(1,y)、l(xy)和l(1,y)将被用于第3节的数值仿真.

2.2 Mittag-Leffler稳定的讨论

本节中,将分析系统(1)、(2)在Dirichlet边界控制器(12)作用下的Mittag-Leffler稳定性.在此通过讨论系统(4)、(5)、(8)的稳定性问题,再结合变量变换方法从而获得系统(1)、(2)、(12)稳定性的充分条件.

首先给出Caputo分数阶动力学系统平衡点的定义.

定义2[25]  常数z0是Caputo分数阶动力学系统Ct0Dtαz(t)=f(tz)的平衡点当且仅当f(tz0)=0.

从定义2也不难发现,系统(1)的平衡点为u(xt)=0,同理系统(4)的平衡点为v(xt)=0.为了证明系统(4)、(5)、(8)的Mittag-Leffler稳定性,积分变换(7)必须是可逆的,该结论已在文[27]中给出.另外,在主要结论的证明过程中用到了下面的重要引理.

引理2[28]  假设u(t)∈R是连续可微的函数,对于任意给定的时间tt0≥0,有,0 < α < 1.

定理1  假设a(x),a1(x)∈C1[0, 1],w2(xt)的拉普拉斯变换是存在的,x∈(0,1),t>0.

1) 若非常数扩散率ϕ(x)和由变量变换v(xt)= 作用得到的系统(4)~(6)对应的目标系统(9)~(11)的参数满足下面的约束条件

(36)

其中,ϕmax表示ϕ(x)二阶导数在[0, 1]上的最大值,ϕmin表示ϕ(x)在[0, 1]上的最小值,那么对任意初值u0(x)∈L2(0,1),在Dirichlet边界反馈控制器(12)作用下的系统(1)、(2)有唯一解且其平衡点u(xt)=0在L2(0,1)空间中是Mittag-Leffler稳定的,其中控制器的核函数l(xy)由式(23)给出.

2) 对任意初值u0(x)∈H1(0,1),在Dirichlet边界反馈控制器(12)作用下的系统(1)、(2)有唯一解且其平衡点u(xt)=0在H1(0,1)空间中是Mittag-Leffler稳定的,其中核函数l(xy)由式(23)给出.

证明   1)本部分证明分为以下两步:

第1步  系统(4)、(5)、(8)在L2(0,1)空间中的Mittag-Leffler稳定性:考虑如下的李亚普诺夫泛函

(37)

应用分部积分的方法以及引理2,求解方程(37)的Caputo时间导数,则有

(38)

应用分部积分方法,可得

(39)

将等式(39)代入式(38),并应用Poincare不等式,可进一步得到

(40)

根据约束条件(36),可得

(41)

其中,.

由于w(·,t)满足目标系统(9)和Caputo时间分数阶导数定义[23],因此w(·,t)在t∈[0,∞)上是连续可微的.由此可得V(tw(xt))和0CDtαV(tw(xt))在t∈[0,∞)上都是连续可微的.根据文[25]中定理5.1的证明过程,考虑到w2(xt)的拉普拉斯变换是存在的,同样可以获得

(42)

其中,V(t)=V(tw(x,t)),V(0)=V(0,w(x,0)).

进一步应用等式(37)和式(42),可得

(43)

其中,V(0)=V(0,w(x,0))>0(w(x,0)≠0),V(0,w(x,0))= 0 (w(x,0)=0).根据定义1以及V(tw(xt))关于w(xt)满足局部Lipschitz条件,可得目标系统(9)~(11)在L2(0,1)空间中的Mittag-Leffler稳定性.

基于文[27]中引理2.4,存在常数cd>0使得下面的不等式成立:

(45)

和:

(47)

结合不等式(43)~(45),易得

(48)

其中,M1=c4t≥0.

根据以上证明,同理可得系统(4)、(5)、(8)在L2(0,1)空间中的Mittag-Leffler稳定性.

第2步  系统(1)、(2)、(12)在L2(0,1)空间中的Mittag-Leffler稳定性:

将不等式(48)代入上式,可得

其中,ϕmax表示ϕ(x)在[0, 1]上的最大值,.

同理可得,系统(1)、(2)、(12)平衡点u(xt)=0在L2(0,1)空间中是Mittag-Leffler稳定的,即系统(1)的部分证明完成.

2) 首先证明系统(4)、(5)、(8)在H1(0,1)空间中的Mittag-Leffler稳定性,然后讨论系统(1)、(2)、(12)的H1Mittag-Leffler稳定性.

考虑李亚普诺夫泛函:

(49)

求解方程(49)的Caputo时间分数阶导数,再结合引理2,可得

(50)

为了求解∫01wx(xt)0CDtαwx(xt)dx,将wxx(xt)与方程(9)相乘后求其乘积从0到1的积分,则有

(51)

借助于分部积分法,再次计算上面乘积的积分,可得

(52)

比较等式(51)和等式(52),易得

(53)

将等式(53)代入式(50),再结合ϕ(x)>0,可得

下面的证明过程与第1)部分相关内容相类似,同样可得系统(4)、(5)、(8)在H1(0,1)空间中的Mittag-Leffler稳定性,再结合变量变换可得系统(1)、(2)、(12)在H1(0,1)空间中是Mittag-Leffler稳定的.因此,该定理第2)部分得证.

推论1 (Neumann边界反馈控制下的Mittag-Leffler稳定性)假设a(x),a1(x)∈C1[0, 1],w2(xt)的拉普拉斯变换是存在的,其中x∈[0, 1],t>0.

1) 对任意初值u0(x)∈L2(0,1),在Neumann边界反馈控制器:

(54)

作用下的系统(1)、系统(2),若扩散率ϕ(x)和该系统在变量变换作用下获得的系统的目标系统参数满足约束条件:

那么该系统的平衡点在L2(0,1)空间中是Mittag-Leffler稳定的,其中核函数l(xy)由式(23)给出.

2) 对任意初值u0(x)∈H1(0,1),在Neumann边界反馈控制器(54)作用下的系统(1)、(2)的平衡点在H1(0,1)空间中是Mittag-Leffler稳定的,其中核函数l(xy)由式(23)给出.

证明  与定理1类似,故此略去.

注3  定理1和推论1的结论同样可以推广到系统(1)、(2)在Robin边界反馈控制下的情形,类似地可以讨论该受控系统Mittag-Leffler稳定的充分条件,得到的结论与前者较为接近并无本质性的差异,故此略去.

3 仿真算例

本文将通过具体的数值仿真例子呈现Dirichlet边界反馈控制器(12)对非常数扩散率的分数阶分布参数系统(1)、(2)的控制效果.本文的数值仿真利用文[29]所提的数值算法,有限差分近似法以及用差分估计微分的方法求解分数阶分布参数系统.仿真中空间步长和时间步长分别为.

考虑参数L=1,T=0.5,N=20,M=280.扩散率参数ϕ0=1,x0=2,即扩散率为ϕ(x)=(x-2)2.显然,该扩散率满足约束条件(36).令系统参数为α=0.7,a(x)=20,p=1.5,p1=p1s=1,λ=10,系统初值为u0(x)=10x(1-x)/2-x,核函数l(1,y)由式(34)、(35)给出.根据这些参数,图 1给出了非常数扩散率ϕ(x)和核函数l(1,y)的演变情况.

图 1 系统(1)、系统(2)、系统(12)的非常数扩散率和核函数 Figure 1 Non-constant diffusivity and gain kernel of the system(1), (2), (12)

图 2描绘了Dirichlet边界反馈控制器(12)的控制效果和系统(1)、(2)、(12)的状态L2(0,1)范数演变情况.从图 2中可以看出,Dirichlet边界反馈控制器(12)可以使得该受控系统在L2(0,1)空间中Mittag-Leffler稳定(状态范数收敛于0).

图 2 Dirichlet边界反馈控制器(12)和系统(1)、系统(2)在该控制器作用下的状态L2范数图 Figure 2 The Dirichlet boundary feedback controller(12) and evolution of state L2 norm of system(1), (2) with this controller

进一步而言,图 3(a)3(b)的对比图也说明了该受控系统在H1(0,1)空间中是Mittag-Leffler稳定的(状态收敛于0).

图 3 系统(1)、系统(2)在无控制作用和在Dirichlet边界反馈控制器(12)作用下的状态图 Figure 3 Evolution of state of system(1), (2) without control and with the Dirichlet boundary feedback controller (12)
4 小结

本文探讨了具有混合边界和非常数扩散率的分数阶分布参数系统的镇定性问题.通过变量变换方法将该系统转变为更为一般的分数阶分布参数系统来讨论.文中得到的系统的Mittag-Leffler稳定性的结论具有一定的可推广性.以后的工作可以考虑一类非常数扩散率的耦合分数阶分布参数系统以及带时滞的分数阶分布参数系统的基于反步法的边界反馈镇定问题.

参考文献
[1] Farges C, Moze M, Sabatier J. Pseudo-state feedback stabilization of commensurate fractional order systems[J]. Automatica, 2010, 46(10): 1730–1734. DOI:10.1016/j.automatica.2010.06.038
[2] 李宁, 李亚光, 王宏兴, 等. 分数阶永磁同步电机混沌系统模糊跟踪控制[J]. 信息与控制, 2016, 45(1): 8–13.
Li N, Li Y G, Wang H X, et al. Fuzzy tracking control for fractional-order permanent magnet synchronous motor chaotic system[J]. Information and Control, 2016, 45(1): 8–13.
[3] 贾雅琼, 俞斌, 尹艳清, 等. 基于参数切换的分数阶系统的混沌控制[J]. 信息与控制, 2016, 45(3): 266–271.
Jia Y Q, Yu B, Yin Y Q, et al. Parameter-switching-algorithm-based chaos control in fractional-order systems[J]. Information and Control, 2016, 45(3): 266–271.
[4] Cui M R. Compact exponential scheme for the time fractional convection-diffusion reaction equation with variable coefficients[J]. Journal of Computational Physics, 2015, 280(2): 143–163.
[5] Chi G S, Li G S, Sun C L, et al. Numerical solution to the space-time fractional diffusion equation and inversion for the space-dependent diffusion coefficient[J]. Journal of Computational and Theoretical Transport, 2017, 46(2): 122–146. DOI:10.1080/23324309.2016.1263667
[6] Baeumer B, Kovacs M, Meerschaert M M. Numerical solutions for fractional reaction-diffusion equations[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2008, 55(10): 2212–2226.
[7] Ganti V, Meerschaert M M, Foufoula-Georgiou E, et al. Normal and anomalous diffusion of gravel tracer particles in rivers[J]. Journal of Geophysical Research Earth Surface, 2010, 115(F2): 1–12.
[8] Ding Y S, Ye H P. A fractional-order differential equation model of HIV infection of CD4+T-cells[J]. Mathematical and Computer Modelling, 2009, 50(3/4): 386–392.
[9] Magin R L, Ingo C, Colon-Perez L, et al. Characterization of anomalous diffusion in porous biological tissues using fractional order derivatives and entropy[J]. Microporous and Mesoporous Materials, 2013, 178(18): 39–43.
[10] Zhou X J, Gao Q, Abdullah O, et al. Studies of anomalous diffusion in the human brain using fractional order calculus[J]. Magnetic Resonance in Medicine, 2010, 63(3): 562–569. DOI:10.1002/mrm.v63:3
[11] Gafiychuk V, Datsko B, Meleshko V, et al. Analysis of the solutions of coupled nonlinear fractional reaction-diffusion equations[J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2009, 41(3): 1095–1104.
[12] Turut V, Guzel N. Comparing numerical methods for solving time-fractional reaction-diffusion equations[J]. ISRN Mathematical Analysis, 2012, 2012(3): 1–28.
[13] Krstic M, Smyshlyaev A. Boundary control of PDEs:A course on backstepping designs.Philadephia,[M]. USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2008.
[14] Krstic M. Compensating actuator and sensor dynamics governed by diffusion PDEs[J]. Systems & Control Letters, 2009, 58(5): 372–377.
[15] Vazquez R, Krstic M. Boundary observer for output-feedback stabilization of thermal-fluid convection loop[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2010, 18(4): 789–797. DOI:10.1109/TCST.2009.2028549
[16] 胡建兵, 韩焱, 赵灵冬. 一种新的分数阶系统稳定理论及在back-stepping方法同步分数阶混沌系统中的应用[J]. 物理学报, 2009, 58(4): 2235–2239.
Hu J B, Han Y, Zhao L D. A novel stability theorem for fractional systems and its application in synchronizing fractional chaotic system based on back-stepping approach[J]. Acta Physica Sinica, 2009, 58(4): 2235–2239. DOI:10.7498/aps.58.2235
[17] Vazquez R, Krstic M. Boundary control of coupled reaction-advection-diffusion systems with spatially-varying coefficients[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2017, 62(4): 2026–2033. DOI:10.1109/TAC.2016.2590506
[18] Ge F D, Chen Y Q, Kou C H. Boundary feedback stabilisation for the time fractional-order anomalous diffusion system[J]. IET Control Theory & Applications, 2016, 10(11): 1250–1257.
[19] Chen J, Zhuang B, Chen Y Q, et al. Backstepping-based boundary feedback control for a fractional reaction diffusion system with mixed or Robin boundary conditions[J]. IET Control Theory & Applications, 2017, 11(17): 2964–2976.
[20] Chen S, Liu F, Jiang X, et al. A fast semi-implicit difference method for a nonlinear two-sided space-fractional diffusion equation with variable diffusivity coefficients[J]. Applied Mathematics and Computation, 2015, 257: 591–601. DOI:10.1016/j.amc.2014.08.031
[21] Cherstvy A G, Chechkin A V, Metzler R. Particle invasion, survival, and non-ergodicity in 2D diffusion processes with space-dependent diffusivity[J]. Soft Matter, 2014, 10: 1591–1601. DOI:10.1039/C3SM52846D
[22] Smyshlyaev A, Krstic M. On control design for PDEs with space-dependent diffusivity or time-dependent reactivity[J]. Automatica, 2005, 41(9): 1601–1608. DOI:10.1016/j.automatica.2005.04.006
[23] Podlubny I. Fractional differential equations[M]. San Diego: USA:Academic Press, 1999.
[24] Matignon D. Stability results for fractional differential equations with applications to control processing[J]. Computational Engineering in Systems Applications, 1996, 2: 963–968.
[25] Li Y, Chen Y Q, Podlubny I. Stability of fractional-order nonlinear dynamic systems:Lyapunov direct method and generalized Mittag-Leffler stability[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2010, 59(5): 1810–1821.
[26] Smyshlyaev A, Krstic M. Closed-form boundary state feedbacks for a class of 1-D partial integro-differential equations[J]. IEEE Transactions Automatic Control, 2004, 49(12): 2185–2202. DOI:10.1109/TAC.2004.838495
[27] Liu W J. Boundary feedback stabilization of an unstable heat equation[J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 2003, 42(3): 1033–1043. DOI:10.1137/S0363012902402414
[28] Aguila-Camacho N, Duarte-Mermoud M A, Gallegos J A. Lyapunov functions for fractional order systems[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, 19(9): 2951–2957. DOI:10.1016/j.cnsns.2014.01.022
[29] Li H F, Cao J X, Li C P. High-order approximation to Caputo derivatives and Caputo-type advection-diffusion equations (Ⅲ)[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2016, 299(3): 159–175.
http://dx.doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2018.0223
中国科学院主管,中国科学院沈阳自动化研究所、中国自动化学会共同主办。
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陈娟, 崔宝同
CHEN Juan, CUI Baotong
非常数扩散率的分数阶分布参数系统的控制
Control of a Fractional Distributed Parameter System with Non-constant Diffusivity
信息与控制, 2018, 47(2): 223-230, 256.
Information and Control, 2018, 47(2): 223-230, 256.
http://dx.doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2018.0223

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收稿/录用/修回: 2017-11-02/2018-01-08/2018-01-24

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