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基于Takagi-Sugeno模糊模型的分数阶混沌系统的预测投影同步
陈旭, 郑永爱     
扬州大学信息工程学院, 江苏 扬州 225127
摘要: 研究了分数阶混沌系统的投影同步问题,基于Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型和预测反馈控制,提出了一种新的实现分数阶混沌系统同步的模糊预测投影同步方法.利用分数阶李亚普诺夫直接方法,导出了分数阶混沌系统的投影同步准则.与现有的方法相比,该方法具有控制器结构简单,控制代价小及通用性强等特点,可适用于混沌研究文献中一大类分数阶混沌系统.通过对两个分数阶混沌系统的数值实验进一步验证了所提投影同步方法的有效性.
关键词: 分数阶系统     混沌同步     Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型     预测控制    
Predictive Projective Synchronization of Fractional-order Chaotic Systems Based on Takagi-Sugeno Fuzzy Models
CHEN Xu, ZHENG Yongai     
College of Information Engineering, Yangzhou University, Yangzhou 225127, China
Abstract: In this study, we investigated the projective synchronization problem of fractional-order chaotic systems. Based on the Takagi-Sugeno (T-S) fuzzy model and prediction-based feedback control, we propose a new fuzzy predictive projective synchronization method for synchronizing fractional-order chaotic systems. To derive the predictive projective synchronization criteria of fractional-order chaotic systems, we use the fractional-order Lyapunov direct method. Compared with existing methods, this derived method has the advantages of a simple structure, low control cost and high generality. Furthermore, this method can be applied to a large class of fractional-order chaotic systems, as identified in the chaos research literature. We employ two fractional-order chaotic systems to demonstrate the effectiveness of the proposed projective synchronization method.
Keywords: fractional-order system     chaotic synchronization     Takagi-Sugeno(T-S) fuzzy model     predictive control    

0 引言

作为整数阶微积分自然推广的分数阶微积分是数学的一个研究分支,它起源于19世纪,已有近300年的历史.随着对分数阶微积分研究的不断深入,研究者普遍认为一些物理系统用分数阶微积分描述更加准确,因此分数阶微积分已经成为科学和工程许多领域的研究热点之一.现在,人们发现许多分数阶动力系统表现出混沌与超混沌行为,如分数阶Chen系统[1]、分数阶Lorenz系统[2-3]、分数阶Genesio-Tesi系统[4]、分数阶Rössler系统[5-6]、分数阶金融系统[7]和分数阶超混沌Chen系统[8]等.另一方面,混沌同步在保密通信领域有着巨大的应用前景.自1990年Pecora和Carroll提出了混沌同步的定义并在电路中应用以来,混沌同步迅速成为非线性研究领域的热点. 1999年,Mainieri和Rehacek在研究部分线性混沌系统中观察到的投影同步是重要的混沌同步类型[9],该同步类型为在一定条件下耦合的驱动系统与响应系统间的输出状态不仅相位锁定,而且振幅还按某一比例因子关系演化.近来,投影同步已被许多学者进行了广泛的研究[10-13].

T-S模型是一种典型的动态系统模糊模型,它将线性系统理论与模糊理论相结合来解决非线性系统控制问题,将整个非线性系统的控制看作是多个局部线性系统控制的模糊叠加.利用T-S型模糊系统精确表示混沌系统,文[14]实现了混沌系统的同步控制.

由于Ushio等[15]提出的预测反馈控制方法不需要任何外部生成的控制信号,因此它是一种非常有效的控制方法.文[15]研究了整数阶离散混沌系统的预测控制,其中控制输入是由预测状态和当前状态的差决定.后来,Boukabou等在文[16]中提出了整数阶连续时间混沌系统的预测反馈控制.基于T-S模糊模型和预测控制方法,Senouci[17]和Zheng[18]等分别研究了整数阶和分数阶连续时间混沌系统的控制与同步.

基于T-S模糊模型和预测反馈控制,本文提出了一种新的实现分数阶混沌系统同步的模糊预测投影同步方法.基于分数阶李亚普诺夫直接方法,分数阶混沌系统渐近同步的充分条件被明确给出和严格的证明.数值仿真表明该方法的有效性.

1 分数阶微积分

分数阶微分的定义有多种,这里采用Caputo定义. Caputo微分定义为[19]

(1)

式中,n-1 < α < nnNΓ(·)为伽马函数:

(2)

考虑非自治分数阶系统:

(3)

其中,α∈(0,1)是分数阶,x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T∈Rn是系统的状态向量,f(·)=[f1f2,…,fn]T∈Rn是可微的非线性向量函数.

引理1[20]  设x(t)=0是非自治分数阶系统(3)的一个平衡点,假设存在一个李亚普诺夫函数V(x(t),t)和K类函数γi(i=1,2,3)满足:

(4)
(5)

这里α∈(0,1),那么系统(3)是渐近稳定的.

引理2[19]  设x(t)∈Rn是一个可微函数向量,那么对于任意t≥0且α∈(0,1),不等式(6)成立:

(6)

其中P∈Rn×n是一个n×n维常值正定矩阵.

2 分数阶混沌系统的模糊预测同步

假设分数阶系统(3)作为驱动系统,该系统可用T-S模型来精确描述:

(7)

其中,Mij(j=1,2,…,p)是模糊集合,r是模糊推理规则数,x(t)∈Rn是状态向量,Ai∈Rn×nz1(t)~zp(t)是模糊前件变量,α是分数阶系统的阶数且0 < α < 1.分数阶T-S模糊模型的最终输出形式为

(8)

其中,z(t)=[z1(t),z2(t),…,zp(t)],wi(z(t))=Mi(z(t))是z(t)关于模糊集Mi的隶属函数,wi(z(t))满足:

(9)

假设用代替wi(z(t)),则表达式(8)为

(10)

其中,

(11)

hi(z(t))可以看作是模糊推理规则的正则化权重.

针对驱动系统(7)或驱动系统(10),构造响应系统:

(12)

其中,y(t)=[y1(t),y2(t),…,yn(t)]T∈Rn是系统的状态向量,ui(t)=[u1i(t),u2i(t),…,uni(t)]T∈Rn是系统的控制输入.

响应系统最终输出形式为

(13)

定义1  对于系统(10)和系统(13),如果||y(t)-ρx(t)||=0,则称系统(10)和系统(13)实现了投影同步,其中,ρ称为比例因子,||·||表示欧氏范数.

定义同步误差为e(t)=y(t)-ρx(t),根据系统(10)和系统(13),误差系统可表示为

(14)

显然,系统(10)和系统(13)投影同步的问题转化为当t→∞时误差系统(14)的零解稳定性问题.对误差系统(14)设计模糊预测控制器:

(15)

这里,同步增益ki∈(-1,0)(i=1,2,…,r)在后面确定.

注1  文[17-18]中的控制输入是预测不控制状态和实际控制状态的差乘以增益矩阵,即ui(t)=Ki(Aie(t)-e(t)),其中增益矩阵Ki需要通过Matlab中的线性矩阵不等式工具箱来求解.本文的控制输入是预测不控制状态和实际控制状态的和乘以增益常数,并且增益常数的取值范围较容易给出,因此相比文[17-18]中的方法,本文的方法更简单,易于实现.

把方程(15)代入方程(14)得

(16)

下面的定理给出了受控投影同步误差系统(16)零解渐近稳定的一个充分条件,即驱动系统(10)和响应系统(13)实现渐近投影同步的一个充分条件.

定理1  设In×n维单位矩阵,如果(1+ki)+kiI < 0(i=1,2,…,r),那么受控投影同步误差系统(16)的零解是渐近稳定的,即驱动系统(10)和响应系统(13)是渐近投影同步的.

证明  考虑一个李亚普诺夫函数:

(17)

根据引理2,V(t)沿系统(16)的分数阶导数满足:

(18)

因为(1+ki)+kiI < 0(i=1,2,…,r),所以存在正交矩阵Ui(i=1,2,…,r)和正定对角矩阵Λi=diag(λ1iλ2i,…,λni)(i=1,2,…,r)使得(1+ki)+kiI=-UiTΛiUi(i=1,2,…,r).因此由式(18)可知:

(19)

由引理1可知受控投影同步误差系统(16)的零解是渐近稳定的,即驱动系统(10)和响应系统(13)是渐近投影同步的.

3 数值仿真

为了进一步验证上述所提同步方案的有效性,仿真中研究了分数阶Rössler混沌系统和分数阶Lorenz混沌系统的同步.

3.1 分数阶Rössler混沌系统

考虑式(20)的分数阶Rössler混沌系统作为驱动系统:

(20)

α=0.97,a=0.34,b=0.4,c=4.5时,图 1为该分数阶Rössler系统的混沌吸引子.

图 1α=0.97,(abc)=(0.34,0.4,4.5)时,分数阶Rössler系统的混沌吸引子 Figure 1 The chaotic attractor of fractional order Rössler system with α=0.97, (a, b, c)=(0.34, 0.4, 4.5)

假设d=10,分数阶Rössler系统的分数阶T-S模糊系统模型可以表示为

(21)

其中,

模糊集F1(x1(t))=F2(x1(t))=.

响应系统的T-S模糊系统模型表示为

(22)

其中,

A1A2F1(x1(t))、F2(x1(t))同上.

对上面的同步过程设计模糊预测控制器:

(23)

根据定理1,当-1 < k1≤-0.253 7,-1 < k2≤-0.909 2时,驱动系统(21)和响应系统(22)之间的模糊预测投影同步能够实现.当α=0.97,a=0.34,b=0.4,c=4.5,ρ=2,k1=-0.7,k2=-0.95时,图 2给出了驱动系统(21)和响应系统(22)的混沌吸引子.相应的投影同步误差状态曲线如图 3所示.从误差效果图 3可以看出,所设计的控制器可以实现分数阶Rössler混沌系统的预测投影同步.

图 2α=0.97,ρ=2,(abc)=(0.34,0.4,4.5),(k1k2)=(-0.7,-0.95)时,驱动系统(21)和响应系统(22)的混沌吸引子 Figure 2 The chaotic attractors of drive system (21) and response system (22) with α=0.97, ρ=2, (a, b, c)= (0.34, 0.4, 4.5), (k1, k2)=(-0.7, -0.95)
图 3α=0.97,ρ=2,(abc)=(0.34,0.4,4.5),(k1k2)=(-0.7,-0.95)时,驱动系统(21)和响应系统(22)之间投影同步的误差状态曲线 Figure 3 The error state curves of the projective synchronization between drive system (21) and response system (22) with α=0.97, ρ=2, (a, b, c)=(0.34, 0.4, 4.5), (k1, k2)=(-0.7, -0.95)
3.2 分数阶Lorenz混沌系统

考虑将式(24)的分数阶Lorenz混沌系统作为驱动系统:

(24)

α=0.994,a=10,b=8/3,c=28时,图 4为该分数阶Lorenz系统的混沌吸引子.

图 4α=0.994,(abc)=(10,8/3,28)时,分数阶Lorenz系统的混沌吸引子 Figure 4 The chaotic attractor of fractional order Lorenz system with α=0.994, (a, b, c)=(10, 8/3, 28)

与分数阶Rössler混沌系统的数值仿真类似,假设d=30,分数阶Lorenz系统的分数阶T-S模糊系统模型可以表示为

(25)

其中,

模糊集F1(x1(t))=F2(x1(t))=.

响应系统的T-S模糊系统模型表示为

(26)

其中,

A1A2F1(x1(t))、F2(x1(t))同上.

对上面的同步过程设计模糊预测控制器:

(27)

根据定理1,当-1 < k1≤-0.933 4,-1 < k2≤-0.933 4时,驱动系统(25)和响应系统(26)之间的模糊预测投影同步能够实现.当α=0.994,a=10,b=8/3,c=28,ρ=-1,k1=k2=-0.95时,图 5给出了驱动系统(25)和响应系统(26)的混沌吸引子.相应的投影同步误差状态曲线如图 6所示.从误差效果图 6可以看出,所设计的控制器可以实现分数阶Lorenz混沌系统的预测投影同步.

图 5α=0.994,ρ=-1,(abc)=(10,8/3,28),k1=k2=-0.95时,驱动系统(25)和响应系统(26)的混沌吸引子 Figure 5 The chaotic attractors of drive system (25) and response system (26) with α=0.994, ρ=-1, (a, b, c)= (10, 8/3, 28), k1=k2=-0.95
图 6α=0.994,ρ=-1,(abc)=(10,8/3,28),k1=k2=-0.95时,驱动系统(25)和响应系统(26)之间投影同步的误差状态曲线 Figure 6 The error state curves of the projective synchronization between drive system (25) and response system (26) with α=0.994, ρ=-1, (a, b, c)=(10, 8/3, 28), k1=k2=-0.95
4 结论

本文针对分数阶混沌系统的投影同步问题,采用T-S模糊模型精确表示分数阶混沌系统,设计一种新的模糊预测控制器,即控制输入是预测不控制状态和实际控制状态的和乘以增益常数,实现分数阶混沌系统的模糊预测投影同步.利用分数阶李亚普诺夫直接方法,对模糊预测控制器的稳定性进行了分析,导出了分数阶混沌系统的投影同步准则.以分数阶Rössler混沌系统和分数阶Lorenz混沌系统为例,数值仿真结果验证了所提投影同步方法的有效性.与现有的结果相比,该方法具有控制器结构简单,控制代价小及通用性强等特点,可适用于混沌研究文献中一大类分数阶混沌系统.本文所提的分数阶混沌系统的模糊预测投影同步方法需要分数阶混沌系统的数学模型,如何在分数阶混沌系统的数学模型未知的情况下实现系统的模糊预测投影同步,有待进一步研究.

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http://dx.doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2018.7142
中国科学院主管,中国科学院沈阳自动化研究所、中国自动化学会共同主办。
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陈旭, 郑永爱
CHEN Xu, ZHENG Yongai
基于Takagi-Sugeno模糊模型的分数阶混沌系统的预测投影同步
Predictive Projective Synchronization of Fractional-order Chaotic Systems Based on Takagi-Sugeno Fuzzy Models
信息与控制, 2018, 47(5): 559-563, 572.
Information and Control, 2018, 47(5): 559-563, 572.
http://dx.doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2018.7142

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收稿/录用/修回: 2017-03-29/2017-06-30/2017-07-20

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