2. 武汉理工大学机电工程学院, 湖北 武汉 430070
2. School of Mechanical and Electronic Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China
0 引言
实际工程项目中，常存在由不连续或带随机噪声的量测信号合理地提取连续信号及微分信号的问题，处理不当可能存在产生毛刺、相位滞后、微分品质差的现象.为了解决此类问题，同时提高系统设计的简便性和实用性，韩京清等人提出跟踪微分器思想[1].随后，韩京清等人利用“等时区方法”构造出跟踪微分器的二阶离散形式，并用于自抗扰控制、滤波、安排过渡过程、系统辨识等[2-5].文[6-10]利用跟踪微分器良好的跟踪、微分信号提取特性，搭建了非线性控制结构，用于伺服系统控制、旋翼飞行器姿态估计、磁悬浮控制的信号检测及航天仿真器的参数辨识.
跟踪微分器之所以具有抗扰动能力，是因为它在最优控制开关线附近加了线性区域，韩京清等人也在文中说明了线性区域的重要性，即TD的跟踪性能和微分品质对线性区域的大小比较敏感[2].理想情况下，二阶离散系统从初始点沿最优控制轨迹到达原点的过程中，一阶状态量应该从初始值逐渐减小，然后经过k步到达原点，完成最速控制.然而数值仿真表明，在输入信号含扰动的跟踪过程中，二阶跟踪微分器对应的等效系统原点往往存在扰动，导致需要不断地寻找新的平衡态.另外，韩京清等人根据等时区方法给出的综合函数含有根号计算[2]，这在工程实现中存在一定的复杂性.
基于以上背景，谢云德等人在TD的基础上进行了线性区域边界特征的研究，引入辅助线，设计了分段线性化的二阶离散跟踪微分器[11]，随后又结合等时区理论，提出了一种边界特征线、特征点可方便修改的二阶离散跟踪微分器，并用于磁悬浮列车的测速定位[12-13]，以上算法避免了根号计算，但其特征点和特征线仍然对经验值依赖度较高，且实现起来运算量大.景奉水等人根据二阶跟踪微分器作用机理，提出依据输入信号调整内部速度因子的自适应跟踪微分器[14]，该方法对收敛性能有所改善，但含根号计算，且跟踪迟滞仍然比较严重. Li等人根据最优控制理论，提出可以从任意位置到达原点的二阶离散跟踪微分器的最速控制函数[15]，算法结构简单、计算量小，但相比TD，其抗扰能力差.陈怡然等人为了解决扰动问题，在开关线附近设计了一种可调节宽度的线性区[16]，但是仍具有较窄的适应范围，且含有根号计算.张帆等人提出由跟踪间距的滑动窗口标准差调整速度、滤波参数[17]，但未对其本质进行阐述，且含多个根号项，不利于FPGA平台工程应用[18].
考虑控制策略固定、输入状态存在扰动的最优控制系统，每个阶段的控制往往不能达到系统的最优状态，只有动态地更新控制策略，才能达到最优控制的目的[18]；二阶最速控制系统的跟踪过程可以看作质点寻求平衡态的运动过程[14]，而最速控制函数即是质点的边界约束条件，适当改善边界约束条件，即可优化运动过程[19].基于以上思路，本文在文[17]的基础上提出一种具有动态边界特征的二阶离散跟踪微分器.其特征在于：
1) 引入一阶状态的绝对值或其统计函数作为动态边界特征的调节因子，提高二阶离散跟踪微分器应对突变信号的响应能力，并给出绝对值或统计函数的适用情况；
2) 简化韩氏最速控制函数中的根号计算及分段线性算法实现的计算量，使算法更适合工程应用.
本文首先在仿真平台上将算法用于纯净正弦、阶跃信号跟踪，分析一阶状态的绝对值作调节因子的算法收敛性能、计算性能；然后将算法用于含噪正弦信号滤波，结合噪声系数实验分析一阶状态的统计函数作调节因子的收敛性能、抗扰能力；最后在实验平台上使用提出的方法处理含高频干扰的电网电压信号.仿真及实验结果验证了本文方法的有效性与可行性.
1 问题分析连续条件下，考虑二阶积分串联系统跟踪某时变输入信号v1(t)=v(t)+w(t)(t∈[0, ∞])的过程，其中v(t)为真实有效的原始信号，w(t)为来自外界的扰动信号.
定理[1] 如果二阶系统
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(1) |
的任意解均满足x1→0，x2→0(t→∞)，则对任意有界可积函数v1(t)和任意T>0，系统(记该系统为系统(1)派生的跟踪微分器)
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(2) |
的解的第一个分量x1(r，t)满足
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(3) |
对文[1]给出的定理作如下变换：
首先，由式(3)得到式(4)
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(4) |
然后，令X1=x1-v(t)，X2=Ẋ1，代入式(2)中，得到等价于二阶系统(2)的形式(记为系统(2)的等效系统)
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(5) |
对以上结果讨论如下：
1) 当w(t)=0时，即输入信号中不存在扰动信号时，由文[1]的定理可知，随着r的增大，系统(2)的解的一阶分量经有限时间都将会跟踪原始信号，二阶分量跟踪原始信号的导数.对应到系统(2)的等效系统(5)，随着r的增大，一阶和二阶分量经有限时间可到达相平面原点.这正是二阶跟踪微分器的理想跟踪状态.
2) 当w(t)≠0且有界可积时，由文[1]的定理可知，随着r的增大，二阶系统(2)的解的一阶分量在任意有限时间内都将会跟踪时变输入信号，其二阶分量都将跟踪时变输入信号的导数.对应到系统(2)的等效系统(5)，随着r的增大，一阶分量在任意有限时间内都将跟踪扰动信号，二阶分量都将跟踪扰动信号的导数.
对于上述连续系统，以ΔT(T为常数)为间隔对系统(2)的状态进行采样，得到的一系列离散状态就可以构成二阶系统(2)的离散形式.文[2]正是采用这样的思路，利用等时区理论推导了该离散形式下的最速控制函数，得到韩氏二阶离散跟踪微分器如式
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(6) |
其中，ΔT为采样步长，表示离散化处理中相邻两个采样点之间的时间差.对该离散系统作如下分析：
1) 当采样步长ΔT→0时，二阶离散系统(6)成为连续时间系统(2)的一种特殊形式，此时满足系统(2)的结论，即系统(6)将会跟踪时变输入信号.
2) 当采样步长ΔT逐渐增大时，根据等时区理论，存在常数r及适合的采样步长ΔT，使得二阶离散系统(6)经有限步即可到达平衡态[2-3].由此可知，离散系统(6)会跟踪输入信号v1(k)的趋势.存在与系统(5)形式相似的二阶离散系统(6)的等效系统，其解的一阶分量将趋近于扰动信号w(k)，二阶分量趋近于扰动信号的差分信号(w(k)-w(k-1))/ΔT.值得注意的是，连续系统在离散化过程中，必然会产生诸多误差，且不同的采样步长对系统性能均有影响，而本文的讨论均是在适合的采样步长条件下，定性地分析输入扰动对系统状态的影响.
式(6)中，r和h分别称速度因子和滤波因子，决定系统收敛速度和滤波性能，需人为设定.二者之所以能够决定跟踪性能，本质上是因为同时确定了系统在线性区内外的控制强度以及线性区域、G(2)等时区的大小(线性区域、G(2)等时区的边界方程)[2-3].
假设存在常数r、适合的采样步长以及确定的速度、滤波因子，对二阶离散跟踪微分器(6)作类似系统(5)的等价变换，称为系统(6)的等效系统，则等效系统跟踪含扰动的离散输入信号的过程如图 1.其一阶状态和二阶状态的运动过程可描述如下：当t=0时，初始状态为(X1(0)，X2(0))的等效系统，受最速控制量作用，以原点O0为目标原点，完成一步最优控制；当t=k·ΔT时，O0受扰动w(k)作用导致目标原点Ok，状态为(X1(k)，X2(k))的等效系统，受最速控制量作用，以Ok为目标原点，完成一步最优控制；当t=(k+m)·ΔT时，Ok受扰动w(k+m)作用导致目标原点Ok+m…离散系统不断受到扰动，不断寻找新的平衡态.
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| 图 1 输入状态含扰动的二阶等效系统最速控制 Figure 1 Time optimal control of second-order equivalent system with input state perturbation |
由以上过程可知，突变的扰动会导致系统(6)等效系统的状态出现：
1) 状态由线性区域内变为线性区域外，控制量由线性值变为极值，最速控制过程重新开始.
2) 状态由线性区域内部变为距离原点更远的线性区域内部，控制量变为一个绝对值更大的线性值，到达原点的过程被延缓.
3) 考虑一种特殊情况，状态刚好在线性区域边界的附近，由于初始边界固定，扰动的出现可能使状态在边界上下频繁切换.
基于以上讨论，韩氏TD存在两点不足：
1) 初始参数确定，应对突变输入信号不能及时调整边界范围和控制强度.
2) 最速控制函数fhan(x1-v，x2，r，h)中有根号计算[2]，对FPGA等工程应用平台来说，算法不易实现.
如果能在跟踪过程中实时观测等效系统的原点扰动情况，及时调整线性区间的边界大小，同时简化根号计算，就可以改善最速控制结构的性能和效率.
2 DBC-TD算法设计考虑二阶积分串联系统
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(7) |
其离散形式可表示为
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(8) |
其中，h为采样步长，X(k)=(X1(k)X2(k))T为第k步，即T=h·k时的状态，另外
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(9) |
方程(8)的X(0)=(X1(0)X2(0))T为初值的解的表达式为
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(10) |
其中，u(k)为第k步的控制量，所以在k+1步之内到达原点的初始点的方程
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(11) |
为方便分析，对于两步之内可到达原点的等时区G(2)，以下都称为可达区域.
2.1 边界的确定由第1节可知，对于输入时变信号v1的二阶离散跟踪微分器，令X1=x1-v，X2=Ẋ1，得到的等效系统状态记作(X1，X2).下面确定在该系统中，线性区域及可达区域的边界.
由式(9)可得点a+i和a-i(i≥2)的坐标为
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(12) |
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(13) |
于是，点a±i(i≥2)位于两个半抛物线上
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(14) |
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(15) |
整合式(14)、式(15)为一个方程
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(16) |
同理，可得b±i及c±i所在曲线的方程
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(17) |
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(18) |
其中，s=sgn X2.式(16)~式(18)就是与所要找的线性区域的边界特征线相关的Γa、Γb及Γc方程，如图 2.
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| 图 2 系统边界特征 Figure 2 System boundary characteristics |
下面分析可达区域之内的情况，由式(11)得到两步之内能够到达原点的初始点的方程
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(19) |
将上式展开，并令y=X1+hX2，可得
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(20) |
对上式作进一步推导可知，可达区域是由一组平行线X1+hX2=h2r、X1+hX2=-h2r与另一组平行线X1+2hX2=h2r、X1+2hX2=-h2r交叉围成的区域，如图 2.
结合图 2和式(20)可知，当状态坐标满足|y|≤h2r与|X2+y/h|≤hr，两步内可达原点；满足|y|≤h2r与|X2+y/h|>hr(或|y|>h2r与|X2+y/h|≤hr)，此时状态点在其中一组平行线之间，而在另一组之外，此时要采取点在上边界上方，控制量取u=-r，在下边界下方，控制量取u=+r的原则，即先完成开关控制，再进行线性控制.
2.2 边界特征的动态调整经2.1节的推导，得到离散条件下可达区域之外的与线性区域边界有关的Γa、Γb及Γc方程，以及可达区域边界方程.为分析边界调整的原理，对边界方程作进一步变换.
整理式(16)、式(17)得
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(21) |
由图 3与式(21)可知，以上两条抛物线满足
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(22) |
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| 图 3 提出的相平面规划 Figure 3 The proposed phase plane programming |
其中的符号函数满足
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(23) |
将式(21)改写并开方，等式取与X2相同符号得
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(24) |
由前文可知，在可达区域之外，线性区域上边界Γ1由Γa-与Γb-构成，同理下边界Γ2由Γa+与Γb+构成.定义
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(25) |
那么有可达区域之外的上边界Γ1和下边界Γ2可以表示为
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(26) |
由2.1节可知，可达区域之内的上边界Γ1和下边界Γ2可以表示为
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(27) |
由式(26)和式(27)可知，线性区域及可达区域的上下边界大小由|hr|决定，这也是韩氏边界方程[2].由1节可知，对于输入状态存在扰动的情况，韩氏系统的上边界Γ1和下边界Γ2也固定，导致控制量u容易“误观测”与“误操作”，引起跟踪的迟滞和较差的抗扰能力.为此考虑一个动态调整的边界，其特征在于：
1) 当系统靠近原点时，就收缩边界，缩小控制极值，否则就扩展边界，增大控制极值；
2) 边界存在下限，不能无限收缩，这个下限是由初始参数确定的，即满足控制需求的合适边界；
3) 边界没有上限，这就确保了系统可以在宽时变信号范围内调整或者不调整边界.
对边界动态调整的方法如下式
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(28) |
式中，h0和r0为初始参数，kh和kr为调节系数.
文[17]在连续条件下，宏观分析了跟踪间距的变化与速度、滤波因子的关系，本文将其推广到通过观测一阶状态量的绝对值调节线性区域、可达区域边界大小的本质.
为了进一步降低“误观测”，可以根据需求选用能够代表一阶状态扰动规律的统计规律函数(statistic function)如均值、方差等估计方法对一阶状态分量进行修正，如下式
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(29) |
相比式(28)，式(29)可以针对实际噪声环境采用不同的修正规律函数，因此动态边界的调整具有更强的鲁棒性.当然，式(29)也具有更大的计算量.根据两式的特点，式(28)可用于如目标跟踪中对抗噪要求相对较低的随机信号跟踪场合，而式(29)可用于如电力滤波等兼顾实时性、抗噪性要求的含噪信号跟踪场合.
2.3 算法步骤经2.2节可知，对于任意的能够经有限步到达原点的初始点(X1，X2)，韩氏最速控制函数的本质是基于式(26)、式(27)的相平面分割策略.由式(26)可知，韩氏结构存在根号计算，在文[11]基础上，本文引入辅助线X2=c(c为常数)，重新规划相平面，并采取如下步骤得到最速控制函数，如图 3.
Step 1 计算开关函数s=sgn X2、y=X1+hX2；计算分区条件所需的与初始点(X1，X2)有相同纵坐标的Γa+和Γa-组成的边界Xa=-(sX22+hrX2)/2r，Γb+和Γb-组成的边界Xb=-(sX22+5hrX2+2h2r2)/2r，Γc+和Γc-所组成的边界Xc=-(sX22+3hrX2)/2r；
Step 2 满足分区条件|y|≤h2r，|X2+y/h|>hr的所有初始点所在区域记为1区域，控制量取极值u=-r·sgn X2；
Step 3 满足分区条件|y|≤h2r，|X2+y/h|≤hr的所有初始点所在区域记为2区域，控制量取u=-r(X2+y/h)/(hr)(即可达区域内部)；
Step 4 满足分区条件|y|>h2r，X2≥0的情况下：
1) X1>Xa的所有初始点所在区域为3区域中1区块，控制量取极值u=-r；
2) X1 < Xb的所有初始点所在区域为3区域中2区块，控制量取极值u=+r；
3) Xb≤X1≤Xa的所有初始点所在区域为3区域中3区块，控制量应取线性值，当X1>Xc时，控制量u=-r(X1-Xc)/(Xa-Xc)，当X1 < Xc时，控制量u=r(Xc-X1)/(Xc-Xb)；
Step 5 满足分区条件|y|>h2r，X2 < 0的情况下：
1) X1>Xb的所有初始点所在区域为4区域中1区块，控制量取极值u=-r；
2) X1 < Xa的所有初始点所在区域为4区域中2区块，控制量取极值u=+r；
3) Xa≤X1≤Xb的所有初始点所在区域为4区域中3区块，控制量应取线性值，当X1>Xc时，控制量u=-r(X1-Xc)/(Xb-Xc)，当X1 < Xc时，控制量u=r(Xc-X1)/(Xc-Xa)；
Step 6 满足分区条件|y|>h2r，|Xa| < |X1| < |Xb|的所有初始点所在的区域记为5区域，并且控制量为u=-2r·sgn(X1-Xc)·|X1-Xc|/|Xb-Xa|. (即线线区域内部但可达区域外部)
至此，相平面内所有初始状态及控制量规划完毕.采用上述步骤实现最速控制的二阶离散跟踪微分器表示如式(30).将该二阶离散跟踪微分器称作具有动态边界特征的跟踪微分器，记作DBC-TD(Tracking Differentiator with Dynamic Boundary Characteristic).
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(30) |
实际应用中算法的执行过程是这样的：Step 1为边界计算初始化；Step 2到Step 6的本质均是逻辑判断结构，将中间计算环节省略，即可进一步简化计算量.
3 性能验证为验证提出方法的跟踪及微分提取性能，在仿真平台下，将DBC-TD的跟踪结果与文[2]、文[11]、文[15]中二阶离散TD(分别记为TD、ITD1、ITD2)的结果比较研究.首先将算法用于纯净正弦、阶跃信号跟踪，验证一阶状态的绝对值作调节因子的DBC-TD跟踪性能；然后将算法用于含噪正弦信号滤波，验证一阶状态的统计函数作调节因子的DBC-TD的滤波性能.最后在实验平台下，利用算法处理含高频干扰的电网电压信号，验证提出方法在工程应用中的可行性.
仿真平台下，4种方法的初始参数如表 1.
| TD | ITD1 | ITD2 | DBC-TD |
| h0=0.001 | |||
| h=0.001 | h=0.001 | h=0.001 | r0=30 |
| r=30 | r=30 | r=30l=8 | kh=1 |
| kr=1 000 |
仿真1 图 4(a)到图 4(c)为输入4 Hz正弦信号的跟踪结果.三种方法均良好跟踪，相比TD、ITD1、ITD2，DBC-TD有更小的跟踪迟滞，以及精细的微分效果. 图 4(d)~图 4(f)为输入40 Hz正弦信号的跟踪结果.由图可知，TD和ITD1已经严重衰减和滞后，而其他两种均无幅度衰减及较大的滞后，DBC-TD迟滞更小，幅值几乎无衰减，微分效果好.该组结果表明提出的方法应对输入信号的变化响应速度更快，收敛效果更佳.
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| 图 4 不同频率正弦输入TD、ITD1、ITD2及DBC-TD性能 Figure 4 Performance of TD, ITD1, ITD2and DBC-TD for pure sinusoidal signal input in different frequency |
为了进一步分析仿真1中四种方法性能差异的原因，将它们在跟踪过程中的一阶状态和二阶状态信息提取出来，做相轨迹分析，如图 5.
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| 图 5 正弦输入时TD、ITD1、ITD2及DBC-TD相轨迹 Figure 5 Phase trajectory of TD, ITD1, ITD2and DBC-TD for pure sinusoidal signal input in different frequency |
由图 5(a)到图 5(h)可知，TD、ITD1和DBC-TD拥有类似的相轨迹，结合前文可知是因为它们的最速控制原理相同；相比于前二者，DBC-TD的开关扰动范围更小，表明其收敛能力更强；而ITD2的最优轨迹明显不同，一阶量拥有相对较大的摆动范围.当输入信号频率提高而初始速度、滤波因子不改变时，拥有相同控制机理的TD、ITD1和DBC-TD开始出现差异，TD、ITD1并不能在小范围扰动，表明二者的调整能力受到限制，需要重新给定初始参数.而DBC-TD的开关扰动范围更小，表明它能以最短时间到达平衡状态，初始参数的适应区间更宽.
仿真2 为验证改进算法的计算性能，在仿真1的基础上添加计时模块，多次循环计算后，随机抽取TD、ITD1、ITD2及DBC-TD中的30个计时结果整理如图 6.仿真平台为MATLAB R2016a，计算机CPU为Intel i5-6200，RAM为8 GB.
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| 图 6 TD、ITD1、ITD2及DBC-TD计算时间曲线 Figure 6 Algorithm computing time curves of TD, ITD1, ITD2and DBC-TD |
结果表明，DBC-TD具有和TD相近的平均单次运算时间，ITD1相比二者平均单次计算时间略长，ITD2是结构完全不同于前三者的算法，因而不考虑性能，平均单次计算时间最短.值得注意的是，该计算性能并不代表所有平台(如DSP、FPGA等)的效果.
仿真3 图 7(a)到图 7(c)为输入4 Hz阶跃信号的跟踪结果，从图中可以看到，TD、ITD1均有很长的上升时间；相比ITD1和ITD2，本文的DBC-TD在上升时间和超调量方面改善极其明显.该组结果表明改进方法具有更强的阶跃响应能力.
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| 图 7 阶跃输入时TD、ITD1、ITD2及DBC-TD性能 Figure 7 Performance of TD, ITD1, ITD2 and DBC-TD for step signal input |
仿真4 为了验证本文方法在输入信号时变性较强时的滤波性能，在观测一阶状态的基础上加一个窄窗口的方差估计函数，设计DBC-TD，完成以下仿真验证.输入信号由含信噪比SNR=55 dB的高斯白噪声与4Hz纯净正弦信号叠加而成，仿真结果如图 8所示.
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| 图 8 含噪正弦输入时TD、ITD1、ITD2及DBC-TD性能 Figure 8 Performance of TD, ITD1, ITD2 and DBC-TD for noisy sinusoidal signal input |
由图 8(a)到图 8(c)可知，含噪情况下，四种方法的跟踪结果均受到一定影响.相比TD、ITD1、ITD2，DBC-TD的跟踪速度最快，滞后最小，因此其微分信号含有相对较多的波动，但是跟踪误差的方差最小，表明其跟踪抗干扰能力较强，适合提取噪声环境中有效原始信号.不过，此时不宜直接提取其二阶信号，而应处理后提取，例如将前级TD的二阶输出量作为后级TD的一阶输入量，以级联的方式处理[10].
仿真5 在仿真4的基础上，给定含有不同信噪比的噪声的输入信号，进一步比较四种离散TD对噪声的处理能力.从仿真结尾取每种方法的2 000个二阶输出量作为研究对象，初始参数同表 1，输入信号与所含噪声的信噪比范围是10 dB~90 dB，采用标准差作为考察指标，计算方法如下式[13].将得到的性能指标整理如图 9.
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| 图 9 TD、ITD1、ITD2及DBC-TD标准差-信噪比曲线 Figure 9 Standard deviation-SNR curves of TD, ITD1, ITD2 and DBC-TD |
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(31) |
该组结果表明，在含噪严重的情况，如信噪比低于30 dB时，DBC-TD稍逊于TD和ITD1，明显优于ITD2；随着含噪情况的好转，如信噪比高于30 dB时，本文方法的二阶输出量的标准差更小，表明该方法有更好的抗噪能力.
3.3 算法用于电网电压信号处理光伏储能系统中，AC-DC变换是能量在储能电池和电网之间转换的重要环节.实际的电网侧电压、电流中含有大量高频干扰，导致AD-DC变换器的采样效果不理想，从而影响变换器整体的控制策略性能.
实验 为验证提出方法在该情况下的滤波性能，本文基于一台单相AC-DC变换器样机，采集了网侧实际电压，在数字信号处理器中应用DBC-TD算法对采样信号跟踪处理，得到的跟踪前后信号如图 10所示.硬件平台为TI公司的TMS320F28377S，算法执行频率、ADC采样率与变换器控制策略频率均为20 kHz.
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| 图 10 DBC-TD算法处理电网电压信号 Figure 10 Grid voltage signal processing with DBC-TD algorithm |
如图 10，实验结果表明，DBC-TD的跟踪信号较好地抑制了原电网电压中的高频毛刺，同时较快地跟踪了原信号的变化趋势，只有极小的相位滞后，基本满足变换器控制策略对采样信号的收敛速度和抗噪能力需求.
经多次验证得到实验平台的经验：初始滤波参数h0取采样间隔的时间差ΔT(也即算法控制周期)，初始速度参数取r0=300h0，一阶状态方差估计窗口宽度D=10~100时，可以获得良好的跟踪效果.
4 结论本文提出一种具有动态边界特征的二阶离散跟踪微分器，提高了算法应对突变信号的响应能力、抗扰能力，简化了算法复杂度.首先将本文方法用于纯净正弦、阶跃信号跟踪，验证了一阶状态的绝对值作调节因子的DBC-TD收敛速度快，微分提取良好，计算量小；然后将算法用于含噪正弦信号滤波，验证了一阶状态的统计函数作调节因子的DBC-TD收敛效果好，抗扰能力强；最后在实验平台上使用提出的方法处理含高频毛刺的电网电压信号，验证了本文方法的可行性.本文方法是在初始速度、滤波参数适合的条件下改善的，后续将研究初始参数整定规律，进一步简化跟踪微分器应用的复杂程度.
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