0 引言
码分多址(code division multiple access,CDMA)是多址通信的重点技术.与其它技术相比,CDMA技术能够同时支持大量的用户,因此频谱利用率得以大大提升.但是CDMA系统依然存在缺陷,即此系统中存在很强的多径干扰和多址干扰,为了解决这个问题,学者们将互补序列的概念引入了CDMA系统的研究中.互补序列利用其理想的相关性,理论上可以完全消除多径干扰和多址干扰,但是完全理想的互补序列数目非常少,很难满足多类系统的要求.为了找到更多满足相关性能的互补序列,学者们将零相关区(zero correlation zone,ZCZ)引入了互补序列的研究中,这样便放宽了序列设计的条件.学者们秉承着这样的理念,对ZCZ互补序列集的构造方法进行了深入研究,并取得了很多成果.文[1-2]首先用简单序列多项式运算的方式提出了ZCZ互补序列集,其缺点是序列集的数目少,有一定的局限性.之后有学者利用内积和多项式迭代两种方法将ZCZ互补序列集的数目进行了扩展[3-5].考虑到参数优化的问题,文[6-9]对最佳或几乎最佳的序列集进行了详细的研究.为了使序列各参数更加的灵活,应用范围更广,又做了大量的研究[10-11].
交织技术是序列设计中最常用且最基础的方法,可以在一定程度上扩展子序列的长度.在满足构造条件的情况下,移位序列的个数决定了序列长度被扩展的倍数.所以交织技术的核心部分是移位序列的构造,在这方面学者们也提出了多种方法.文[12-16]通过对零相关区长度的奇偶性进行讨论构造出了移位序列,本文的移位序列也采用此思想来构造出不同值的移位序列,扩大了移位序列的选择范围.文[17]利用序列数目与序列长度的整数倍关系构造了形式简单的移位序列,文[18]将序列长度写为多项式,通过多项式中的参数关系构造移位序列等.
综上所述,本文首先将移位序列进行了改进,接着将完备序列与交织技术相结合,利用Hadamard正交矩阵在结构上的特点构造出包含多个子序列集,且可通过调节零相关区长度使其参数达到最佳的ZCZ周期互补序列集.方法二也利用Hadamard正交矩阵的结构特点与ZCZ序列集进行交织,得到具有大的零相关区长度的ZCZ周期互补序列集.
1 基本概念与定义定义1[19] 设序列集B={bi|0≤i≤M-1},其包含M个子序列,每一个子序列向量bi的周期为N. ∀bi,bj∈B,如果周期相关函数满足:
(1) |
则称序列集B是参数可表示为ZCZ(N,M,Z)的ZCZ序列集,Z为零相关区长度.本文中单个序列均以向量的形式表示.
定义2[15] 设序列集C={C0,C1,…,CM-1},其中每个子集Cm={C0m,C1m,…,CN-1m}包含N个周期为L的子序列,可表示为Cnm=(cnm(0),cnm(1),…,cnm(L-1)). ∀Cm1,Cm2∈C,如果周期相关函数满足:
(2) |
则将序列集C称作ZCZ周期互补序列集,其可表示为最简形式(M,Z)PCSNL.其中参数M为子序列集的个数,N为每个子序列集中子序列的个数,L为子序列的长度,Z为零相关区长度.
定义3[20] 给定序列b=(b0,b1,…,bL-1),其周期为L,ei=(ei,0,ei,1)是长度为2的序列,其中ei,0,ei,1∈{0,1,…,L-1},构造一个序列:
(3) |
将ui定义为交织序列,记为ui=I(Lei,0(b),Lei,1(b)),其中,Lei,0(b)表示对序列b左移ei,0位,I(Lei,0(b),Lei,1(b))表示对左移后的两个序列进行交织运算.
引理1[20] 设任意两个交织序列u和v,形式为
令τ=2τ1+τ2,则序列u和v的互相关函数为
(4) |
其中,d0=ei,0-ej,0,d1=ei,1-ej,1,d2=ei,0-ej,1,d3=ei,1-ej,0-1,均为模L运算.当d0≠d1且d2≠d3时,序列u和v移位不等价.
定义4[21] 给定一个完备序列b=(b0,b1,…,bL-1),其周期为L,长度为N1的移位序列e=(e0,e1,…,eN1-1),h=(h0,h1,…,hN1-1)是一个周期为N1的序列,有如下定义所示:
(5) |
每个表示为(M,Z)PCSNL的序列集称为ZCZ周期互补序列集,其参数都满足不等式M≤N⌊L/Z⌋,此不等式称为序列集的理论界限,其中⌊L/Z⌋表示对L/Z向下取整.当不等式中的等号成立时,序列集的参数达到最佳值,此时的序列集被称为最佳ZCZ周期互补序列集.
2 ZCZ周期互补序列集的构造 2.1 移位序列的构造本文引用文[12]中移位序列的构造思想,在距离d0,d1,d2,d3满足的条件不变的情况下,将其构造方法做进一步改进,得到不同的移位序列,具体的过程如下:
设移位序列集合E={e0,e1,…,ei,…,eM-1},其中每一个向量ei=(ei,0,ei,1),ei,0,ei,1∈{0,1,2,…,L-1}.其中Z,L均为非零正整数,2 < Z < L,下面将Z分奇偶两种情况分别讨论.
情况1 Z为偶数,取M=⌊(L-2)/Z⌋:
(6) |
情况2 Z为奇数,取M=⌊(L-1)/Z⌋.对于0≤i≤M-1,移位序列ei的结构为
当Z|L时:
(7) |
当Z✗L时:
(8) |
上述构造方法中,⌊x⌋表示取小于等于x的整数,移位序列中的元素都取模L运算.
定理1 所构造的移位序列集合中,∀ei,ej∈E均满足性质:
证明 下面只对情况1(Z为偶数)中当Z|L-1时进行证明,其它情况的证明过程类似.
设0≤i,j≤M-1,ei,ej∈Ε,则
步骤1 取一个完备序列a=(a0,a1,…,aL-1),其周期为L,一个N1×N1阶Hadamard矩阵H.将正交矩阵H分为N1/2个N1×2阶的矩阵,分割后的矩阵可表示为
(9) |
其中0≤k≤N1/2-1,为了表示方便,将矩阵Hk重新定义为
(10) |
步骤2 构造移位序列集合E={e0,e1,…,eM-1},其中每个移位序列ei=(ei,0,ei,1),0≤i≤M-1.
步骤3 利用完备序列a与N1/2个矩阵构造矩阵C(i,g),具体过程为
(11) |
其中,0≤g≤N1-1,hg,0k与hg,1k均为矩阵Hk中第g行的元素,
定理2 构造的序列集C包含MN1个子集,每一个子集又包含N1/2个子序列,每个子序列长度为2L,将子序列合并,称序列集C是参数为(MN1,Z)PCSN1/22L的ZCZ周期互补序列集.
证明 在序列集C中任意取两个序列C(i1,g1)和C(i2,g2),其中0≤i1,i2≤M-1,0≤g1,g2≤N1-1,令τ=2τ1+τ2,结合式(5)给出的定义,序列C(i1,g1)与C(i2,g2)的相关函数可表示为
(12) |
1) 当i1=i2时,序列C(i1,g1)与C(i2,g2)属于同一个子序列集.
当g1≠g2时,hg1与hg2正交,则由式(12)可得C(i1,g1)与C(i2,g2)的相关性为
当g1=g2,且τ=0时,由完备序列a的相关性可得:
2) 当i1≠i2时,序列C(i1,g1)与C(i2,g2)属于不同的子序列集.
当g1≠g2时,hg1与hg2正交,则由式(12)可得C(i1,g1)与C(i2,g2)的相关性为
当g1=g2时,对于τ2=0,若0 < τ < Z,则有0 < τ1 < Z/2.因为
由式(12)可得:
对于τ2=1,若0 < τ < Z,则有0 < τ1 < (Z-1)/2.因为
则由式(12)可得:
由上述讨论过程可得,序列集C为ZCZ周期互补序列集.表示为(MN1,Z)PCSN1/22L.
由ZCZ周期互补序列集的理论界可知,定理2所构造的序列集C的各参数满足不等式
步骤1 选取一个参数为(M,L,Z)的ZCZ序列向量S,其中M表示子序列的个数,L表示子序列的长度,Z表示零相关区长度.取一个N×N阶的Hadamard正交矩阵H,N≥4,将正交矩阵分割为K个N×P阶的矩阵H={Hk,0≤k≤K-1},且满足K·P=N,其中K、P均为2的幂次. ZCZ序列向量S与分割后的第k个矩阵Hk的形式为
(13) |
(14) |
步骤2 利用ZCZ序列集与K个矩阵Hk构造出序列集D={D(k,m),0≤k≤K-1,0≤m≤M-1},其中每个子序列集D(k,m)={D0(k,m),D1(k,m),…,DN-1(k,m)},每个子序列Dj(k,m)的构造公式为
(15) |
其中0≤j≤N-1,序列集D包含KM个子集,每个子集中又包含N个子序列,每个子序列的长度为PL.还可将序列集D表示为由含有M个序列的K个子集组成,即D=D0∪D1∪…∪DK-1.
定理3 构造的序列集D为ZCZ周期互补序列集,参数表示为(KM,PZ)PCSNPL,序列集D的各子集内满足零相关特性,各子集间满足周期互补特性.
证明 设∀D(k1,m1),D(k2,m2)∈D,0≤k1,k2≤K-1,0≤m1,m2≤M-1,τ=Pτ1+τ2.子集D(k1,m1)与D(k2,m2)的相关函数为
(16) |
下面分情况讨论:
1) 当k1=k2且m1=m2时,称为自相关.由ZCZ序列集的性质可得:
当m1≠m2且τ=0时,由ZCZ序列集的性质可知RSm1,Sm2(0)=0,所以由式(16)可得:
若0≤τ < PZ时,有ΦD(k1,m1),D(k2,m2)(τ)=0.说明同一个子集内的序列满足零相关特性.
2) 当k1≠k2时,由Hadamard矩阵的结构特点可知:
由式(16)可得:
说明不同子集间的序列满足周期互补特性.可通过实例2来验证.
3 实例分析 3.1 实例1取一个完备序列a=(++00+-00),其长L=8,取零相关区长度Z=6,可得移位序列e=(3,0). H为4×4阶的Hadamard矩阵,则可将正交矩阵H分割为2个4×2阶的矩阵:
可知N1=4,M=1.
由完备序列a和2个4×2阶的矩阵生成ZCZ周期互补序列集表示为矩阵的形式:
由于篇幅的限制,下面只列出一组自相关函数、组内互相关函数、组间互相关函数如下:
由相关函数的特性可知,序列集C的参数表示为(4,6) PCS216,根据理论界限可知M′=2⌊16/6⌋=4,所以序列集C的参数达到最佳值.
3.2 实例2取一个参数为(4,8,2)的ZCZ序列向量S,一个4阶的Hadamard正交矩阵H:
将正交矩阵H分割成2个4×2阶矩阵,此时K=P=2,分别为
根据方法2构造ZCZ周期互补序列集D表示为矩阵的形式:
与实例一一样,也只给出一组自相关函数、组内互相关函数和组间互相关函数:
ZCZ周期互补序列集的参数为(8,4)PCS416,则参数满足理论界限.
4 结论本文的两种方法分别将完备序列与ZCZ序列集作为初始序列,同时都结合正交矩阵与交织技术构造出了新的ZCZ周期互补序列集.不同的是方法1通过改进移位序列的构造方法,获得了更多数目的新移位序列,为不同的系统提供了不同的选择,所构造的序列集可通过调节零相关区长度使参数达到最佳.方法2利用交织技术将序列集的零相关区长度扩大了P倍,使扩频序列的相关性更好,更加符合准同步CDMA系统.两种方法都大大增加了子序列集的数目,在准同步CDMA系统中,可支持多用户同时通信.
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