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新的零相关区周期互补序列集的构造方法
岳红翠, 高军萍, 李琦     
河北工业大学电子信息工程学院, 天津 300401
摘要: 为了构造更多符合码分多址(CDMA)系统的扩频序列,提出了两种方法.方法1,提出了通过对零相关区长度进行赋值获得一类新的移位序列,在此基础上,利用完备序列的相关特性和Hadamard正交矩阵在结构上的特点,结合交织技术构造出新的零相关区周期互补序列集.此方法可根据不同系统的要求去调节零相关区的长度,使其应用范围更广.方法2,将零相关区序列集作为初始序列,结合了Hadamard矩阵与交织技术,扩大了零相关区的长度.两种方法均扩大了序列集的数目,在准同步码分多址系统中可以支持更多用户同时工作.
关键词: 交织技术     移位序列     零相关区     互补序列    
New Construction Method for Periodic Complementary Sequence Sets with Zero Correlation Zone
YUE Hongcui, GAO Junping, LI Qi     
School of Electronics Information Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300401, China
Abstract: We propose two methods for constructing more spread sequences that conform to code-division multiple access (CDMA) systems. The first method involves the construction of new shift sequences by assigning different values to the length of the zero correlation zone. Based on these shift sequences, we construct new periodic complementary sequence sets with a zero correlation zone by utilizing the correlation properties of the perfect sequence, and combining the structural characteristics of the Hadamard orthogonal matrix with the interleaving technique. This method can adjust the length of the zero correlation zone, based on the requirements of different systems to accommodate a wider range of applications. In the second method, zero-correlation-zone sequence sets are used as the initial sequence, and the Hadamard matrix is combined with the interleaving technique to expand the length of the zero correlation region. In both methods, the number of sequence sets is expanded so that more users can be supported at the same time in quasi-synchronous CDMA systems.
Keywords: interleaving technique     shift sequence     zero correlation zone     complementary sequence    

0 引言

码分多址(code division multiple access,CDMA)是多址通信的重点技术.与其它技术相比,CDMA技术能够同时支持大量的用户,因此频谱利用率得以大大提升.但是CDMA系统依然存在缺陷,即此系统中存在很强的多径干扰和多址干扰,为了解决这个问题,学者们将互补序列的概念引入了CDMA系统的研究中.互补序列利用其理想的相关性,理论上可以完全消除多径干扰和多址干扰,但是完全理想的互补序列数目非常少,很难满足多类系统的要求.为了找到更多满足相关性能的互补序列,学者们将零相关区(zero correlation zone,ZCZ)引入了互补序列的研究中,这样便放宽了序列设计的条件.学者们秉承着这样的理念,对ZCZ互补序列集的构造方法进行了深入研究,并取得了很多成果.文[1-2]首先用简单序列多项式运算的方式提出了ZCZ互补序列集,其缺点是序列集的数目少,有一定的局限性.之后有学者利用内积和多项式迭代两种方法将ZCZ互补序列集的数目进行了扩展[3-5].考虑到参数优化的问题,文[6-9]对最佳或几乎最佳的序列集进行了详细的研究.为了使序列各参数更加的灵活,应用范围更广,又做了大量的研究[10-11].

交织技术是序列设计中最常用且最基础的方法,可以在一定程度上扩展子序列的长度.在满足构造条件的情况下,移位序列的个数决定了序列长度被扩展的倍数.所以交织技术的核心部分是移位序列的构造,在这方面学者们也提出了多种方法.文[12-16]通过对零相关区长度的奇偶性进行讨论构造出了移位序列,本文的移位序列也采用此思想来构造出不同值的移位序列,扩大了移位序列的选择范围.文[17]利用序列数目与序列长度的整数倍关系构造了形式简单的移位序列,文[18]将序列长度写为多项式,通过多项式中的参数关系构造移位序列等.

综上所述,本文首先将移位序列进行了改进,接着将完备序列与交织技术相结合,利用Hadamard正交矩阵在结构上的特点构造出包含多个子序列集,且可通过调节零相关区长度使其参数达到最佳的ZCZ周期互补序列集.方法二也利用Hadamard正交矩阵的结构特点与ZCZ序列集进行交织,得到具有大的零相关区长度的ZCZ周期互补序列集.

1 基本概念与定义

定义1[19]  设序列集B={bi|0≤iM-1},其包含M个子序列,每一个子序列向量bi的周期为N. ∀bibjB,如果周期相关函数满足:

(1)

则称序列集B是参数可表示为ZCZ(NMZ)的ZCZ序列集,Z为零相关区长度.本文中单个序列均以向量的形式表示.

定义2[15]  设序列集C={C0C1,…,CM-1},其中每个子集Cm={C0mC1m,…,CN-1m}包含N个周期为L的子序列,可表示为Cnm=(cnm(0),cnm(1),…,cnm(L-1)). ∀Cm1Cm2C,如果周期相关函数满足:

(2)

则将序列集C称作ZCZ周期互补序列集,其可表示为最简形式(MZ)PCSNL.其中参数M为子序列集的个数,N为每个子序列集中子序列的个数,L为子序列的长度,Z为零相关区长度.

定义3[20]  给定序列b=(b0b1,…,bL-1),其周期为Lei=(ei,0ei,1)是长度为2的序列,其中ei,0ei,1∈{0,1,…,L-1},构造一个序列:

(3)

ui定义为交织序列,记为ui=I(Lei,0(b),Lei,1(b)),其中,Lei,0(b)表示对序列b左移ei,0位,I(Lei,0(b),Lei,1(b))表示对左移后的两个序列进行交织运算.

引理1[20]  设任意两个交织序列uv,形式为

τ=2τ1+τ2,则序列uv的互相关函数为

(4)

其中,d0=ei,0-ej,0d1=ei,1-ej,1d2=ei,0-ej,1d3=ei,1-ej,0-1,均为模L运算.当d0d1d2d3时,序列uv移位不等价.

定义4[21]  给定一个完备序列b=(b0b1,…,bL-1),其周期为L,长度为N1的移位序列e=(e0e1,…,eN1-1),h=(h0h1,…,hN1-1)是一个周期为N1的序列,有如下定义所示:

(5)

每个表示为(MZ)PCSNL的序列集称为ZCZ周期互补序列集,其参数都满足不等式MNL/Z⌋,此不等式称为序列集的理论界限,其中⌊L/Z⌋表示对L/Z向下取整.当不等式中的等号成立时,序列集的参数达到最佳值,此时的序列集被称为最佳ZCZ周期互补序列集.

2 ZCZ周期互补序列集的构造 2.1 移位序列的构造

本文引用文[12]中移位序列的构造思想,在距离d0d1d2d3满足的条件不变的情况下,将其构造方法做进一步改进,得到不同的移位序列,具体的过程如下:

设移位序列集合E={e0e1,…,ei,…,eM-1},其中每一个向量ei=(ei,0ei,1),ei,0ei,1∈{0,1,2,…,L-1}.其中ZL均为非零正整数,2 < Z < L,下面将Z分奇偶两种情况分别讨论.

情况1  Z为偶数,取M=⌊(L-2)/Z⌋:

(6)

情况2  Z为奇数,取M=⌊(L-1)/Z⌋.对于0≤iM-1,移位序列ei的结构为

Z|L时:

(7)

ZL时:

(8)

上述构造方法中,⌊x⌋表示取小于等于x的整数,移位序列中的元素都取模L运算.

定理1  所构造的移位序列集合中,∀eiejE均满足性质:

证明  下面只对情况1(Z为偶数)中当Z|L-1时进行证明,其它情况的证明过程类似.

设0≤ijM-1,eiejΕ,则.通过计算可得.由0≤ijM-1得0≤j-iM-1,0≤i+j+1≤2M-1.由M=⌊(L-2)/Z⌋可得MZL-2.所以ij时可得;当ij时,.所以有不等式成立.

2.2 ZCZ周期互补序列集的构造 2.2.1 构造方法1

步骤1  取一个完备序列a=(a0a1,…,aL-1),其周期为L,一个N1×N1阶Hadamard矩阵H.将正交矩阵H分为N1/2个N1×2阶的矩阵,分割后的矩阵可表示为

(9)

其中0≤kN1/2-1,为了表示方便,将矩阵Hk重新定义为

(10)

步骤2  构造移位序列集合E={e0e1,…,eM-1},其中每个移位序列ei=(ei,0ei,1),0≤iM-1.

步骤3  利用完备序列aN1/2个矩阵构造矩阵C(ig),具体过程为

(11)

其中,0≤gN1-1,hg,0khg,1k均为矩阵Hk中第g行的元素,.将所构造的矩阵C(ig)合并为一个大的集合C={C(ig)},0≤iM-1,0≤gN1-1.

定理2  构造的序列集C包含MN1个子集,每一个子集又包含N1/2个子序列,每个子序列长度为2L,将子序列合并,称序列集C是参数为(MN1Z)PCSN1/22L的ZCZ周期互补序列集.

证明  在序列集C中任意取两个序列C(i1g1)C(i2g2),其中0≤i1i2M-1,0≤g1g2N1-1,令τ=2τ1+τ2,结合式(5)给出的定义,序列C(i1g1)C(i2g2)的相关函数可表示为

(12)

1) 当i1=i2时,序列C(i1g1)C(i2g2)属于同一个子序列集.

g1g2时,hg1hg2正交,则由式(12)可得C(i1g1)C(i2g2)的相关性为

g1=g2,且τ=0时,由完备序列a的相关性可得:

2) 当i1i2时,序列C(i1g1)C(i2g2)属于不同的子序列集.

g1g2时,hg1hg2正交,则由式(12)可得C(i1g1)C(i2g2)的相关性为

g1=g2时,对于τ2=0,若0 < τ < Z,则有0 < τ1 < Z/2.因为,所以τ1-d0≠0(mod)Lτ1-d1≠0(mod)L,结合引理1可得:

由式(12)可得:

对于τ2=1,若0 < τ < Z,则有0 < τ1 < (Z-1)/2.因为,所以τ1-d2≠0(mod)Lτ1-d3≠0(mod)L,由完备序列的性质可得:

则由式(12)可得:

由上述讨论过程可得,序列集C为ZCZ周期互补序列集.表示为(MN1Z)PCSN1/22L.

由ZCZ周期互补序列集的理论界可知,定理2所构造的序列集C的各参数满足不等式,当等号成立时,即M=⌊L/Z⌋,可得参数达到最佳.本文中可通过调节零相关区的长度来使参数达到最佳值,将通过实例1来说明.

2.2.2 构造方法2

步骤1  选取一个参数为(MLZ)的ZCZ序列向量S,其中M表示子序列的个数,L表示子序列的长度,Z表示零相关区长度.取一个N×N阶的Hadamard正交矩阵HN≥4,将正交矩阵分割为KN×P阶的矩阵H={Hk,0≤kK-1},且满足K·P=N,其中KP均为2的幂次. ZCZ序列向量S与分割后的第k个矩阵Hk的形式为

(13)
(14)

步骤2  利用ZCZ序列集与K个矩阵Hk构造出序列集D={D(km),0≤kK-1,0≤mM-1},其中每个子序列集D(km)={D0(km)D1(km),…,DN-1(km)},每个子序列Dj(km)的构造公式为

(15)

其中0≤jN-1,序列集D包含KM个子集,每个子集中又包含N个子序列,每个子序列的长度为PL.还可将序列集D表示为由含有M个序列的K个子集组成,即D=D0D1∪…∪DK-1.

定理3  构造的序列集D为ZCZ周期互补序列集,参数表示为(KMPZ)PCSNPL,序列集D的各子集内满足零相关特性,各子集间满足周期互补特性.

证明  设∀D(k1m1)D(k2m2)D,0≤k1k2K-1,0≤m1m2M-1,τ=1+τ2.子集D(k1m1)D(k2m2)的相关函数为

(16)

下面分情况讨论:

1) 当k1=k2m1=m2时,称为自相关.由ZCZ序列集的性质可得:

m1m2τ=0时,由ZCZ序列集的性质可知RSm1Sm2(0)=0,所以由式(16)可得:

若0≤τ < PZ时,有ΦD(k1m1)D(k2m2)(τ)=0.说明同一个子集内的序列满足零相关特性.

2) 当k1k2时,由Hadamard矩阵的结构特点可知:

由式(16)可得:

说明不同子集间的序列满足周期互补特性.可通过实例2来验证.

3 实例分析 3.1 实例1

取一个完备序列a=(++00+-00),其长L=8,取零相关区长度Z=6,可得移位序列e=(3,0). H为4×4阶的Hadamard矩阵,则可将正交矩阵H分割为2个4×2阶的矩阵:

可知N1=4,M=1.

由完备序列a和2个4×2阶的矩阵生成ZCZ周期互补序列集表示为矩阵的形式:

由于篇幅的限制,下面只列出一组自相关函数、组内互相关函数、组间互相关函数如下:

由相关函数的特性可知,序列集C的参数表示为(4,6) PCS216,根据理论界限可知M′=2⌊16/6⌋=4,所以序列集C的参数达到最佳值.

3.2 实例2

取一个参数为(4,8,2)的ZCZ序列向量S,一个4阶的Hadamard正交矩阵H

将正交矩阵H分割成2个4×2阶矩阵,此时K=P=2,分别为

根据方法2构造ZCZ周期互补序列集D表示为矩阵的形式:

与实例一一样,也只给出一组自相关函数、组内互相关函数和组间互相关函数:

ZCZ周期互补序列集的参数为(8,4)PCS416,则参数满足理论界限.

4 结论

本文的两种方法分别将完备序列与ZCZ序列集作为初始序列,同时都结合正交矩阵与交织技术构造出了新的ZCZ周期互补序列集.不同的是方法1通过改进移位序列的构造方法,获得了更多数目的新移位序列,为不同的系统提供了不同的选择,所构造的序列集可通过调节零相关区长度使参数达到最佳.方法2利用交织技术将序列集的零相关区长度扩大了P倍,使扩频序列的相关性更好,更加符合准同步CDMA系统.两种方法都大大增加了子序列集的数目,在准同步CDMA系统中,可支持多用户同时通信.

参考文献
[1] Fan P Z, Yuan W N, Tu Y F. Z-complementary binary sequences[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2007, 14(8): 509–512. DOI:10.1109/LSP.2007.891834
[2] Li X D, Fan P Z, Tang X H, et al. Quadriphase Z-complementary sequences[J]. IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, 2010, E93-A(11): 2251–2257. DOI:10.1587/transfun.E93.A.2251
[3] Zhang Z Y, Chen W, Zeng F X, et al. Z-complementary sets based on sequences with periodic and aperiodic zero correlation zone[J]. EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking, 2009, 48(26): 1–8.
[4] 张振宇, 陈卫, 曾凡鑫, 等. 一类适用于多小区CDMA系统的互补码集[J]. 系统工程与电子技术, 2010, 32(3): 459–462.
Zhang Z Y, Chen W, Zeng F X, et al. A set of complementary codes for multi-cellular CDMA systems[J]. Systems Engineering and Electronics, 2010, 32(3): 459–462.
[5] 李玉博, 许成谦. 迭代法构造零相关区互补序列集[J]. 通信学报, 2011, 32(8): 39–54.
Li Y B, Xu C Q. Zero-correlation zone complementary sets based on iteration[J]. Journal on Communications, 2011, 32(8): 39–54.
[6] Tu Y F, Fan P Z, Li H, et al. A simple method for generating optimal Z-periodic complementary sequence set based on phase shift[[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2010, 17(10): 891–893. DOI:10.1109/LSP.2010.2068288
[7] Feng L F, Zhou X W, Fan P Z. A construction of inter-group complementary codes with flexible ZCZ length[J]. Journal of Zhejiang Universi-ty-Science C (Computers & Electronics), 2011, 12(10): 846–854.
[8] 李玉博, 许成谦, 刘凯, 等. 一类多相零相关区周期互补序列集构造法[J]. 电子与信息学报, 2014, 36(2): 341–345.
Li Y B, Xu C Q, Liu K, et al. A construction method of polyphase periodic complementary sequence sets with zero correlation zone[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2014, 36(2): 341–345.
[9] 刘涛, 许成谦, 李玉博. 一类相互正交的最佳二元零相关区序列集构造法[J]. 电子与信息学报, 2017, 39(10): 2443–2448.
Liu T, Xu C Q, Li Y B. Construction of optimal mutually orthogonal sets of binary zero correlation zone sequences[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2017, 39(10): 2443–2448.
[10] Li Y B, Xu C Q, Jing N, et al. Constructions of Z-periodic complementary sequence set with flexible flock size[J]. IEEE Communications Letters, 2014, 18(2): 201–204. DOI:10.1109/LCOMM.2013.121813.132021
[11] 李玉博, 许成谦, 荆楠, 等. 具有灵活子序列数目的零相关区周期互补序列集构造法[J]. 通信学报, 2015, 36(2): 491–494.
Li Y B, Xu C Q, Jing N, et al. Construction of ZCZ periodic complementary sequence set with flexible subsequences[J]. Journal on Communications, 2015, 36(2): 491–494.
[12] Zhou Z C, Tang X H. A new class of sequences with zero or low correlation zone based on interleaving technique[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2008, 54(9): 4267–4273. DOI:10.1109/TIT.2008.928256
[13] 李玉博, 许成谦. 交织法构造移位不等价的ZCZ/LCZ序列集[J]. 电子学报, 2011, 39(4): 796–802.
Li Y B, Xu C Q. Construction of cyclically distinct ZCZ/LCZ sequence sets based on interleaving technique[J]. Acta Electronica Sinica, 2011, 39(4): 796–802.
[14] 李玉博, 许成谦. 交织法构造最佳或几乎最佳低零相关区序列集[J]. 电子与信息学报, 2011, 33(3): 549–554.
Li Y B, Xu C Q. Construction of optimal or almost optimal sequence sets with zero or low correlation zone based on interleaving technique[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2011, 33(3): 549–554.
[15] Li Y B, Xu C Q. Construction of Two-dimensional periodic complementary array set with zero-correlation zone[C]//Proceedings of the Fifth International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications. Piscataway, NJ, USA: IEEE, 2011: 10-14.
[16] 李玉博, 许成谦, 李刚. 二元及四元零相关区周期互补序列集构造法[J]. 电子与信息学报, 2012, 34(1): 115–120.
Li Y B, Xu C Q, Li G. Constructions of binary and quaternary periodic complementary sequence sets with zero correlation zone[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2012, 34(1): 115–120.
[17] 李琦, 秦丽伟, 高军萍, 等. 交织法构造零相关区周期互补序列偶集[J]. 河北工业大学学报, 2014, 43(5): 21–26.
Li Q, Qin L W, Gao J P, et al. Construction of zero correlation zone periodic complementary sequence pairs sets based on interleaving technique[J]. Journal of Hebei University of Technology, 2014, 43(5): 21–26.
[18] 王业龙, 曾晓莉, 许成谦, 等. 新型零相关区序列偶集的交织构造[J]. 信息与控制, 2013, 42(1): 77–83.
Wang Y L, Zeng X L, Xu C Q, et al. A novel method of sequence pairs set with zero correlation zone based on interleaved technique[J]. Information and Control, 2013, 42(1): 77–83.
[19] 李明阳, 柏鹏, 王徐华, 等. 基于交织和完备序列的零相关区序列集构造方法[J]. 南京邮电大学学报(自然科学版), 2014, 34(6): 52–56.
Li M Y, Bai P, Wang X H, et al. Construction method for zero correlation zone sequence set based on interleaving technique and perfect sequence[J]. Journal of Nanjing University of Posts and Telecommunications (Natural Science), 2014, 34(6): 52–56. DOI:10.3969/j.issn.1673-5439.2014.06.009
[20] 刘凯, 姜昆. 交织法构造高斯整数零相关区序列集[J]. 电子与信息学报, 2017, 39(2): 328–334.
Liu K, Jiang K. Construction of Gaussian integer sequence sets with zero correlation zone based on interleaving technique[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2017, 39(2): 328–334.
[21] Ke P H, Zhou Z C. A generic construction of Z-periodic complementary sequence sets with flexible flock size and zero correlation zone length[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2015, 22(9): 1462–1466. DOI:10.1109/LSP.2014.2369512
http://dx.doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2018.7441
中国科学院主管,中国科学院沈阳自动化研究所、中国自动化学会共同主办。
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岳红翠, 高军萍, 李琦
YUE Hongcui, GAO Junping, LI Qi
新的零相关区周期互补序列集的构造方法
New Construction Method for Periodic Complementary Sequence Sets with Zero Correlation Zone
信息与控制, 2018, 47(6): 650-655.
Information and Control, 2018, 47(6): 650-655.
http://dx.doi.org/10.13976/j.cnki.xk.2018.7441

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收稿/录用/修回: 2017-08-21/2017-10-16/2018-08-13

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