0 引言
广义系统又称奇异系统、广义状态空间系统、微分代数系统,是一类具有广泛应用背景的动力系统且大量地出现在实际的系统模型中,如电力系统、经济系统、机器人系统等.文[1]讨论了时滞广义系统的稳定半径.文[2]研究了广义系统的R客观性和R可测性.文[3]讨论了随机广义系统的最优控制方法.
在控制理论中,迭代学习控制(iterative learning control,ILC)是智能控制的重要组成部分,适用于具有周期性重复运行特点的动态系统[4].迭代学习控制算法在许多领域内有广泛应用[5-8].其中,高阶迭代学习控制算法能充分利用以往控制信息,并且当扰动时可使系统具有更好的跟踪性能.文[9-10]讨论了1阶~3阶P型迭代学习控制算法的收敛速度.
至今为止,迭代学习控制的理论与应用的研究主要集中在常义系统中,而广义系统上的研究成果则较少.由于广义系统存在脉冲解,这使得广义系统的迭代学习控制研究变得困难.文[11]针对含脉冲的快子系统,设计了一类P型迭代学习控制算法.文[12]将广义系统问题转化为线性不等式的求解问题.文[13]针对非线性参数化广义系统,提出一种自适应迭代学习控制算法.文[14]基于广义系统的受限等价分解,讨论了一类迭代学习控制算法的收敛性.文[15]将2D系统理论应用到广义时变系统的迭代学习控制算法研究中.文[16]讨论了带有状态多时滞的广义系统在开闭环PD型迭代学习控制下收敛的充分条件.文[17]针对一类线性广义系统的初值问题,提出一种闭环D型迭代学习控制算法.文[18]讨论了广义离散系统在迭代学习控制下收敛的充分条件.文[19]考虑了广义系统的固定初值偏差问题.文[20-23]讨论了迭代学习控制在网络控制系统的应用.
本文基于广义系统提出一类二阶迭代学习控制算法,借助于Q因子的定义,讨论了算法的收敛速度大小与增益矩阵的关系.
1 系统描述考虑重复运行的线性广义系统:
(1) |
其中,t∈[0,T];E,A∈Rn×n,B∈Rn×m,C∈Rq×n是定常矩阵;E是奇异矩阵,即rank(E)=r < n;xk(t)∈Rn,uk(t)∈Rm和yk(t)∈Rq分别是系统在迭代运行第k次时的输入向量、状态向量和输出向量.根据文[4]可知广义系统的受限等价分解形式为
(2) |
其中,
假设系统(1)满足条件:
1) 系统是正则的;
2) 在t∈[0,T]上,对于给定的期望输出yd(t),存在一个理想的控制输入ud(t)使得:
其中,xd(t)是期望状态.
3) 系统的初始条件满足:
对系统(2),构建2阶开环迭代学习控制算法:
(3) |
其中,c1+c2=1,0≤c1≤1,Γ11、Γ12、Γ21、Γ22是相应维数的增益矩阵,e1k(t)=x1d(t)-x1k(t),e2k(t)= x2d(t)-x2k(t).
定义1[6] 向量函数h(t):[0,T]→Rn的λ范数定义:
式中,||·||是Rn上的一种范数.
引理1[6] 对于向量函数f(t),h(t):[0,T]→Rn,若h(t)=∫0tf(τ)dτ,则:
引理2[4] 设实序列xk满足差分不等式:
dk为第k次的实扰动序列,若ρi>0,i=1,2,…,N,设
1) 若dk≤d,则
2) 若
定义2[10] 设uk+1是收敛序列且收敛于0,Q因子定义为
其中,uk是收敛序列,并且收敛于u*且收敛于0,||·||λ是λ范数.
定理1 若广义系统(2)和算法(3)所描述的迭代学习控制系统满足条件:
1) A22可逆,即A22-1存在.
2) c1||G||1+c2||G||2<1,其中:
则式(3)表示的迭代学习控制算法在t∈[0,T]上一致收敛且广义系统的输出yk(t)在t∈[0,T]上一致收敛于期望输出yd(t),即:
证明 将A22-1代入式(2)的第2式中:
(4) |
其中,A21=A22-1A21,B2=A22-1B2.将式(4)代入式(2)的第1个式子,可得:
(5) |
其中,B1=B1-A12B2,A11=A11-A12A21.记Δuk+1(t)=ud(t)-uk+1(t),则:
(6) |
其中,
(7) |
(8) |
可以得到:
(9) |
其中,
由式(7)及初始条件xk(0)=xd(0)可以得到:
(10) |
式(10)两边取范数可得,
根据Bellman-Grownwall引理有:
(11) |
其中,a11=||A11||,b1=||B1||.对式(9)两边取范数可得
其中,h1=||H1||,h2=||H2||.取λ>a11,由λ范数定义可知:
存在一个足够大的λ使得:
它们对于收敛性的影响可以忽略不计,所以:
(12) |
若系统满足条件:
(13) |
则根据引理2可以得到:
(14) |
根据λ范数,简单推导可得:
(15) |
即二阶迭代学习控制算法(3)是一致收敛的.
3 收敛速度分析由定义2和文[10]可知,Q因子值越小,算法的收敛速度越快,从而将算法的收敛速度问题转化为Q因子值的大小问题.令
(16) |
其中,g1=||G||1 ≥0,g2=||G||2≥0.由于c1+c2=1,0≤c1≤1,p>0,所以式(16)是2阶迭代学习算法(3)的特征多项式,其解为
(17) |
其中,
根据Q因子的定义可知,2阶迭代学习控制算法的Q因子是F(c1),即可通过F(c1)的值来确定2阶算法的收敛速度:当F(c1)的值增大时,收敛速度变慢;当F(c1)的值不变时,收敛速度不变;当F(c1)值减小时,收敛速度变快.式(17)两端对c1求导可得:
(18) |
(19) |
下面分情况讨论
1) 若g12>g2,可得:
(20) |
由g1≥0可知:
(21) |
将式(21)代入式(20)中,可得:
(22) |
将式(22)代入式(18),可得:
所以,F(c1)的值随着c1的值增大而增大,迭代学习控制算法的收敛速度变慢;反之F(c1)的值随着c1的值减小而减小,迭代学习控制算法的收敛速度变快.
2) 若g12=g2,则可得:
当参数c1变化时,F(c1)的值不变,迭代学习控制算法的收敛速度几乎不变.
3) 若g12<g2,则可得:
F(c1)的值随着c1的值增大而减小,迭代学习控制算法的收敛速度变快;反之F(c1)的值随着c1的值减小而增大,迭代学习控制算法的收敛速度变慢.
4 数值仿真网络控制系统[21]的系统参数:
要求在t∈[0, 2]上跟踪期望轨迹,yd(t)=4t3.系统的初始状态是x0(t)=[0 0 0]T,初始输入是u0(t)=0.
系统的受限等价分解的参数为:
情况1 在迭代学习控制算法(3)中,取Γ11=[0.1 0.5],Γ12=0.1,Γ21=[0.25 0.2],Γ22=0.25,此时,g1=||G1||=0.8,g2=||G2||=0.5,g12>g2.当0≤c1≤1时,都满足定理1的条件. 图 1是在c1=0.4,c1=0.8,c1=1情况下,系统跟踪期望轨迹yd(t)的误差最大值变化曲线.由图 1的可知,随着参数c1的增加,线性广义系统跟踪期望轨迹的速度变慢.数值仿真结果也说明了式(3)的迭代学习控制算法的有效性.
情况2 在迭代学习控制算法(3)中,取Γ11=[0.25 0.5],Γ12=0.25,Γ21=[0.25 0.2],Γ22=0.5.此时,g1=0.5,g2=0.25,g12=g2.当0≤c1≤1时,满足定理1的条件. 图 2是在c1=0.4,c1=0.8,c1=1情况下,系统跟踪期望轨迹yd(t)的误差最大值变化曲线.由图 2可知,当参数c1变化时,线性广义系统跟踪期望轨迹的速度几乎不变.
情况3 迭代学习控制算法(3)中,取Γ11=[0.1 0.5],Γ12=0.1,Γ21=[0.1 0.2],Γ22=0.1.此时,g1=0.8,g2=0.8,g12<g2.当0≤c1≤1,满足定理1的条件. 图 3是在c1=0.4,c1=0.8,c1=1情况下,系统跟踪期望轨迹yd(t)的误差最大值的变化曲线.由图 3可知,随着参数c1的增加,线性广义系统跟踪期望轨迹的速度变快.
5 结论本文基于广义系统的奇异值分解方法和Q因子方法讨论了广义系统的二阶迭代学习控制算法的收敛性和收敛速度问题.采用网络控制系统迭代学习控制算法的实例验证了算法的有效性以及收敛速度大小与算法增益矩阵取值有关.仿真实验结果表明,在同一系统中,算法的增益矩阵取不同的值,收敛速度的变化趋势不同.但是收敛速度的快慢是否与系统的稳定性、鲁棒性等有关,这是今后可以研究的方向.
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