0 引言
小波变换是新兴的信号处理方法,它具有良好的时频域局部变换特征;通过小波分析,能够有效区分信号突变部分和噪声,因此基于小波分析的降噪方法在信号处理[1-2]、图像降噪[3-4]、地球物理勘探[5-6]、医学检测[7-8]等领域得到了广泛的应用.其中,使用最多的是小波阈值降噪方法.
在小波阈值降噪方法中最经典的是Donoho等提出的软、硬阈值法[9].由于该软、硬阈值函数去噪存在一定的缺陷,因此许多改进的阈值函数用到小波阈值去噪中. Wang等[10]提出了软、硬折中的阈值函数,该方法能有效避免软阈值函数带来的恒定偏差;Ren等[11]认为文[12]阈值估计不合理,于是提出了改进的阈值估计方法.以上函数的改进方式是对每一个小波系数进行阈值操作,并没有考虑小波系数之间的相关性,于是Cai等[13]提出基于邻域系数(Neighboring Coefficients,NeighCoeff)估计阈值的小波降噪方法.为了进一步提高NeighCoeff的降噪性能,文[14-15]将其分别拓展到双复数小波域和多小波域,文[16-17]提出的新的阈值函数用于降噪.然而在上述邻域方法中,窗口大小固定、单一的自适应阈值并不能完全反映邻域窗口内的有效信息且NeighCoeff方法收缩因子只能根据邻域窗口内的小波系数变化,未能体现不同尺度噪声幅值减小的特征,因此估计的小波系数存在一定的偏差.
针对以上方法出现的问题,本文在NeighCoeff方法的基础上提出了邻域相关性多阈值新函数寻优的信号降噪方法.该方法进行小波降噪的关键在于滑动窗口的自适应选取和对当前小波系数的特殊处理;其中滑动窗口的选取不是对层间的所有小波系数采用最好的固定窗口,而是针对每一个小波系数来选择不同的窗口尺寸.窗口尺寸的选择依赖于文中提出的3种阈值,它们分别为:邻域硬阈值、邻域窗口阈值和邻域扩张阈值,这3个阈值其实是不同邻域窗口内小波系数的平方和(也可以说是其窗口内的能量值).根据邻域小波系数间的相关性可知,较大系数下的小波,其邻域的小波系数可能会很大;反之亦然.按照其逆向思维,若选取的窗口尺寸越小且该窗口下对应的能量值又较大(相对于通用阈值而言),则说明当前的小波系数是信号的可能性就很大,则满足此阈值条件的窗口尺寸就是该小波系数对应的窗口大小.待窗口选取之后,需要根据不同的邻域阈值条件处理小波系数,本文提出的处理方法如下:对于邻域窗口内信号较强的小波系数,若满足邻域硬阈值条件,则对当前小波系数给予保留;若满足邻域窗口阈值,要进行软阈收缩.为了充分挖掘固定窗口下的信号系数,对于满足邻域扩张阈值的较弱小波系数也要进行软阈收缩.关于软阈值收缩,本文提出了一种新型收缩因子,它根据分解尺度和邻域窗口阈值来调整小波系数的收缩,该收缩因子的特点在于能较好地体现与被滤波噪声的相互关系.最后将此新函数与修正的全局阈值相结合,利用混沌粒子群解最优参数γ和α的数值,进而得到最优重构信号.通过实验结果表明,无论是在视觉效果上还是在信噪比和均方误差上,本文方法均优于传统的软硬阈值法、软硬阈值折中法[10]、改进的软阈值方法[11]和NeighCoeff方法.
1 小波阈值去噪 1.1 小波阈值去噪原理21世纪90年代,Donoho等提出了小波阈值去噪,基本思想为:信号经小波分解后,其能量主要集中在部分小波系数中,而噪声能量分布在整个小波域系数中;通常信号的小波系数的幅值大于噪声的小波系数幅值[18],通过在不同尺度上设定合适的阈值,将大于阈值的小波系数进行保留,小于阈值的小波系数置零,进而弱化了噪声信号;最后将处理后的小波系数进行小波逆变换,从而得到重构的信号.
1.2 NeighCoeff降噪方法在阈值去噪方法中,信号经小波变换,得到的尺度系数在一个小邻域内存在一定相关性.也就是说,一个小波系数的幅值很大,则其周围小波系数幅值较大的可能性仍然很大.因此,在对小波系数进行降噪处理时,Cai等[13]提出了一种邻域小波系数收缩的阈值方法.
若1维信号经小波分解,其第i个尺度下的第j个小波系数为Wi,j,对于一个1×3的尺度窗口而言,其邻域系数是Wi,j-1、Wi,j+1.设该邻域窗口内的小波系数的平方和为Si,j=Wi,j-12+Wi,j2+Wi,j+12(本文将Si,j称为邻域窗口阈值).则当前小波系数Wi,j的估计式为
(1) |
其中,收缩因子β=1-T2/Si,j;阈值选取Donoho等提出的通用阈值
小波NeighCoeff方法根据邻域信息Si,j实现算法的自适用收缩,取得良好去噪效果,但是也存在如下问题:
1) 为了达到削弱噪声的目的,对保留的小波系数全部采用收缩策略,并且收缩因子未能体现与被滤波噪声的相互关系,这样做使得收缩的小波系数与原小波系数存在一定的偏差,并不能很好地反映信号的真实信息;
2) 虽然每一个小波系数都能够得到对应阈值,但是邻域窗口大小固定,无法根据信号的特性进行改变,限制进一步去噪的效果;
3) 所有的小波子带都采用通用阈值,而此阈值并不是最佳阈值.
为了克服NeighCoeff方法的上述缺陷,有效提高信号的去噪能力,本文提出了一种基于邻域相关性的多阈值新函数,其阈值函数为
(2) |
式中收缩因子:
阈值S′i,j=min(S1,S2),其中S1=Wi,j-12+Wi,j2,S2=Wi,j2+Wi,j+12,Si,j为邻域窗口阈值,扩张因子γ≥1,修正的通用阈值
1) 由上述可知:S1是当前小波系数与左相邻系数平方和,S2是当前小波系数与右相邻系数平方和,S′i,j是S1与S2的最小值.根据小波系数邻域之间相关性特征,当S′i,j大于等于修正通用阈值T1时,说明当前小波系数的幅值很大,为了更好地反映真实信号的尖峰特征,需要对这样的小波系数给予保留,即此时
2) NeighCoeff方法往往根据经验选取窗口大小.如果选择的窗口较大,则会包含较多的噪音系数,进而影响去噪性能;如果选择的窗口过小也可能扼杀部分信息的小波系数.文[14]指出,1×3窗口的邻域小波处理人工和生活中的信号性能最好;然而该窗口下处理的小波系数并不是最优的.为了尽可能地获取信号系数,本文将此邻域窗口对应的阈值Si,j乘以扩张因子γ来扩大该窗口选择小波系数范围,使其更好地重构原始信号;由于是对1×3邻域窗口的优化扩张,本文将γSi,j称为邻域扩张阈值.此外,当满足邻域扩张阈值条件时,收缩因子也需要作出相应的调整,例如式(2)中β1与β2的对应关系.
3) NeighCoeff方法在进行小波系数收缩时,对各个尺度系数都采用通用阈值,而此阈值与信号长度对数根成正比.若截取的信号长度很大,阈值也会很大,这就有可能将大部分小波系数置零,导致重构的信号损失过多;若信号长度很小,则对应的阈值将会保留大部分小波系数,导致重构信号残留的噪声较多.为了能够适应不同的信号尺寸,论文将通用阈值乘以修正因子α得到修正的通用阈值T1.
4) 在文[11]中改进的阈值T/ln(e-1+i)能够有效克服软阈值的恒定偏差,取得很好的降噪效果.于是论文借鉴其整体思想并结合邻域阈值函数的特点,将NeighCoeff的收缩因子修改为式(2)中的β1与β2,此收缩因子同样具有文[11]改进阈值的优点.以β1为例,随着尺度i的增大,大于1的比值(Si,j/T2)i与1的偏离程度增大,且大于1的尺度系数
(3) |
式(3)说明随着Si,j的逐渐增大,收缩因子β1逐渐趋于1,即
综上所述,对于多阈值新函数,Wi,j幅值增大,Si,j也会跟着增大,为了优化固定窗口下信号系数的获取,其邻域系数满足Si,j < T12 < γSi,j时,原始小波系数按β2收缩;当Si,j较大时,固定窗口下的部分小波系数满足S′i,j < T12 < Si,j时,原始小波系数按β1收缩,此时这个阶段的系数收缩相当于NeighCoeff方法;当Si,j很大,考虑保护更多真实信号的尖峰,若满足S′i,j>T12时,估计的小波系数等于原始小波系数.因此邻域相关性多阈值新函数目的在于改善固定窗口下信号的去噪效果.收缩部分能够较好体现与被滤波噪声的关系,克服了软阈值函数中
文中提出的邻域相关性多阈值新函数,有两个调整参数分别是γ和α;如果缩小因子α太小、扩张因子γ太大,则施加阈值后的小波系数包含过多的噪声;如果α和γ都趋向为1,全局阈值起主要作用,将会滤掉部分有用信息.在面对不同输入信号条件下,让多阈值函数能有非常理想的去噪效果,可以调整参数γ与α来适应不同的信号.因此有必要将混沌粒子群寻优算法应用到邻域相关性多阈值新函数中,以便寻找最优参数函数值.
信噪比(signal to noise ratio,SNR)是衡量信号去噪性能的重要指标,为了对信号去噪效果的客观评价,文章将SNR作为适应度函数.若输出的信噪比越大,则表示去噪效果越好. SNR的定义如式(4)所示,式中x(i)为真实信号,
(4) |
PSO是由Eberhart和Kennedy[19]根据鸟群对食物搜索行为的研究,在1995年提出的一种粒子群优化算法寻优模型. POS算法的寻优机理为:设在一个D维搜索空间中,存在一个由N个粒子组成的群体,在粒子群中的粒子有如下属性:群体中第k次迭代时粒子i的位置是一个D维向量,可以表示为Xi=[xi1,xi2,…,xiD],该粒子对应的飞行速度可以表示为Vi=[vi1,vi2,…,viD],第i个粒子搜索到的最优位置为Pi=[pi1,pi2,…,piD],整个粒子群搜索到的最优位置为Pg=[pg1,pg2,…,pgD](其中下标g表示global),粒子状态更新操作为
(5) |
(6) |
式中:i=1,2,…,N;d=1,2,…,D;r1与r2为[0, 1]之间的随机数;c1和c2为学习因子,w为惯性因子,本文采用动态惯性权重w(t)=wmin+(wmax-wmin)(T-t)/T,其中:t为当前迭代次数,T为迭代总数.
为了避免PSO算法陷入局部最优,需要对最优位置进行混沌变异[20-21];其具体操作如下:
1) 将pgd映射到立方映射[22]定义域[-1, 1]上,即
(7) |
2) 对z1进行M次立方混沌运算,产生混沌序列(z1,z2,…,zM),即
(8) |
3) 将产生的混沌序列重新映射到pgd的寻优范围内,得到M个pgd*=(pgd,1*,pgd,2*,…,pgd,M*)即:
(9) |
其中,zn为实值序列,n是迭代次数;xmin和xmax分别是式(8)中pgd的上下限,m=1,2,…,M.
本文用此混沌粒子群算法来确定阈值的调整参数,具体实现的去噪步骤如下:
1) 将带噪信号进行3层小波分解,得到3组不同尺度的小波系数,将它们一起作为最优参数的数据输入.
2) 将混沌粒子群初始化.设定c1=1.6、c2=1.4,最大进化代数T=150,种群规模N=20,维数D=2,惯性权值wmax=0.9、wmin=0.4,位置与速度系数k=0.6,混沌迭代次数M=40,变异系数p=0.6,修正因子α取值范围[0 3],扩张因子γ取值范围为[1 3].
3) 在控制变量的范围内,随机选择一个值作为粒子的初始位置和初始速度.
4) 根据文中式(2)处理分解后小波系数,得到估计的小波系数.依据式(4)所表示的适应度函数计算第一次迭代中所有粒子的适应度值;并在初始化的粒子适应度中确定个体极值与群体极值.
5) 根据式(5)和式(6)分别更新每个粒子的速度和位置,保证速度和位置都在给定范围之内.重新计算适应度函数SNR,并进行群体更新和个体更新.
6) 将群体极值对应的位置按式(7)~式(9)进行混沌变异.若混沌变异的最优粒子优于群体极值,则对粒子进行群体极值更新和粒子更新,否则将此混沌序列以某变异概率取代种群中的任一其它粒子.
7) 若满足最大迭代次数,则输出所需要的最优解(最大的信噪比)及最优解对应的两个参数值;否则转步骤4).
3 信号仿真结果与分析 3.1 去噪效果的评价标准为了验证邻域多阈值新函数的去噪效果,本文采用了信噪比SNR和均方根误差(root-mean-squared error,RMSE)的客观评价标准;信噪比能够反映重构信号的质量,而均方根误差则反映原始信号与估计信号之间的相似程度;其中信噪比SNR如式(4)所示,均方根误差表达式如式(10)所示.
(10) |
式(10)中,x(i)为真实信号,
为了说明邻域相关性多阈值新函数改进部分的降噪性能,本文选用MATLAB R2015a软件自带的Blocks、Bumps、Heavysine和Doppler信号进行试验;仿真信号长度为1 024,信噪比为7 dB,随机种子init:2055415866,采用的小波基为sym 4小波,分解层数为3层,滤波窗口大小为1×3;为了简化标记方式,用NC表示NeighCoeff方法,NC1表示在NeighCoeff中引入了邻域硬阈值方法,NC2表示在NC1中引入了邻域扩张阈值,其中拓展因子γ为1.4,同时两个收缩因子分别为1-T2/Si,j和1-Si,j/T2,NC3表示在NC2中的两个收缩因子换成论文提出的β1与β2;NC、NC1、NC2和NC3都采用通用阈值,NC4表示将NC3中的通用阈值换成修正的全局阈值T1,其修正因子α为0.79;表 1中的方法都未采用混沌粒子群寻优,SNR和RMES的数据全是降噪后的信噪比与均方差.
方法 | Blocks | Bumps | Heavy sine | Doppler | ||||
SNR | RMES | SNR | RMES | SNR | RMES | SNR | RMES | |
NC | 25.003 0 | 0.589 7 | 24.285 0 | 0.499 5 | 25.306 3 | 0.394 7 | 22.507 0 | 0.531 5 |
NC1 | 26.461 9 | 0.498 6 | 24.501 3 | 0.487 2 | 25.306 3 | 0.394 7 | 22.802 0 | 0.513 8 |
NC2 | 26.525 8 | 0.494 9 | 24.554 3 | 0.484 3 | 25.413 8 | 0.389 9 | 22.941 7 | 0.505 6 |
NC3 | 26.640 2 | 0.488 4 | 24.829 3 | 0.469 2 | 25.605 1 | 0.381 4 | 22.986 8 | 0.503 0 |
NC4 | 27.105 2 | 0.463 0 | 25.149 9 | 0.452 2 | 25.696 4 | 0.377 4 | 23.460 8 | 0.476 3 |
通过表 1的测试结果可以得出如下结论:
1) 将第1行与第2行的数据进行比较,NC1与NC在Heavysine信号中有相同的信噪比和均方差,而在其它3个信号中,NC1降噪能力都优于NC;这说明增加的邻域硬阈值,选择了更小的邻域范围并保留较大小波系数,这种处理方法能够更好地重构原始信号.可以预见处理这样的小波系数越多,其恢复原始信号的贡献性就越大.
2) 从第2行与第3行的数据可以看出:以NC1为基础,通过邻域扩张阈值,优化了固定窗口下的小波系数,使得较小的信号系数得以保留,尽管这部分小波系数只是一小部分,但还是提高了NC2的去噪能力.
3) 从第3行与第4行的数据可以得出:NC3相比NC2有较优的信噪比和均方差,这说明论文提出的收缩因子β1与β2随着分解层次的增加,能够更精确估计信号的小波系数,避免了过平滑,改善了去噪结果.
4) 从最后两行的数据可以得出:与NC3相比,修正的全局阈值T1明显提高了NC4的去噪水平且在所有的改进函数中,NC4有最高的信噪比和最低的均方误差.总之,论文提出的邻域硬阈值、邻域扩张阈值、修正全局阈值和收缩因子都能提高信号的降噪能力.
在对论文提出的多阈值新函数寻优之前,有必要分析寻优参数Wi,j和α对去噪性能的影响.图 1是在修正因子为0.79时,扩张因子与信噪比的变化曲线;图 2是扩张因子为1.4时,修正因子与信噪比的变化曲线.
由图 1仿真结果可以得出:
1) 在4个不同信号中,最高信噪比对应的参数值γ都不一样,这说明不同信号最优信噪比对应的扩张因子并不稳定,它需要根据信号特性具体选择.
2) 除了Heavysine信号,其它3个信号的信噪比都得到了相应提升,这说明扩张因子能够优化固定窗口下的降噪性能.
又由图 2仿真结果可以得出:
1) 当参数α为1时,修正阈值就是通用阈值,图 2的4个测试信号中,通用阈值对应的信噪比并不是最好地.
2) 当参数α大于1时,曲线降的最快;其中在Blocks信号中,当α为1.7时,通用阈值比对应的信噪比低了3 dB.
3) 在Blocks、Bumps和Heavysine信号中,参数值α在0.8~0.83之间能够获得较优的信噪比;但是在Doppler信号中,最优信噪比对应的参数值为0.7.这说明对于不同的测试信号,修正因子α也不太稳定.
4) 虽然说α在0.7与0.8之间只相差了0.1,似乎不太影响去噪性能,但是从图 2的Bumps信号可以看出,0.7与0.8对应的信噪比相差了0.7 dB.所以说对于不稳定的修正因子α也需要进行参数优化.
3.3 不同阈值函数的去噪效果对比为了说明本文提出的邻域相关性多阈值新函数寻优法的降噪性能,对含有噪声的Blocks信号分别采用传统的软、硬阈值法、文[10]的软硬折中法、文[11]的改进软阈值法、NeighCoeff方法和本文方法进行降噪验证. Matlab R2015a产生仿真信号长度为1 024的无噪声Blocks信号,然后对其施加不同标准差的高斯白噪声,产生白噪声的自由种子同样为2055415866.表 2中的本文方法是经混沌粒子群寻优的,具体设置参照上述3.2,其它参数同表 1.
降噪方法 | 方差 | |||||||
0.8 | 0.9 | 1.00 | 1.10 | |||||
SNR | RMES | SNR | RMES | SNR | RMES | SNR | RMES | |
硬阈值法 | 26.360 2 | 0.504 4 | 26.097 0 | 0.519 9 | 25.423 3 | 0.561 9 | 25.036 8 | 0.587 4 |
软阈值法 | 22.833 0 | 0.757 1 | 22.429 9 | 0.793 1 | 22.066 8 | 0.826 9 | 21.749 2 | 0.857 7 |
软硬阈值折中法 | 26.401 4 | 0.502 0 | 26.140 6 | 0.517 3 | 25.457 0 | 0.559 7 | 25.071 3 | 0.585 1 |
改进软阈值法 | 26.695 9 | 0.485 3 | 26.150 3 | 0.516 8 | 25.730 4 | 0.542 4 | 25.287 8 | 0.570 7 |
NeighCoeff | 26.439 3 | 0.500 0 | 25.848 4 | 0.535 0 | 25.318 0 | 0.568 7 | 24.838 0 | 0.601 0 |
本文方法 | 27.779 5 | 0.428 4 | 27.272 5 | 0.454 1 | 26.880 2 | 0.4751 | 26.520 2 | 0.495 2 |
由表 2测试结果可以得出:
1) 对于不同强度噪声,本文方法信噪比最高,均方差最小.因此邻域相关性多阈值新函数寻优方法有最好的抑制噪声能力.
2) NeighCoeff方法在噪声方差为0.8时,降噪能力高于硬阈值;而当方差为1.1时,却低于硬阈值.这说明NeighCoeff方法随着噪声强度的增加,其降噪能力有明显的下降趋势;而本文方法始终是最优的,进而说明它对高低强度噪音有较好的提取信号能力.
表 2只是从SNR和RMES数据上说明本文方法的降噪效果,不能严格反映信号去噪后的细节变化,因此有必要进行效果图对比分析.图 3为表 2中各种方法和未寻优的本文方法在Bumps中的去噪信号对比图,其中在Bumps原始信号中添加高斯白噪声的方差为0.8.
由图 3的降噪结果可以得出:
1) 从整体上看,图 3(c)的去噪效果最差,信号部分区域发生显著的扭曲.
2) 图 3(h)和图 3(i)的降噪信号与图 3(d)、图 3(e)和图 3(f)相比,在采样点[104,133]和[799,829]范围内,明显有较少的噪声信息.这是由于它们在降噪时引入了反映噪声关系的收缩因子,使得高斯噪声得到有效抑制.
3) 没有邻域硬阈值的图 3(g)在[155,236]范围内有3块区域隆起,使得重构的误差增大;但是对于具有邻域硬阈值的图 3(i)不可避免地在非连续点处(如图 3(i)中点411和452)发生了伪吉布斯现象,可见引入的邻域硬阈值有利也有弊.若要去掉非连续点处的震荡,建议采用中值滤波.
4) 通过增加邻域扩张阈值以优化固定窗口下的小波系数,虽然保护了较弱信号系数,但也引入了较强噪声,如图 3(h)中[666,778]范围内出现一个较为明显的噪声尖峰.若要用混沌粒子群对图 3(h)进行寻优,使得信号含有的噪声达到最低,便会有图 3(i)的最优降噪信号.
4 结论1) 提出了一种邻域相关性多阈值新函数寻优的小波降噪方法.与传统NeighCoeff不同的是,它有3个阈值(邻域硬阈值、邻域窗口阈值和邻域扩张阈值)、反映噪声关系的收缩因子和修正的通用阈值.
2) 通过Blocks、Bumps、Heavysine和Doppler信号测试,提出的邻域硬阈值、邻域扩张阈值、修正全局阈值和收缩因子都不同程度地提高信噪比SNR和降低均方根误差RMSE,取得了较好的降噪指标.
3) 将邻域相关性多阈值新函数寻优的方法用于不同噪声方差的信号降噪.测试结果表明:与文中所提传统方法相比,本文方法对不同强度噪声有最好的提取信号能力,同时在降噪效果的主观质量上,也有很好的信号重构效果.
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