0 引言

近年来，多智能体网络一致性的发展日新月异，其广泛应用于同步运动、群集运动、城市交通控制等方面.一致性问题俨然成为学者们关注的热点之一，并取得了不计其数的成果^[1-6].

目前，大多数文献主要针对的是多智能体网络的完全一致性，如文[7-12].随着时代的飞速发展，系统规模、通信技术正日益提升，智能体之间存在性能和合作任务上的差异，智能体的关键信息收敛到单一点往往不太适用^[13]，它们被分成了多个群体，同一群体内的关键信息收敛到一致，不同群体内的一致性状态可以不同.显然，研究群的一致性更加适用于处理复杂多样的一致性问题.完全一致性可以看作是群一致性的特例.近年来，群一致性问题的研究取得了一定的进展，如文[14]分析了1阶多智能体网络在无向固定拓扑结构下的群一致性问题，并给出了判断群一致性收敛的若干条准则；文[15]针对系统有延迟的情况下，分别研究了1阶多智能体系统在固定拓扑和切换拓扑下的群一致性；文[16]在切换拓扑网络下，考虑了信息交流存在的时滞，基于双树形变化设计控制协议，分析了1阶多智能体网络的群一致性问题.随着研究的深入，文[17]基于所有子群满足入度平衡的前提下，讨论了2阶多智能体网络在固定拓扑结构下的群的一致性问题；文[18]提出了基于连通二部图特性的控制协议，实现了2阶多智能体系统的群一致性.另一方面，由于实际网络节点的规模较大，通信资源有限，因此只针对部分节点进行控制比较经济高效，更具有实际意义^[19].牵引控制方法即只牵引网络中的部分节点，从而达到控制整个网络的目的，文[20]讨论了多智能体系统在牵引控制下的群一致性问题.

然而，在上述群一致性的研究成果中，大多数是假定通信拓扑结构为固定的，例如文[14, 17, 20].考虑到通信范围的有限，网络节点间的连接会受到环境的影响，邻居节点之间的连接时通时断，这就使得研究固定拓扑下的群一致性较为局限.虽然文[16, 18]是在切换网络下研究多智能体系统的群一致性，但是均以1阶系统模型为研究对象.实际系统中，比如无人机、机器人等系统的加速度比速度、位置更易控制，因此2阶多智能体系统更具实际意义.另外，多智能体网络在时变牵引控制下的群一致性研究还未引起广泛关注，比如文[20]考虑了牵引控制的群一致性问题，但牵引控制是固定的.

基于上述讨论，本文进一步研究了2阶多智能体网络的群一致性问题，主要创新点在于考虑了网络结构具有拓扑切换的情形，同时控制协议中引入了时变的牵引控制.基于代数图论、线性矩阵不等式和李亚普诺夫稳定性理论，推导出了群一致性的充分条件.

定义符号：R表示实数集，R^n×n表示n×n阶实矩阵集合，Λ(H)表示矩阵H所有特征根的集合，Re(·)表示特征根的实部，Im(·)表示特征根的虚部，·表示向量的欧几里得范数，矩阵P>0表示矩阵P是正定的.

1 问题描述 1.1 预备知识

首先给出本文所需的图论知识^[21].

用G=(W，E，A)表示具有n+m个节点的有向图，其中网络节点集为W={w₁，w₂，…，w_n+m}，节点的下标集表示为I={1，2，…，n+m}，边集为E⊆W×W.节点w_i的邻居集为N_i={w_j|w_j∈W:(w_i，w_j)∈E}.图G的邻接矩阵为A=[a_ij]_(n+m)×(n+m)，如果存在节点w_j到节点w_i的信息流，则a_ij≠0，对于任意的节点w_i∈W，定义a_ii=0. L=[l_ij]_(n+m)×(n+m)为图G的拉普拉斯矩阵且l_ij=

若图G含有一条有向路径，则存在一系列有序连通边集(w_i，w_i1)，(w_i1，w_i2)，…，(w_il，w_j)，其中(w_ik，w_ik+1)∈E，k=1，2，…，l.假设节点w_i在图G中存在到达其余节点的路径，则称节点w_i全局可达.

本文考虑将图G分为两个子群的情形，即G₁和G₂，若G₁=(W₁，E₁，A₁)是图G=(W，E，A)的子图，则存在W₁⊂W，E₁⊂E.对于任意节点w_i，定义在G₁中的节点集为W₁={w₁，w₂，…，w_n}，下标集I₁={1，2，…，n}，其中邻居集N_1i={w_j∈W₁:(w_j，w_i)∈E}.同理，在子群G₂中，节点集为W₂={w_n+1，w_n+2，…，w_n+m}，I₂={n+1，n+2，…，n+m}，N_2i={w_j∈W₂:(w_j，w_i)∈E}.显然，可以得到N_i=N_1i∪N_2i.

假设1  图G邻接矩阵A的元素满足：

注1  从假设1可以看出，邻接系数a_ij可以取负值，即对于任意智能体w_i，与其不同子群的邻居可以存在负权值边，反映两者之间的竞争关系，符合实际网络情形.

1.2 模型描述

本文研究的2阶多智能体网络是由n+m个智能体组成，每个智能体的动态方程为

(1)

其中，为了简单起见，考虑x_i(t)∈R，v_i(t)∈R，u_i(t)∈R，分别表示第i个智能体在t时刻的位置、速度与控制输入.

本文考虑了两个子群的情形，其中虚拟领导者l₁和l₂分别属于G₁和G₂，针对每个子群，令虚拟领导者：

(2)

其中，分别代表虚拟领导者l_j在t时刻的位置、速度与加速度.

定义1   对于任意初始条件x_i(0)∈R，v_i(0)∈R(i∈I={1，2，…，n+m})，如果满足条件：

则称2阶多智能体网络(1)实现群一致性.

2 主要结果 2.1 控制策略

基于牵引控制策略，结合多智能体网络(1)和(2)的模型，本文给出控制协议u_i(t)，即：

(3)

其中，控制参数α>0，β>0.当i∈I₁时，σi=1， 分别代表领导者l₁在t时刻的加速度和速度；当i∈I₂时， 分别代表领导者l₂在t时刻的加速度和速度.若智能体w_i能接收w_j的信息，即(w_j，w_i)∈E，则a_ij(t)≠0；否则，a_ij(t)=0. b_i(t)表示本文中的牵引策略也可以是时变的，并且假定领导者之间不存在信息交流，每个领导者给相同子群中的部分跟随者传输信息.当跟随者能从相应领导者获取信息时，b_i(t)>0；否则，b_i(t)=0.

注2   本文中，邻接系数a_ij(t)是可以随时间变化的，反映的是智能体之间的连接边随时间发生的变化，即网络拓扑为切换情形.

针对2阶多智能网络(1)，考虑实际环境的影响，智能体之间的通信链路经常发生断裂，因此智能体的拓扑结构可能会随时切换.本文引入切换拓扑信号g(t):[0，+∞)→Γ={1，2，…，q}，q>1.切换拓扑结构图记为G^g(t)，对应的拉普拉斯矩阵为L^g(t).对于任意t≥0，定义该系统切换的时间序列为t₀ < t₁ < t₂ < … < t_k < t_k+1 < …，其中t₀=0，k=0，1，2，….在每个切换时间段[t_k，t_k+1)上，领导者的牵引控制可以随时间变化，即b_i(t)可以发生有限次的变化.进一步地，假设[t_k，t_k+1)可以分为t_k=t_k⁽¹⁾ < t_k⁽²⁾ < … < t_k^(n_k)=t_k+1，其中n_k∈N且n_k>2，令：

在每段上b_i(t)是固定不变的.

为了便于理论分析，此处引入2个假设条件：

假设2  

假设3  2阶多智能体网络(1)中的拉普拉斯矩阵L(t)满足有且只有2个零特征值，并且其它特征值均具有正实部.

注3  不失一般性，假设[t_k⁽¹⁾，t_k⁽²⁾)上网络拓扑及牵引控制b_i(t)满足假设2和假设3，即只需一段时间上满足即可；将满足假设2与假设3下的L(t)记为L¹(t).

令2阶多智能体网络(1)的位置测量误差、速度测量误差分别为令 故 系统的一致性误差向量可表示为，若实现了，则群一致性实现.

由式(1)~式(3)可知：

可以推出：

(4)

由拉普拉斯矩阵的定义及假设1，式(4)可以变为

(5)

为了便于计算，引入矩阵H(t)=L(t)+B(t)，其中B(t)=diag{b₁(t)，…，b_n+m(t)}代表来自虚拟领导者边的权重且b_i(t)≥0.

令 ，则有:

(6)

引理1^[16]   若L(t)满足假设1~假设3，并且存在任何一个具有外部作用的节点在图G中全局可达且可以接收领导者的信息(即b_i(t)>0)，则矩阵H是正稳定的(矩阵H所有特征根的实部均为正实数).

注4   对于智能体w_i，如果存在来自不同子群内智能体w_j的连接边，那么称此节点w_i为具有外部作用的节点.

引理2^[16]  如果矩阵Φ(t)是赫尔维茨稳定的，即Reλ_i，± < 0，当且仅当H是正稳定的，则有不等式(7)成立：

(7)

2.2 群一致性条件

本节将给出多智能体网络(1)的群一致性充分条件.假设在每个切换段[t_k⁽¹⁾，t_k⁽²⁾)上，存在一个相同的Φ¹= 满足假设2和假设3，其中H¹=L¹+B¹.误差系统(6)可以进一步写成：

(8)

其中s≥1，k∈N.

在给出主要定理之前，先通过算法1寻求定理所需要的参数：

算法1   为了实现2阶多智能体网络(1)的群一致性，通过线性矩阵不等式确定正定矩阵P、参数δ和参数γ：

1) 寻找正定矩阵P>0，使得Φ^1TP+PΦ¹ < 0；

2) 寻找δ>0，使得Φ^1TP+PΦ¹+δP < 0；

3) 对于其余切换拓扑及牵引控制下的Φ^s，寻找γ，使Φ^sTP+PΦ^s < γP.

注5  本文考虑网络拓扑是切换的，在算法1中，需要知道拓扑结构对应的矩阵Φ¹及Φ^s(s≥1)，这具有一定的局限性.如何拓广到更一般情形，也是本文下一步研究的方向.

定理1  考虑2阶多智能体网络(1)的邻接系数满足假设1，并且在任意切换区间[t_k，t_k+1)中，时间段[t_k⁽¹⁾，t_k⁽²⁾)上智能体网络满足假设2与假设3；进一步地，网络中任何一个具有外部作用的节点在图G中全局可达，控制协议(3)中的参数α、β满足式(7)；若存在常数l>0，使得δ(t_k⁽²⁾-t_k)-γ(t_k+1-t_k⁽²⁾)>l(其中δ、γ同算法1)，则2阶多智能体网络(1)实现群一致性.

证明  对于任意t∈[t_k，t_k+1)，构建李亚普诺夫函数：

(9)

这里的矩阵P即为算法1中的矩阵P.

对于任意的t∈[t_k⁽¹⁾，t_k⁽²⁾)，k∈N，考虑式(9)沿着系统(8)的轨迹的导数，根据算法1中的步骤2)可知：

(10)

同理，对于t∈[t_k⁽²⁾，t_k^(n_k))，k∈N，根据算法1中步骤3)可知：

(11)

结合式(10)和式(11)可得：

(12)

因为对于任意的k∈N，都有δ(t_k⁽²⁾-t_k)-γ(t_k+1-t_k⁽²⁾)>l成立，故式(12)满足V(t_k+1) < e^-lV(t_k)，其中l>0，可见，即具有切换拓扑结构的2阶多智能体网络(1)在控制协议(3)下实现群一致性.

3 数值仿真

本节给出具体仿真例子来验证以上分析的结果.假设2阶多智能体网络由8个智能体构成，包括2个虚拟领导者，6个跟随者.其中，跟随者{1，2，3}属于G₁，{4，5，6}属于G₂，智能体1和智能体4为具有外部作用的节点.为简单起见，假设任意时间段[t_k，t_k+1)的网络及时变牵引在{G¹，G²，G³}中切换，如图 1~图 3所示.

选取跟随者的初始位置为x(0)=[0.1，0.3，0.5，0.7，0.9，1.1]^T，初始速度v(0)=[0.2，0.4，0.6，0.8，1.0，1.2]^T，虚拟领导者的初始位置为，初始速度为，领导者l₁的加速度为 sin t，l₂的加速度为.

以图 1为例，图G¹对应的拉普拉斯矩阵L¹= B¹=diag{1，1，0，1，0，0}，表示l₁牵引G₁中的节点1和2，l₂牵引G₂中的节点4.经计算，L¹的特征根为0，0，0.890 1，1，1.555 0±0.838 4i，故L¹满足假设3，因此H¹是正稳定的.令α=1，根据式(7)可知β>0.241 3，选择β=1.5，根据引理2，Φ¹是赫尔维茨稳定的.为了实现2阶多智能体网络的群一致性，利用算法1的步骤2)，得到δ=0.159 6.在图 2中，节点5和节点6的通信链路断开， B²=B¹，领导者的牵引节点没有变化，H²的特征根为0，1，1，1，1.677 7，2.333 3，故不是正稳定的，据引理2可得Φ²不是赫尔维茨稳定的.当网络拓扑如图 3所示时，l₂到节点4的通信链路中断，领导者不再牵引节点4，即B³=diag{1，1，0，0，0，0}，经计算H³的特征根为0，1，1，1.500 0±0.799 3i，2，H³不是正稳定的，因此Φ³也不是赫尔维茨稳定的.据算法1的步骤3)可得γ=3.233 1.

1) 选取控制参数α=1，β=1.5，通过算法1求出定理1所需的参数δ=0.159 6，γ=3.233 1，切换的时间区间比值为为了便于计算，令其值为20.5 s.利用一致性协议(3)，仿真得到智能体的状态演化曲线及误差演化曲线，分别如图 4、图 5所示.从图 4(a)和图 4(b)可以看出：随着时间的推移，6个跟随者的位置、速度最终趋于两组，显示群一致.图 5给出了误差的演化图，其中η^T(t)代表系统的位置误差，ξ^T(t)为速度误差.可以看出，第1群G₁中的η_i^T(t)及ξ_i^T(t)(i=1，2，3)迅速趋于0，第2群G₂中的η_i^T(t)及ξ_i^T(t)(i=4，5，6)也趋向于0.误差满足，表明基于时变牵引控制策略，2阶多智能体网络在切换拓扑结构下实现了群一致性.

2) 若选取控制参数α=1，β=0.1，可以看出β的选取不符合定理1中的条件，所以多智能体网络在一致性协议(3)中不能实现群一致性.如图 6所示，最终的误差系统不满足由此可知，定理1中所给出的条件是正确有效的.

4 结论

本文研究了2阶多智能体网络在切换拓扑结构下的群一致性问题.通过虚拟领导者对部分跟随者的时变牵引控制，实现了所有跟随者趋于两组一致.给出了群一致性所需要的充分条件，依赖于网络拓扑结构与牵引控制及控制协议中的相关参数.进一步地，利用李亚普诺夫稳定性理论证明了该条件的正确性；所提供的Matlab仿真验证了定理的有效性.值得注意的是，本文所给出的结果基于拓扑切换所对应的矩阵Φ为已知情形，在今后的工作中，将进一步研究如何推广到更一般(未知或部分未知)情形，同时也将着力于离散、非线性系统的群一致性.