0 引言
MIMO(multiple-input multiple-output)雷达将MIMO技术和空时编码应用于雷达系统中，使其比传统相控阵雷达具有更优良的特性[1]. MIMO雷达采用多个发射天线在发射端发送相互正交的信号；在接收端，用多个接收天线接收回波，然后用匹配滤波器组对回波信号进行处理，分离出各个发射分量，完成目标探测过程[2-3].因此正交信号集是MIMO雷达系统中的关键部分.
相位编码信号具有恒定模量且易于产生和处理，其模糊函数具有图钉状，在雷达信号中已得到广泛应用[4-6].本文采用相位编码信号对MIMO雷达正交信号进行研究.
MIMO雷达系统对发射信号集的正交性具有较高要求，但完全正交的信号集在实际工程中不易获得，在实际中可利用现代优化算法提高信号集的相关性能，得到近似正交的信号集代替完全正交信号集.文[7]针对MIMO雷达正交信号集设计问题，提出了一种用遗传算法产生近似正交的相位编码信号集的方法.文[8]利用禁忌搜索算法削减信号之间的相互影响，提高信号集的相关性能，得到具有一定正交性的相位编码信号集.文[9]同样采用遗传算法优化信号集的相关性能.文[10]采用混合模拟退火优化算法，以自相关函数旁瓣能量和互相关函数能量作为代价函数设计相位编码信号集，有效提高了信号集的正交性能.文[11-12]分别采用混合遗传算法和改进的蚁群算法，在相关函数能量的基础上增加自相关旁瓣峰值和、互相关峰值和作为代价函数，优化了相位编码信号集的相关性能.文[13]对粒子群算法进行了改进，以旁瓣峰值与主瓣峰值比值、旁瓣能量与主瓣能量比值的形式作为代价函数，设计相位编码信号集.文[14]结合遗传和禁忌搜索算法的优点提出一种混合算法，文[15]在生物地理学优化算法中引入分段logistics混沌映射，此两篇文献将信号集自相关峰值旁瓣能量、互相关峰值能量、自相关旁瓣总能量、互相关总能量作为算法代价函数，利用所提出的优化算法提高了相位编码信号集的正交性.
以上文献均利用现代优化算法对MIMO雷达相位编码信号集进行设计研究，虽然得到了具有较低自相关旁瓣值和互相关值的信号集，但信号集的相关性能仍有进一步提高的空间.本文基于飞蛾扑火优化算法，在原算法基础上加以改进，利用改进的飞蛾扑火优化算法进一步降低了信号集的自相关旁瓣值与互相关值.飞蛾扑火优化(moth-flame optimization，MFO)算法根据黑夜中飞蛾绕火焰螺旋飞行的自然现象提出，是一种新型群智能优化算法，具有参数少、计算精度高等特点[16].目前已经在无功优化调度问题[17]、机器学习中的特征选择[18]、消除谐波[19]等方面得到了良好应用.
本文在MFO算法基础上增加火焰更新过程对原算法进行改进，改进后的MFO算法不仅能够使火焰与飞蛾共同搜索最优解，同时能提高飞蛾搜索的效率，提高算法收敛速度. MIMO雷达信号集设计属于多组合优化问题，目标函数较为复杂，利用改进的MFO算法设计信号集，在保证得到的信号集具有较低相关性的同时还具有较快的收敛速度.实验结果表明改进后的MFO算法在收敛速度及收敛精度方面均得到明显提高.本文方法优化所得信号集，与其它文献相比具有更优的相关性能.
1 MIMO雷达相位编码信号集优化问题假设MIMO雷达有L个发射天线，其中每个天线对应相位编码信号集S中的一个信号，即信号集S中有L个信号，信号长度为N，则发射信号集S可表示为
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(1) |
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(2) |
其中，θl(n)表示第l个信号在第个n子脉冲处的相位.信号相位在[0，2π]任意取值则为连续相位信号，可以用L×N的相位矩阵θ来表示信号集S中各个信号的相位：
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(3) |
信号集的相关性能可由非周期自相关函数和非周期互相关函数表示.
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(4) |
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(5) |
其中，l=1，2，…，L；p，q=1，2，…，L，且p≠q.式中A(sl，k)表示信号sl的非周期自相关函数，C(sp，sq，k)表示信号sp和信号sq之间的非周期互相关函数.对于相位编码信号，非周期相关函数可表示为如下形式：
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(6) |
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(7) |
其中，l=1，2，…，L；p，q=1，2，…，L.理想情况下完全正交信号集要求信号自相关旁瓣以及信号间互相关为零，实际工程中难以得到.本文用改进的飞蛾扑火优化算法对随机相位编码信号集进行优化，降低信号自相关旁瓣值以及互相关函数值，提高信号集的相关性能.
本文选用非周期自相关旁瓣峰值(auto-correlation sidelobe peak，ASP)和、非周期互相关峰值(cross-correlation peak，CP)和，以及自相关函数旁瓣能量、互相关函数能量联合作为算法适应度函数.则适应度函数E可表示为
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(8) |
其中，ω1，ω2，ω3，ω4为权重，用于控制各部分在优化过程中所占比例. wi在1到10之间取值，权重设置的大小对应着优化过程中对此部分优化程度的大小，本文均匀分配优化程度，wi都取为1. MIMO雷达波形优化可简单描述为最小化适应度函数E的问题.
2 基于改进MFO算法的MIMO雷达相位编码信号集设计 2.1 标准MFO算法模型MFO算法是根据暗夜中飞蛾螺旋飞行靠近火焰的行为提出的一种群智能优化算法.算法采用飞蛾种群M和火焰种群F表示待优化问题的解，飞蛾能到达的所有位置即为解空间，最优飞蛾位置对应为算法最优解.飞蛾的作用是不断更新移动最终找到最优位置，火焰的作用是保存当前飞蛾找到的最优位置.在每一次迭代过程中，飞蛾都在当前最优位置周围进行搜索，若找到更优位置则替换火焰中保存的当前最优位置.飞蛾更新过程中，与火焰为一一对应关系每只飞蛾依照螺旋函数在对应的火焰周围搜索，直到满足迭代终止条件，输出火焰中保存的最优飞蛾位置.
在MIMO雷达正交相位编码信号集设计问题中，将范围在[0，2π]的相位矩阵作为一只飞蛾，从而能够得到相位编码信号集.将飞蛾种群M表示如下：
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(9) |
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(10) |
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(11) |
其中，1≤p≤P，P表示飞蛾种群数量，Mp表示第p只飞蛾个体，即为L×N相位矩阵.式(11)中OM用于存放P只飞蛾的适应度值，OMp为飞蛾Mp的适应度值.
在迭代过程中，每只飞蛾将搜索到的最优位置保存在对应的火焰中，火焰种群F表示如下：
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(12) |
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(13) |
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(14) |
其中，1≤p≤P，每个火焰Fp同样为L×N的相位矩阵，初始火焰种群数量为P，用OF存放每个火焰的适应度值，OFp为火焰Fp的适应度值.每一次迭代过程中都会对火焰种群根据适应度值由小到大排列，保持火焰种群的有序性，这样能够始终将第一个火焰作为目前最优位置，迭代终止后输出此位置.
算法初始时火焰数量FN与飞蛾数量相同都为P，在迭代过程中FN自适应减小，以保证算法的计算速度，第FN个之后的飞蛾都对应最后一个火焰FFN.火焰的数量计算式如下：
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(15) |
式中，m为当前迭代次数，T表示设置的最大迭代次数.
飞蛾位置移动遵循的轨迹为螺旋函数f，可用如下数学表达式表述：
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(16) |
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(17) |
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(18) |
式(16)中，函数f的自变量为第m次迭代的飞蛾Mpm与火焰Fpm，得到的函数值为下一次迭代过程的飞蛾Mpm+1，即飞蛾位置移动的结果.式(17)为函数f的具体表达式，第m次迭代中每只飞蛾Mpm在对应的火焰Fpm周围按着螺旋轨迹调整位置，得到进入第m+1次迭代过程的飞蛾. Dpm为Mpm到Fpm的距离，b为螺旋形状常数，t为[-1, 1]之间随机数.
2.2 改进MFO算法MFO算法中具有飞蛾和火焰两个候选解，飞蛾的作用是搜索最优解，而火焰则作为飞蛾位置更新的目标，并保存飞蛾搜索到的最优解. MFO算法采用螺旋函数作为飞蛾的更新函数，虽然优化得到的解精度较高，但在解决较复杂问题，尤其是适应度函数较复杂时不能保证收敛速度，针对这一问题本文对MFO算法进行了改进.
本文在MFO每代形成火焰种群后，增加火焰更新过程.火焰更新过程不仅能够为飞蛾提供更优良的目标，使飞蛾搜索更加有效，而且能够使火焰在保存当前最优位置的同时，再次进行搜索，查找是否有更优可能.
根据火焰种群的有序性，将其均分为适应度值较小的前半部分，即
首先对后半部分火焰进行更新.在这一部分中为防止迭代次数增加导致火焰种群多样性的丧失，采用随机选择3个火焰取均值的方法缩小前后两部分的向量差.即在后半部分中随机选择3个火焰Fr1、Fr2、Fr3，取前半部分中的一个火焰Fr，依次缩小与Fr的向量差后再取均值形成一个新的火焰Fpnew.
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(19) |
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(20) |
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(21) |
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(22) |
其中，
然后对前半部分火焰进行更新.依次对前半部分的每个火焰在矩阵内部进行随机替换，随机取一行和一列即可定位一个相位，将此处相位替换为[0，2π]内的任意相位，形成新的火焰Fpnew.
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(23) |
Fpm(l，n)表示第n次迭代中第p个火焰的第l行n列所确定的相位，rand表示取值在0到1之间的随机数. Fpnew即为相位替换后的火焰.
最后，为保证不破坏已得到的最优解，要根据适应度值进行选择，将种群Fnew与种群Fn中的个体进行比较，选择适应度值较小者作为下一次迭代的火焰.
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(24) |
E为式(8)中的适应度函数.
2.3 改进MFO算法步骤步骤1 参数初始化.确定参数L、N以及最大迭代次数T.
步骤2 生成初始种群.按照式(9)、式(10)随机产生P只飞蛾.
步骤3 计算飞蛾适应度值.根据式(8)计算每只飞蛾的适应度值放入飞蛾适应度值矩阵OM中.
步骤4 形成火焰矩阵.根据适应度值排序形成火焰种群F，并将适应度值放入OF中.
步骤5 更新火焰种群.根据式(19)~式(24)更新火焰种群.
步骤6 螺旋更新飞蛾种群.根据式(16)~式(18)计算每只飞蛾与对应火焰的距离；按照螺旋函数f更新每只飞蛾的位置.
步骤7 判断是否满足终止条件.若不满足，则返回步骤3继续进行；否则，输出第一个火焰矩阵即为所得最优解.
3 实验结果分析本文分别对模拟退火(SA)、标准MFO以及改进MFO进行了实验仿真并对收敛曲线进行分析. 图 1、图 2为SA、标准MFO以及改进MFO算法优化迭代过程中的信号集平均ASP变化曲线和平均CP变化曲线.为保证实验分析的公平性，图 1、图 2中各算法的实验条件均相同，实验参数设置情况为：信号集内信号个数L=4，信号长度N=40，算法设置最大迭代次数为2 000，初始种群个数P=100.
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| 图 1 平均ASP变化曲线 Fig.1 Curve of the average of ASP |
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| 图 2 平均CP变化曲线 Fig.2 Curve of the average of CP |
在MIMO雷达信号集设计中，通常用平均ASP和平均CP衡量信号集的相关性能.因此本文中的收敛精度定义为算法收敛后得到的平均ASP值和平均CP值的大小，收敛速度则为算法收敛需要的迭代次数.根据图 1、图 2中收敛曲线可得出：在相同迭代次数情况下，本文改进MFO算法始终能够比标准MFO、SA算法得到更低的平均ASP和平均CP值.且迭代次终止时，改进MFO明显比其他两种算法得到的平均ASP、平均CP值更小.改进MFO在迭代次数为400时曲线趋于平稳，标准MFO收敛缓慢，在迭代1 000次左右开始平稳，而模拟退火算法曲线不稳定，算法没有收敛.说明改进MFO在收敛精度与速度方面与标准MFO相比均得到明显提高.与文[15]相比，本文在迭代400次时算法趋于收敛，文[15]需要进行20 000次才能稳定，且本文方法得到的平均ASP、平均CP明显较低.证明本文改进MFO算法能够在较短时间内得到更低的平均ASP、平均CP值，具有更快的收敛速度和收敛精度. 图 3、图 4为优化所得相位编码信号集的归一化自相关函数模值和互相关函数模值曲线图.由相关函数模值曲线图中能够看出，本文得到的相位编码信号集具有较低的自相关函数旁瓣值，且信号间互相关函数值较小.
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| 图 3 信号自相关函数模值 Fig.3 Modulus of autocorrelation function of signal |
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| 图 4 相位编码信号集互相关函数模值 Fig.4 Modulus of cross correlation function of signal |
表 1为信号集的ASP和信号间CP.为验证本文方法的有效性，选取具有相同实验参数的文献对信号集的性能进行了分析比较，表 2为本文信号集的平均ASP、最大ASP、平均CP、最大CP与其他文献信号集的比较结果. 表 3中为本文所得信号集的相位.
| 信号1 | 信号2 | 信号3 | 信号4 | |
| 信号1 | 0.116 3 | 0.178 7 | 0.184 5 | 0.183 1 |
| 信号2 | 0.178 7 | 0.110 9 | 0.200 0 | 0.176 8 |
| 信号3 | 0.184 5 | 0.200 0 | 0.110 2 | 0.200 1 |
| 信号4 | 0.183 1 | 0.176 8 | 0.200 1 | 0.113 6 |
| 信号输出相位 | ||||||
| 信号1: | 0.810 7 | 0.953 2 | 2.427 1 | 3.672 4 | 3.685 0 | 1.911 6 |
| 1.131 8 | 5.520 2 | 1.359 8 | 5.203 6 | 1.010 6 | 6.133 0 | 1.145 6 |
| 6.125 2 | 2.563 8 | 6.222 9 | 0.485 7 | 1.516 5 | 0.933 5 | 6.196 4 |
| 3.224 7 | 2.887 3 | 0.289 5 | 1.951 4 | 3.639 5 | 3.233 9 | 0.663 5 |
| 4.053 5 | 3.862 2 | 4.969 4 | 4.908 4 | 1.425 7 | 2.609 0 | 0.967 3 |
| 2.558 5 | 5.511 1 | 0.981 7 | 2.973 4 | 6.085 7 | 4.451 5 | |
| 信号2: | 0.109 9 | 3.865 0 | 2.795 9 | 4.957 2 | 3.677 4 | 0.406 1 |
| 0.527 8 | 3.930 1 | 3.972 5 | 3.503 4 | 0.712 2 | 3.636 0 | 5.049 5 |
| 2.002 5 | 5.774 6 | 2.894 5 | 3.454 5 | 0.610 8 | 1.100 6 | 4.157 0 |
| 5.192 1 | 1.097 2 | 3.652 2 | 2.775 4 | 1.155 4 | 3.005 3 | 4.663 4 |
| 4.244 8 | 4.723 3 | 1.528 8 | 0.264 5 | 5.743 9 | 5.873 0 | 0.086 0 |
| 0.527 5 | 4.906 6 | 4.677 6 | 4.819 6 | 3.634 6 | 0.132 5 | |
| 信号3: | 2.008 4 | 2.267 0 | 1.913 8 | 0.829 4 | 1.180 0 | 4.947 3 |
| 5.285 3 | 0.674 5 | 2.378 6 | 4.110 2 | 0.622 7 | 2.125 1 | 0.570 5 |
| 1.121 7 | 0.385 9 | 5.965 5 | 4.213 1 | 2.144 5 | 4.001 1 | 0.703 8 |
| 3.958 3 | 1.311 0 | 3.940 0 | 2.577 0 | 1.816 4 | 3.223 5 | 2.359 8 |
| 0.610 3 | 5.647 2 | 2.258 5 | 4.618 9 | 2.026 2 | 0.693 5 | 5.544 1 |
| 3.339 8 | 3.674 6 | 4.956 8 | 5.434 1 | 5.260 0 | 1.352 7 | |
| 信号4: | 1.152 0 | 1.779 6 | 4.364 6 | 2.610 5 | 4.377 1 | 0.208 7 |
| 2.332 4 | 5.972 0 | 3.958 9 | 1.185 8 | 1.377 0 | 1.787 5 | 5.868 2 |
| 1.259 5 | 4.481 9 | 2.154 0 | 2.796 6 | 4.992 8 | 4.897 3 | 1.024 6 |
| 6.072 6 | 6.111 7 | 2.164 3 | 2.120 4 | 5.366 6 | 4.399 4 | 5.522 4 |
| 4.246 4 | 1.149 6 | 4.652 7 | 2.704 4 | 4.509 3 | 5.958 6 | 1.095 9 |
| 5.752 7 | 5.676 4 | 4.720 9 | 0.014 5 | 5.985 8 | 2.593 9 | |
由表 2可得出，本文得到的相位编码信号集的平均ASP为0.112 7(-18.96 dB)，信号间平均CP为0.187 2(-14.55 dB).文[4]中信号集为0.133 4，本文信号集的平均ASP以及最大ASP均低于所得信号集，具有更高的自相关性能.
由表 2对比结果可知，本文方法得到的信号集，无论是平均ASP、平均CP还是最大ASP、最大CP均低于其他文献中的信号集.由此说明本文方法与其他方法相比，在MIMO雷达相位编码信号集设计中，得到的相位编码信号集具有更低的自相关旁瓣值和互相关值.
4 结束语本文提出MFO算法的改进方法，并用改进后MFO算法优化相位编码信号集的自相关旁瓣和互相关值.仿真实验表明，改进MFO算法在解决MIMO雷达正交相位编码信号集问题中具有更快的收敛速度和更高的收敛精度，优化得到的相位编码信号集具有较好的相关性能.
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