2. 中国科学院机器人与智能制造创新研究院, 辽宁 沈阳 110016;
3. 辽宁石油化工大学计算机与通信工程学院, 辽宁 抚顺 113001;
4. 广州中国科学院沈阳自动化研究所分所, 广东 广州 511458
2. Institutes for Robotics and Intelligent Manufacturing, Chinese Academy of Sciences, Shenyang 110016, China;
3. School of Computer and Communication Engineering, Liaoning Shihua University, Fushun 113001, China;
4. Shenyang Institute of Automation. Guangzhou, Chinese Academy of Sciences, Guangzhou 511458, China
0 引言
随着无线通信技术的发展和用户对数据业务需求的日益增加，Femtocell技术作为室内无线通信技术最有前景的技术之一，得到了快速发展[1]. Femtocell又叫家庭基站，是一种覆盖范围小、发射功率低的小型基站，主要用于拓展蜂窝网络覆盖，增强网络容量，可通过数字用户线(digital subscriber line，DSL)、宽带或专门的光纤等方式经因特网连接到移动核心网[2].
由于频谱稀缺，Femtocell双层网络一般采用共享授权频谱方式[3]，但是由共享授权频谱所带来的跨层和同层干扰将会严重限制Femtocell网络的性能.为了抑制干扰，功率控制技术得到了学者们的广泛关注，并取得了丰富的研究成果[4-8].文[4]采用合作纳什议价博弈模型，提出了具有效用公平的功率控制方案.文[5]通过引入网络负载因子，提出了一种基于非合作博弈的功率控制算法，减小了功率消耗.文[6]针对高级长期演进(long term evolution-advanced，LTE-A)上行链路与设备对设备(device to device，D2D)链路间的同频干扰问题，给出了联合信道分配和功率控制策略.文[7]基于Stackelberg博弈给出了一致定价和非一致定价方案，保证了宏基站和Femtocell的效用最大化和服务质量(quality of service，QoS)要求.文[8]针对异构蜂窝网络中宏用户能耗和Femtocell用户的传输速率的效用优化问题，采用Stackelberg博弈模型给出了基于价格的功率控制方案.但是，这些文献都是基于确定的通信网络环境，假设系统参数能够精确得到，没有考虑参数不确定性对系统性能的影响.由于无线信道的估计误差、反馈时延、量化等性质，无线信道不可避免地存在着不确定性，信道不确定性也将极大影响Femtocell双层网络的网络性能[9].因此，对Femtocell网络的鲁棒功率控制策略的研究成为了当前研究的热点.
在无线通信网络中，目前主要应用鲁棒优化方法来处理信道的不确定性[10].文[11]考虑了用户辅助信息和观测信息的不确定性，提出了最坏鲁棒优化功率控制.文[12]将平均时延和中断概率作为QoS指标，提出了一种可以获得传输功率全局最优的分布式算法.文[13]将Femtocell双层网络上行功率分配问题转换成鲁棒stackelberg博弈问题，然后使用非合作博弈实现了带有概率约束的家庭用户在最坏情况下的效用最大化.文[14]考虑了Femtocell双层网络的中断概率约束情况，采用概率优化方法提出了基于功耗最小化的鲁棒优化算法.文[15]考虑了干扰温度约束的情况，采用最坏情况优化方法给出了稀疏场景和密集部署场景的鲁棒功率控制算法.文[16]为了增强Femtocell网络的鲁棒性，考虑了部分信道状态信息(channel state information，CSI)反馈和无CSI反馈信息的情况，提出了具有中断概率约束的鲁棒上行功率控制方案.文[17]针对信道状态不确定的分层异构微蜂窝网络的功率控制问题，基于Stackelberg博弈模型给出了一种分布式Q学习方案.但是，这些文献所提出的鲁棒功率控制方案主要是以优化网络的QoS参数、改善网络系统容量、提高频谱利用率为目标，而对双层网络的Femtocell家庭用户的公平性问题则研究的较少.由于频谱资源的稀缺性，需要在Femtocell网络的不同小区及同一小区不同用户之间考虑效用公平性以保证网络中所有用户都能获得良好的性能.
本文针对具有不完美信道状态信息的Femtocell双层网络的上行功率控制问题，在保证宏小区用户正常传输情况下，考虑到Femtocell家庭用户之间的公平性和最小服务质量要求，提出了基于议价博弈的鲁棒功率控制方案.首先，采用最坏情况优化方法，将具有QoS保证的Femtocell网络上行鲁棒功率控制问题转化为纳什议价博弈功率控制问题.考虑到Femtocell家庭用户之间的公平性和最小服务质量要求，给出了议价博弈的Kalai-Smorodinsky议价解，并证明了议价解的存在性和唯一性.然后，提出了一种基于二分查找算法的分布式鲁棒功率控制方案.最后，对所提出的鲁棒议价博弈功率控制算法进行了仿真验证.
1 网络模型与鲁棒问题描述考虑由一个宏基站(micro base station，MBS)和多个家庭基站(Femtocell base station，FBS)构成的双层Femtocell网络系统，如图 1所示.宏基站的覆盖半径为Rm，在其覆盖范围内部署了N个服务半径为Rf的Femtocell网络.在Femtocell网络中，每个FBS服务多个家庭用户(Femtocell user equipment，FUE).由于频谱稀缺，假定所有的家庭基站与宏基站共享同一频带.为了研究方便，假定在给定的信令时隙内只存在一个宏用户(microcell user equipment，MUE)，每个家庭基站至多有一个家庭用户设备等待服务.
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| 图 1 Femtocell双层网络模型 Fig.1 Model of two-tier Femtocell network |
令pi为FUEi的传输功率，gii为从FUEi到FBSi的信道增益，则FUEi的接收信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR)为
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(1) |
式中，σ2表示在该通信环境条件下的背景噪声，包括宏小区用户对其产生的干扰.家庭用户设备FUEj与家庭基站FBSi间的信道功率增益为gj，i.
在实际的无线通信系统中，很难获得完美的信道状态信息，信道状态信息不可避免地存在着不确定性.可以采用欧几里得球来描述信道状态信息不确定性[16].家庭用户FUEi与家庭基站FBSi之间不完美信道状态信息的信道功率增益gi，i可以表示为
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(2) |
式中，gi，i为不确定信道gi，i的估计值，Δgi，i为范数有界信道估计误差，可由|Δgi，i|≤εigi，i确定，0≤εi < 1为不确定度.
同理，可以得到：
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(3) |
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(4) |
式中，gi，m为FUEi到MBS的信道增益gi，m的估计值；Δgi，m为相应信道的估计误差，由|Δgi，m|≤εmgi，m确定且εm∈[0，1)；Δgj，i为FUEj到FBSi的干扰信道增益gj，i的估计误差，由于FUEi对FBSi的信道增益gi，i远大于FUEj对FBSi的信道增益gj，i，即
通过以上分析，本文的主要目标就是考虑到不完美信道状态信息的情况，在保证MUE正常传输及FUE最小SINR要求的条件下，采用最坏情况优化方法使Femtocell网络效用最大化.该优化问题可以表示为
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(5) |
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(6) |
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(7) |
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(8) |
式中，p=(p1，p2，…，pN)为家庭用户的功率分配向量，Q为保证MUE正常传输的干扰温度门限，γmin为最小SINR，Ui(p1，p2，…，pN)为家庭用户FUEi的效用函数.
2 议价博弈功率控制 2.1 基于广义纳什议价博弈的效用函数设计效用函数的设计不仅要体现Femtocell网络的公平性，还要在数学上能够保证较好的全局收敛性，能够较快地收敛到均衡点.由于Femtocell网络是多家庭用户的网络，采用适合多用户的广义纳什议价博弈可以使功率控制策略实现全局最优.
广义纳什议价博弈的均衡解称为纳什议价解.纳什议价解p*=(p1*，p2*，…，pN*)可通过最大化纳什积获得，即：
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(9) |
为了能够兼顾网络性能和纳什公平，因此效用函数可以设计为
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(10) |
根据柯西—施瓦茨不等式，可以知道：
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(11) |
采用最坏情况优化方法，根据式(2)和式(4)，FUEi的接收SINR可重写为
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(12) |
式中，
由式(3)可以知道，式(6)可以重写为
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(13) |
根据式(12)和式(13)，鲁棒功率控制问题进一步改写为合作议价功率控制博弈：
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(14) |
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(15) |
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(16) |
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(17) |
注1 约束(15)表明FUE对MUE的跨层干扰不至于过大，能保证MUE进行正常传输.约束(16)保证FUE的QoS都能满足最小SINR要求.约束(17)指明传输功率的必须是非负的.
2.2 K-S议价解K-S议价解[18]是学者Kalai和Smorodinsky针对Nash议价解的不足而提出的一种关于议价问题的解法. K-S议价解不仅仅是合作博弈的一个具有帕累托优化的解，而且要求用户的效用与最大效用成比例.也就是说，K-S议价解按照用户的贡献大小来分配效用，更能体现用户间的公平性.
为了证明Femtocell网络的鲁棒优化功率控制问题的K-S议价解存在，需要先证明鲁棒优化功率控制问题的可行效用集S是非空、闭、凸、有界集合.
由式(14)~式(17)可知，鲁棒优化功率控制问题的可行效用集为
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(18) |
式中，
定理1 
证明 由式(16)可以得到：
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(19) |
由于
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(20) |
将式(20)代入约束(15)，可以得到：
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(21) |
由式(18)可知，可行效用集S为非空、闭、有界集合.下面证明可行效用集S为凸集.在证明凸集之前，先给出凸集的定义.
定义1 凸集：令U(1)和U(2)为集合内任意两点，若存在任意θ∈[0, 1]，点θU(1)+(1-θ)U(2)也属于该集合，则该集合为凸集.
定理2 鲁棒优化功率控制问题的可行效用集合S为凸集.
证明 根据凸集的定义，若可行效用集合为S凸集，则对于∀Ui(1)，Ui(2)∈S且θ∈[0, 1]需要证明式(22)成立：
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(22) |
令
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(23) |
由式(23)可知，ϕ(θ)关于θ的2阶导数大于0，因此函数ϕ(θ)是凸函数.所以可行效用集合S为凸集.
由文[19]可以知道，K-S议价解就是可行效用集S与线性集L的交叉点：
|
(24) |
式中，
于是，鲁棒优化功率控制问题变换为求解标量β满足：
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(25) |
将式(24)代入可行效用集(17)可以得到标量β的最优解：
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(26) |
得到最优参数β*后，由式(13)、式(24)和式(25)可以得到分配给每个Femtocell家庭用户的最优传输功率为
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(27) |
根据定理2，可以得到下面的鲁棒K-S议价博弈功率控制算法.该算法使用二分查找算法求出最优参数β*，进而依据式(27)获得最优分配功率.
Step 1 根据信道信息计算式(18)中的
Step 2 当u-l>ε时：
1) 计算β=(l+u)/2，
2) 如果
Step 3 令β*=β，依据式(27)计算出Femtocell网络家庭用户的最优功率pi*.
该最优功率分配算法的流程图为图 2所示.
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| 图 2 算法的流程图 Fig.2 Flow diagram of the algorithm |
注2 本功率分配算法采用二分查找算法求解，计算复杂度与β的上界u、下界l和精度常数ε有关，每次计算最优功率β的计算复杂度为
定理3 p*是纳什议价功率控制博弈的帕累托最优解.
证明 首先证明p*满足鲁棒博弈模型中式(15)~式(17)的约束条件.由式(26)可知，p*满足式(15)的干扰温度门限要求.由式(9)可知，Ui≥Ui，min，当Ui，min=0时，由式(10)可得ln(γi-γmin)≥0，即γi≥γmin，满足条件(16).由0≤εi < 1可知，p*>0，满足条件(17).
其次证明当p=p*时，式(14)效用和最大.将式(27)代入式(14)得到
双层Femtocell网络的仿真场景如图 3所示，图中显示了1个宏蜂窝和20个Femtocell的情况.宏基站的位置为(0，0)，其覆盖半径Rm为500 m.宏用户MUE的坐标为(100，60).家庭基站FBSi(i=1，…，20)的服务半径Rf为30 m，随机分布在宏基站的覆盖范围内.家庭用户FUEi(i=1，…，20)随机分布在家庭基站的服务区域内.为了清晰起见，图 4~图 5只显示了Femtocell1~Femtocell4的情况.其中，家庭基站FBS1到FBS4的坐标分别为(-23，-280)、(-291，25)、(180，-81)和(-113，-171).家庭用户FUE1~FUE4的坐标分别为(-3，-276)、(-271，40)、(200，-78)和(-112，-160).
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| 图 3 双层Femtocell网络仿真场景 Fig.3 Simulation scenario of two-tier Femtocell networks |
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| 图 4 FUE的功率收敛性能 Fig.4 Convergence performance of FUE power |
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| 图 5 传输功率与公平因子的关系 Fig.5 Relation between transmission power and fairness factor |
终端用户和基站之间的平均信道增益可以用式(28)来描述[20]：
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(28) |
式中，Ki和Kio分别为室内链路和室内外链路的固定传播损耗；Di，j为FUE到其它FBS的距离，Di，m为FUE到MBS的距离；αi和αio分别为室内和室内为路径损耗因子；W为室内到室外的分区损耗.仿真参数选择如表 1所示.
| 仿真参数 | 数值 |
| 载波频率f | 2 000 MHz |
| Kio | 30lg(f)-71 dB |
| Ki | 37 dB |
| αi | 3 |
| αio | 4 |
| W | 5 dB |
| 最低SINR需求γmin | 10 dB |
| 干扰温度门限Q | 10-5 W |
| 背景噪声σ2 | 10-6 |
图 4验证了Femtocell双层网络在具有不完美信道状态信息的情况下，所提出算法的功率的收敛性能.仿真中各FUE用户的公平因子γi=0.05.从图 4可以看出，本文所提出的功率控制算法虽然受到来自信道等不确定性因素的影响，但是仍然能够在较短的时间内收敛到稳定值，显示了算法的有效性.
图 5显示了传输功率和公平因子的关系，仿真分别比较了ωi=0.05(i=1，…，20)、ωi=0.1(i=1，…，4)且ωi=0.037 5(i=5，…，20)、ωi=0.15(i=1，…，4)且ωi=0.025(i=5，…，20)三种情况下各Femtocell用户传输功率的情况.从图 5可以看出，随着公平因子的增加，传输功率也随着变大.因此，适当提高Femtocell用户的公平因子，有助于提高传输功率，改善系统的通信性能.
图 6对本文所提出的鲁棒议价博弈功率控制算法(BGPC)与文[15]所提出的鲁棒功率控制算法(QGPC)关于平均传输功率进行了比较.仿真开始时，Femtocell的数目较少，BGPC算法和QGPC算法为了最大化网络效用，传输功率都较大.但是由于QGPC算法采用非合作的方式，所以传输功率高于BGPC算法的传输功率.随着Femtocell的数目逐渐增多，BGPC算法为了保证FUE之间的公平性以及最小SINR保证，传输功率也逐渐大于QGPC算法的传输功率.
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| 图 6 FUE平均传输功率 Fig.6 Average transmission power of FUE |
图 7对BGPC算法和QGPC算法的公平性进行了比较. FUE之间公平性的衡量可以采用Jain公平性指数(Jain′s fairness index)，如式(29)所示：
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(29) |
式中，xi(i=1，…，N)为FUE的平均传输功率，N为参与功率控制的FUE的数目.从图 7可以看出，基于合作机制的鲁棒议价博弈BGPC算法比基于非合作机制的QGPC算法可以获得更好的公平性.从总体上看，随着Femtocell数目的逐渐增加，Jain公平性指数都相应地逐渐减小.这是由于Femtocell数目的增加导致了双层网络的跨层干扰变得严重，每个Femtocell的性能存在一定的损失.
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| 图 7 公平性指数比较 Fig.7 Comparison of fairness index |
本文讨论了具有不完美信道状态信息的Femtocell双层网络的鲁棒功率控制问题.在保证宏小区用户正常传输及保证家庭用户最小SINR要求的条件下，基于最坏情况鲁棒优化方法将具有不完美信道状态信息的Femtocell双层网络的鲁棒功率控制问题转化为鲁棒议价博弈模型.针对鲁棒议价博弈模型，给出了能够保证Femtocell家庭用户设备之间的公平性和最小服务质量要求的K-S议价博弈解，证明了议价解的存在性和唯一性.采用二分查找算法给出了求解最优功率的分布式鲁棒功率控制方案.仿真结果表明，所提方案在具有不完美信道状态信息的情况下，具有较好的收敛性能和公平性.随着研究的进一步深入，无线移动通信技术已脱离纯技术驱动的模式，正在走向技术与业务相结合、互动的新模式.无线移动通信网络服务的重要目标之一是提供满意的用户体验质量(quality of experience，QoE).因此，下一步将研究具有QoE约束的Femtocell网络的鲁棒功率控制.
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