2. 南京信息工程大学江苏省大气环境与装备技术协同创新中心, 江苏 南京 210044
2. Jiangsu Collaborative Innovation Center of Atmospheric Environment and Equipment Technology, Nanjing University of Information Science and Technology, Nanjing 210044, China
0 引言
图像去噪是数字图像处理中非常重要的一个研究领域，近年来图像去噪技术的研究受到了广泛的关注[1-4].传统的图像去噪方法在滤除噪声的同时，通常会破坏图像的细节纹理特征，这使得图像的结构变得模糊. 1990年，Perona和Malik[5]提出了一种基于各向异性扩散模型的图像去噪算法，该方法采用非线性偏微分方程[6]的形式，成功地在消除噪声的同时保存图像的信息. PM模型能够在连续域中进行图像平滑，且在处理噪声时不受限于噪声模型，这使其成为了一种重要的去噪方法而被人们所广泛研究[7-9]. 2013年，Ehsan[10]等人将各向异性扩散方法应用于图像的像素模型. 2015年，周先春和汪美玲等人先后提出了基于小波与重调和方程的扩散去噪模型[11]和拟正态分布扩散的图像平滑模型[12]. 2016年，周先春[13]等人又提出了阈值寻优的高保真各向异性滤波模型.
以上模型在图像去噪的同时都涉及了图像边缘保护的问题，而这也是人们长久以来所研究的问题.为了在图像去噪和平滑的过程中保护边缘信息，1998年，Tomasi等人提出了图像的双边滤波方法，该方法在之后被广泛应用于图像跟踪[14-15]、图像去噪[16]和图像去雾[17]等领域.由于双边滤波器的复杂度较高，Yang[18]在2012年通过研究具有较小计算负担的双边滤波器的递归边缘保持技术，提出了递归双边滤波器.随后，Thevenaz[19]等人提出了一种双指数平滑滤波器来保护图像的边缘.
本文将改进型PM模型与递归滤波器相结合，提出了一种改进型递归各向异性扩散算法，首先通过控制梯度方向和垂直于梯度方向的扩散系数来保留图像的边缘信息，再通过递归滤波算法减少迭代次数来保护图像的细节纹理特征.实验结果表明，新方法拥有理想的去噪效果，同时也能够很好地保护图像的边缘细节特征.
1 PM模型PM模型是一种迭代去噪方法，它通过各向异性扩散使得图像中的像素点能够根据与其相邻点之间的差异来更新像素值.各向异性扩散通过偏微分方程来定义：
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(1) |
其中，I是图像，x和y表示空间坐标，t表示时间，div(·)是散度算子，▽(·)是梯度算子. c是扩散系数，其表达式为
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(2) |
其中，g(·)是边缘停止函数，▽I(x，y，t)表示某一时刻I的梯度的模.式(1)的离散表达式为
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(3) |
其中，t表示迭代，x和y表示离散坐标，λ是区间[0，0.25]之中的一个常数，下标n，s，e和w分别指代像素点上、下、右、左相邻位置的点，▽iIt，i∈{n，s，e，w}表示图像在坐标(x，y)点处的像素与其四周最相邻点之间的差值，其表达式为
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(4) |
扩散系数ci，i∈{n，s，e，w}的表达式为
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(5) |
其中，K是一个用来控制▽iIt对于ci的影响的常数.
2 递归滤波器一阶梯度的递归滤波器可以由下列表达式给出：
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(6) |
其中，X和Y分别表示滤波器的输入和输出，αi和βj是两个权重系数.在式(6)中，递归滤波器的输出会受到0到n的线性距离上的像素的影响，如果把影响的距离假设成两个相邻的像素之间的距离，就可以把表达式简写成以下形式：
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(7) |
其中，α是一个可控参数，γi，i－1是Xi和Yi－1的权重系数，其表达式为
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(8) |
其中，σ是一个用来调整权重大小的参数.由式(7)可以看出，输出Yi仅与Xi和Yi－1有关，也就表示输出是通过两个相邻像素之间的迭代来计算的.
3 新方法 3.1 改进型PM扩散模型传统的PM模型在去噪过程中由于过平滑效应会导致图像边缘的模糊和失真，为了改善这一现象，将扩散过程沿梯度方向和垂直于梯度方向进行拆分，对沿梯度方向η的扩散系数和垂直于梯度方向ξ的扩散系数分别进行控制，从而保留图像的边缘信息.根据上述过程给出公式：
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(9) |
其中，Iηη和Iξξ分别为图像I相对于η和ξ的二阶导数，其表达式为
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(10) |
式中的Ix、Iy是图像I的一阶导数，Ixx、Iyy和Ixy是图像I的二阶导数和混合二阶导数，它们可由图像的黑塞矩阵给出：
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(11) |
在图像的某一点处求出矩阵的特征值：
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(12) |
λ1和λ2可以反映出图像的局部特征状况，运用特征值来构建新的扩散模型：
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(13) |
由上式可以看出在图像的边缘处，沿梯度方向的扩散系数c(λ1+λ2)趋向于0，而沿垂直于梯度方向的扩散系数c(λ1*λ2)趋向于1，这使得图像能够沿着特征方向进行扩散，而避免在梯度方向进行扩散，从而有效地保护图像的边缘信息.在图像的平坦区域处，二者的扩散系数均趋向于1，这使得模型能有效地去除图像的整体噪声.
3.2 递归各向异性扩散各向异性扩散算法通过中心像素点与其周围最邻近的像素点的差值改进来进行图像的像素更新，随后这些更新后的像素点也会使其周围对应的邻近像素点更新，由此形成一次次的迭代过程.随着迭代次数的增加，图像会由于过度的平滑导致纹理细节的丢失，针对这一问题，将递归滤波器与各向异性扩散相结合，实现递归各向异性扩散.首先，定义递归相邻图像Nti，i∈{n，s，e，w}，在递归相邻图像中新的像素点的更新不仅依赖于初始的像素点，与其相邻的已更新过的像素点也会为之更新提供依据，这种方式能够大大减少计算量，加快像素更新的速度.递归相邻图像的表达式为
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(14) |
其中，t表示迭代，λ的值和式(3)中λ的取值相同，▽iNt，i∈{n，s，e，w}表示递归的中心像素点It－1(x，y)与其四周相邻像素点之间的差值，其表达式为
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(15) |
系数Ci，i∈{n，s，e，w}的表达式为
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(16) |
由式(14)和式(15)可以看出Nti是通过递归计算得出的，这有效地降低了运算过程中的迭代次数.
将递归滤波算法与改进后的PM扩散模型相结合，得到新的模型：
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(17) |
其中，i∈{n，s，e，w}，λ和式(3)中相同，▽iNηηt和▽iNξξt分别表示在梯度方向和垂直于梯度方向上递归中心像素点与其四周相邻像素点的差值，Ci(λ1+λ2)和Ci(λ1*λ2)分别为其相对应的扩散系数.该模型用递归的方式使图像在沿梯度方向和垂直于梯度方向分别进行像素点的迭代更新，既能够减少迭代次数，从而避免平滑过度导致的纹理细节丢失，又可以在去除噪声的同时，保护图像的边缘结构特征.
新方法一方面将扩散过程进行分解从而避免在梯度方向进行扩散，通过改进算法直接对图像的边缘区域信息进行保护；另一方面引入的递归滤波算法实现了在去噪的过程中减少迭代的次数，从而间接地保留了图像的细节特征.这两个因素虽然所起作用的形式不同，但殊途同归，都旨在去除噪声的同时更多地保护图像的纹理信息和结构特征.
4 实验结果与分析为了验证算法的合理性与可行性，利用Matlab软件进行仿真分析，并使用均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)来评价算法的有效性.
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(18) |
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(19) |
其中，W×H表示图像的分辨率，I0和I分别表示原始图像和去噪后的图像.对于以上两个指标，均方差的值越小，峰值信噪比的值越大，则图像的去噪效果越好.
本文选用像素为512×512的Lena图像和Cameraman图像，其原始图像如图 1所示，分别对图像加入方差为20的高斯白噪声进行处理分析.
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| 图 1 实验选用的原始图像 Fig.1 The original image for the experiment |
对加噪的Lena图像用PM模型、YK模型、TV模型和本文的算法分别进行去噪处理，其中所有模型的时间步长都取2，设置系数K=20、λ=0.15.在去噪过程中，图像的噪声会随着迭代次数的增加而被逐步去除，与此同时图像的纹理细节也会逐渐被模糊.
为了对比本文算法与传统空间型降噪方法的去噪效果，采用基于三维变换域滤波的BM3D模型对加噪的Lena图像进行去噪处理.
上述各模型方法去噪所得的结果如图 2所示，图 3为去噪图像局部放大后的效果图.为了进一步对比去噪前后图像的结构特征保持状况，采用Canny算子[20]对各模型去噪后的图像进行边缘特征提取，结果如图 4所示.
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| 图 2 Lena图像使用各模型算法去噪后的图像 Fig.2 Lena images use each model algorithm to denoise the image |
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| 图 3 Lena图像使用各模型算法去噪后的局部放大图 Fig.3 Partial enlarged images of the Lena images using each model algorithm to denoise |
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| 图 4 Lena图像使用各模型算法去噪后的边缘提取图 Fig.4 Edge extraction images of the Lena images after using each model algorithm to denoise |
对加噪的Cameraman图像同样用上述的四种模型和本文算法分别进行去噪处理，保持各模型的迭代次数不变，将本文算法的系数改变为K=15，λ=0.2.去噪后的结果图，局部放大图以及边缘特征提取图分别如图 5~图 7所示.
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| 图 5 Cameraman图像使用各模型算法去噪后的图像 Fig.5 Cameraman images use each model algorithm to denoise the image |
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| 图 6 Cameraman图像使用各模型算法去噪后的局部放大图 Fig.6 Partial enlarged images of the Cameraman images using each model algorithm to denoise |
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| 图 7 Cameraman图像使用各模型算法去噪后的边缘提取图 Fig.7 Edge extraction images of the Cameraman images after using each model algorithm to denoise |
由图 2(b)和图 5(b)可见经PM模型处理后的图像在边缘部分出现了模糊现象，再结合图 3(b)和图 6(b)的局部放大图，可以看出图像的去噪效果不够显著，且产生了块状效应.由图 2(c)、图 3(c)和图 5(c)、图 6(c)可以看出，经过YK模型处理后的图像出现了大量的的孤立噪声点.由图 3(d)和图 6(d)的局部放大图可见，经过TV模型处理后的图像存在着阶梯效应，导致大量的细节特征丢失.由图 3(e)和图 6(e)的局部放大图可以看出，经过BM3D模型处理后的图像整体上的去噪效果有所提高，但在边缘区域出现了振铃效应，导致部分细节纹理被模糊或丢失.最后看图 2(f)，图 3(f)和图 5(f)，图 6(f)，可见使用本文算法去噪处理后的图像相较于前几个模型，去噪效果更为明显，纹理细节也更加清晰、完整.
再比较图 4和图 7中各去噪后图像的边缘提取图，分析可得PM模型和YK模型的边缘纹理特征相当的模糊；TV模型虽然边缘清晰，但丢失了大量的细节特征；BM3D模型的部分细节特征丢失，还出现了边缘结构被扭曲、破坏的现象；用本文算法处理的图像有着更为清晰的边缘，细节纹理特征也能更完整地保留.
表 1给出了噪声方差为20的Lena和Cameraman图像使用各模型算法去噪后结果的MSE和PSNR指标的比较，分析可得本文算法去噪处理后的图像大大降低了均方差，使得峰值信噪比有更为显著的提高.
| 加噪图像 | PM模型 | YK模型 | TV模型 | BM3D模型 | 本文算法 | ||
| Lena | MSE | 392.4136 | 86.6452 | 49. 6150 | 11.2674 | 1.3771 | 0. 3511 |
| 图像 | PSNR | 22.1934 | 28.7536 | 31.1748 | 37.6125 | 46.7411 | 52.6765 |
| Cameraman | MSE | 396.8633 | 104.7446 | 54.2237 | 18.1845 | 1.8916 | 0.5280 |
| 图像 | PSNR | 22.1444 | 27.9295 | 30.7889 | 35. 5338 | 45.3625 | 50.9045 |
下面对本文算法的实用性进一步研究，选用具有特殊纹理的校园景物图View图像进行实验，其原始图像如图 8所示.对View图像加入方差为20的高斯白噪声，分别用上述去噪模型和本文算法进行去噪处理，并保持系数与迭代次数和Cameraman图像实验时相同.去噪后的结果图，局部放大图以及边缘特征提取图分别如图 9~图 11所示.
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| 图 8 View图像的原始图像 Fig.8 Original image of the View image |
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| 图 9 View图像使用各模型算法去噪后的图像 Fig.9 View images use each model algorithm to denoise the image |
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| 图 10 View图像使用各模型算法去噪后的局部放大图 Fig.10 Partial enlarged images of the View images using each model algorithm to denoise |
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| 图 11 View图像使用各模型算法去噪后的边缘提取图 Fig.11 Edge extraction images of the View images after using each model algorithm to denoise |
表 2为噪声方差为20的View图像使用各模型算法去噪后结果的MSE和PSNR指标的比较，由表中的数据可得使用本文算法处理后的图像明显降低了均方差，图像的峰值信噪比得到进一步的提高.
| 加噪图像 | PM模型 | YK模型 | TV模型 | BM3D模型 | 本文算法 | ||
| View | MSE | 411.2834 | 115.8747 | 58.3009 | 22.6230 | 2.4913 | 0.8052 |
| 图像 | PSNR | 21.9894 | 27.4909 | 30.4741 | 34.5853 | 44.1665 | 49.0718 |
对图 9、图 10并结合图 11进行分析，经PM模型和YK模型处理后的图像出现了画面模糊现象，且在噪声的去除上不够全面，残留了许多噪声点.经TV模型处理后的图像丢失了大量的边缘结构特征，且多处边缘区域变得模糊.经BM3D模型处理后的图像损失了一些纹理细节，在边缘结构上也出现了部分残缺的情况.用本文方法处理后的图像在噪声的去除和细节的保护方面都更为有效，图像的边缘特征结构也更为完整.
图 12为各模型在不同的噪声方差下峰值信噪比的对比，可见随着噪声方差的不断增加，PM模型，YK模型，TV模型，以及BM3D模型的PSNR值呈明显的下降趋势，也就说明上述模型对于随机强度噪声的处理能力较弱，而本文方法PSNR值的波动幅度相对较小，可见其在噪声处理上有着比较高的稳定性.
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| 图 12 各模型不同噪声方差下的PSNR对比 Fig.12 Comparison of PSNR of different noise variances in each model |
本文的去噪方法是由改进型PM模型与递归各向异性扩散相结合而成，为了比较两个因素各自的有益效果，将改进型PM模型设为因素1，递归各向异性扩散设为因素2，在仅保留单一因素影响的情况下分别进行实验.实验选用上文的加噪View图像，仅保留因素1进行去噪处理后结果的局部放大图和边缘提取图分别如图 13(a)和图 14(a)所示，仅保留因素2进行去噪处理后结果的局部放大图和边缘提取图分别如图 13(b)和图 14(b)所示，并将结果与兼顾两个因素的本文方法处理的图像结果局部放大图 13(c)和边缘提取图 14(c)相对比.
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| 图 13 View图像在不同因素影响下去噪结果局部放大图 Fig.13 Partial enlarged images of the View images after denoising under the influence of different factors |
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| 图 14 View图像在不同因素影响下去噪结果边缘提取图 Fig.14 Edge extraction images of the View images after denoising under the influence of different factors |
对图 13和图 14进行分析可得，仅在因素1影响下进行去噪的图像在边缘处的结构得到保留，但由于迭代的次数较多导致景物的纹理被过度平滑而变得模糊；仅在因素2影响下进行去噪的图像保留了一定的纹理细节，但在边缘特征上缺失较为严重；使用在因素1和2共同影响下的本文方法进行去噪所得的图像不仅保留了景物更多的纹理，图像的边缘特征结构也更加完整.所以因素1的有益效果主要是其对图像边缘区域的结构特征起到保护的作用，因素2的有益效果主要体现在其能够在去噪过程中保留图像的细节纹理信息.
5 结论本文考虑到各向异性扩散模型在图像去噪的过程中存在的边缘信息丢失和纹理细节模糊等问题，提出了一种改进型PM模型与递归滤波器相结合的图像去噪算法，该算法首先通过控制梯度方向和垂直于梯度方向的扩散系数来保留图像的边缘信息，再通过递归滤波算法减少迭代次数来保护图像的细节纹理特征.实验结果表明，新方法有着显著的去噪效果，且很好地保留了图像的边缘特征和纹理细节，与一些传统的去噪模型相比性能更为优越，清晰度更高，峰值信噪比得到进一步提高，且稳定性更好.接下来的研究将对算法的复杂度进行进一步的优化.
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