0 引言
分子结构的确立对于揭露物质的功能和属性起着至关重要的作用[1-2].在许多不同的分子构象中，分子最稳定的构象只取决于构成分子的原子之间相互作用的能量[3].这些能量可以被看作是分子的一种具有众多参数的数学描述，并且这些参数的确定是一个连续的全局最小化问题[1-4].然而，求解分子势能函数的全局最小值是一个相当困难的工作，因为分子势能函数是非凸的，即使对于小分子，这个能量函数也具有很多局部极小值，而且局部极小值的个数会随着分子大小的增加呈指数方式增长.
为了解决这个问题，很多专家和学者做了大量的研究工作.例如，Maranas和Floudas提出了一种基于变邻域优化算法求解分子势能函数最小值的方法[1].遗传算法[5-7]和粒子群优化算法[8-10]等许多优化方法也被用来解决这一问题.随着仿生技术的不断发展，新的高效算法应运而生. Yang和Deb于2009年提出一种新的启发式优化算法——布谷鸟搜索算法(cuckoo search，CS)[11-12].它的灵感来源于布谷鸟物种的侵略性繁殖，并结合了Lévy飞行的行为.在CS算法中，布谷鸟搜索新巢时，路径长度和方向都是高度随机变化的，它很容易从一个区域跳到另一个区域.这有利于算法在优化初期搜索全局最优值，使算法具有较强的全局寻优能力.但是，布谷鸟在鸟巢附近的局部搜索能力较弱. CS算法的收敛速度较慢，并且在优化后期收敛精度不高.
为了克服CS的弊端，目前的诸多改进布谷鸟算法多围绕于寄生巢惯性权重和发现概率进行，以增强其局部搜索能力，如李荣雨等[13]提出自适应步长布谷鸟算法，通过自适应调整Lévy飞行步长使算法的前期全局寻优能力和后期局部寻优能力并重.明波等[14]提出采用动态发现概率以及引入变异机制的改进方法，克服标准算法的早熟现象.
与上述改进算法类似，本文的思想亦是增强CS的局部搜索能力，提出一种基于量子机制的具有多样搜索策略的布谷鸟搜索算法的新变种——异构布谷鸟搜索算法(heterogeneous cuckoo search algorithm，HeCoS)，以最小化势能函数，得到稳定的分子构象，并根据其结构了解其性质和行为. HeCoS算法在保留普通CS算法全局搜索能力的同时，提高了CS的局部搜索能力.
本文的目的是检查所提出的算法的效率，找出所考虑的函数的全局最小值.文章首先对布谷鸟搜索算法的仿生原理进行了分析，详细地表达了该算法的计算公式，并阐述了其实现过程，然后对算法的性能指标进行了分析，最后将HeCoS应用于分子势能函数，并与fully informed particle swarm optimization (FIPS)[15-16]、fitness-distance ratio particle swarm optimization (FDRPSO)[17]、unified particle swarm optimization (UPSO)[18-19]、adaptive particle swarm optimization (APSO)[20-21]和cuckoo search (CS)[11-12]进行了比较.仿真结果表明，与其他算法相比，HeCoS具有更好的搜索路径，更好的全局寻优能力，具有良好的应用前景.
1 简化的分子势能函数分子势能是根据牛顿物理学原理，由分子力学导出的.一个分子的势能由几个能项组成，这些能项描述了分子间相互作用，被称作力场[3].分子的优化是在与实验数据高度一致的情况下找到最合适的力场参数.这个三维分子模型由一条以x1，x2，…，xN(xi∈R3)为中心、包含N个原子的线性链组成.令ri，i+1表示每对连续粒子xi和xi+1之间的键长，即欧氏距离.对于每三个连续原子xi，xi+1，xi+2，令θi，i+2表示xi+2关于xi与xi+1连线的相对位置所对应的键角.类似地，对于每4个原子xi，xi+1，xi+2，xi+3，令ωi，i+3表示由xi，xi+1，xi+2和xi+1，xi+2，xi+3确定的两个平面之间的法向扭转角.
在分子力学中，分子间的相互作用是通过计算原子系统的势能贡献而得到的.势能贡献集称为力场，这个力场可以用一个包含可调参数的数学函数来表示.对应于键长、键角、扭转角的力场势分别定义如下：
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(1) |
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(2) |
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(3) |
式中，cij1是键拉力常数，cij2是角弯曲力常数，cij3是扭力常数，常数rij0、θij0和ωij0分别是期望的键长、键角和相角，Mk(k=1，2，3)表示有k个共价键连接的原子对.
除上述三项场势外，还有一个力场，这个力场用以衡量主链上每一对有两个以上共价键连接的原子之间的相互作用：
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(4) |
其中，rij是粒子xi与xj之间的欧氏距离.
要研究的问题就是最小化分子总势能函数E=E1+E2+E3+E4，以确定分子最稳定的结构，或者说原子的最佳空间位置.
在大多数分子结构预测问题中，假设所有共价键的键长和键角都固定为平衡值rij0和θij0.我们采用Lavor和Maculan[22]定义的参数，得到一个关于扭转角的势能函数表达式如下：
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(5) |
其中，n+3是给定系统中的粒子数目.
现在，问题简化为寻找ωi，i+3(ωi，i+3∈[0, 5])，使得势能函数E取得全局最小值. E是一个非凸函数，有很多局部极小值. Lavor和Maculan[22]在研究中提出，对于一个有n+3个原子的线性链，其局部极小值的个数为
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(6) |
这里，E*为全局最小值[22].
虽然势能函数E已经进行了简化，但是问题仍然很复杂，因为随着分子大小的增加，局部极小值的个数会呈指数方式激增.因此，采用穷举法寻找一个分子势能的全局最小值，即使这个分子的大小适宜，也是相当棘手的.为解决这一问题，我们开发了一种异构布谷鸟搜索方法.
2 布谷鸟搜索算法布谷鸟搜索算法是Yang和Deb提出的一种启发式优化算法. CS算法是对布谷鸟的巢寄生行为的仿生，雌性布谷鸟会把卵产在其它鸟类的巢中，让宿主鸟不知不觉地代替自己孵蛋.如果布谷鸟蛋被发现，那么宿主鸟会将这只卵丢出巢外或者抛弃鸟巢另选地方筑巢.同时，CS还使用了Lévy飞行搜索机制[11].在CS算法中，假定每个宿主鸟巢中只有一个鸟蛋，每个宿主鸟蛋代表一个解，每个布谷鸟蛋代表一个新解.如果一个新解比鸟巢中的解更好，则更差的解将会被替换掉.此外，为了得到最简单的CS算法模型，对CS的3个理想化规则进行了如下描述：
1) 每只布谷鸟每次只产一只卵，并且放入一个随机选择的宿主鸟巢；
2) 拥有高质量鸟蛋的巢将被保留到下一代；
3) 宿主鸟巢的数量固定，且布谷鸟蛋被宿主鸟发现的概率为pa∈(0，1).
根据以上描述，布谷鸟搜索宿主鸟巢的位置更新公式如下：
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(7) |
式中⊕表示点对点乘法，α>0为步长，Levy(β)表示与β相关的Lévy随机搜索路径.
在原始布谷鸟算法中，第i只布谷鸟移动到下一个鸟巢的步长si定义如下：
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(8) |
式中α为一常量，u和v服从均值为0、方差分别为σu和σv的正态分布，其中σv=1，σu满足下式：
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(9) |
其中，Γ(·)代表Gamma函数.
如果布谷鸟卵被宿主鸟发现，则布谷鸟需要重新寻找鸟巢产卵，其位置更新策略如下：
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(10) |
其中，r为[0, 1]区间上均匀分布的随机数.
产生新巢的步长与式(8)有所不同，可按式(11)获得：
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(11) |
在式(11)中，xi∈[1，n]与xj∈[1，n]是从整个种群中随机选择的两个位置，则新巢的位置可用下式表示：
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(12) |
其中，pa为发现概率，Pa是[0, 1]区间内的随机数.
3 异构布谷鸟搜索算法 3.1 量子策略在量子力学中，粒子的运动状态是由量子系统在位置γ和时间t的波函数来描述的，它包含了所有可能获得的粒子信息，薛定谔方程是反映微观粒子运动的基本方程[23-24].一般来说，当一个质量为m的粒子受到势V(γ，t)作用时，薛定谔方程的形式如式(13).
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(13) |
其中i为虚数单位，
假设将HeCoS算法中的每个个体都看作是一个无自旋粒子，这些粒子以一定的能量在N维空间中运动，这样它们的状态可以由一个仅与粒子位置有关的波函数描述.忽略时间，势能V(γ)定义如下：
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(14) |
其中，δ(γ)是Dirac的delta函数，λ(λ>0)是delta函数的密度.
根据式(13)和式(14)，可以得到波函数的解如式(15)所示.
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(15) |
其中，L定义为第i个鸟巢与所有鸟巢平均位置的距离.
3.2 异构布谷鸟搜索算法引入量子机制，使每只布谷鸟搜寻宿主鸟巢的行为具有量子意义，以波函数ψ描述其量子状态，ψ2是鸟巢位置的概率密度函数.
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(16) |
在式(16)中，定义η=exp(-2|γ|/L)，η是服从[0, 1]区间均匀分布的随机数，则|γ|可按式(17)求得.
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(17) |
由式(15)和式(17)，令
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(18) |
其中，δ为控制xi与
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(19) |
根据以上论述，用异构搜索机制代替原来的搜索策略，可以得到新的位置更新规则，如式(20)所示.
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(20) |
式中，
算法的步骤如下：
Step 1 初始化宿主鸟巢位置xi(i=1，2，…，n)和算法参数；
Step 2 计算每个鸟巢位置xi对应的适应值f(xi)，记录当前迭代次数下最优鸟巢的位置的适应值fi.
Step 3 将上一次迭代的最优鸟巢保留到下一代，并根据式(8)和式(18)计算步长si和s′，根据式(20)更新鸟巢位置.
Step 4 根据式(11)和式(12)随机产生一组新的鸟巢x′，计算其适应值f(x′)并记录最优值f′.
Step 5 比较前后两次迭代的最优鸟巢位置的适应值fi和f′，若f′优于fi，则用x′替换xi.
Step 6 如果没有达到结束条件(迭代次数)，则返回Step 3.
Step 7 输出全局最优位置g=arg(min f(x)).
4 实验研究本节分为两部分：第一部分是验证所提出的HeCoS的性能，第二部分验证HeCoS对于最小化势能函数的有效性.
4.1 参数分析由第2、3节的论述可知，pa、α、β和δ这4个控制参数对于HeCoS的性能有着显著的影响，它们分别代表了发现概率、差异因子、Lévy因子和学习调节因子.本小节通过对F1、F2、F5、F9这四个基准函数[25](维数统一设为30维)进行实验设计(design of experiments，DOE)，研究这些参数的影响.其中，F1、F2和F5是单峰函数，F1较为简单，搜索相对容易，该函数可以测试算法的寻优精度；F2和F5是多维的，寻找最优值相比于F1更难，可以考察算法的收敛速度与精度；F9是多峰函数，其局部最优值的数目随维数呈指数增长，可检验算法的全局搜索能力.在设计实验中，最大迭代次数设为1 000次，HeCoS中的种群规模设为20.所有实验均独立进行20次.
四个参数对于算法性能的影响如图 1所示.其中发现概率pa从0.1到0.35以0.05的增量变化，其对HeCoS性能的主要影响如图 1第一列所示；差异因子α是控制两个可能解之差的重要参数，在DOE中，α的值从0.5到1.5以0.02的增量变化，其影响如第二列所示；Lévy因子β从1.1到1.9以0.2的增量变化，学习调节因子δ从0.1到3.7以0.4的增量变化，它们的影响分别如第三列和第四列所示.根据DOE的结果，确定能使得算法性能较好的参数变化范围，再按照其在不同取值组合情况下算法达到的效果，进行检验、筛选，经过多次重复实验最终将这4个参数分别选定为pa=0.15，α=1.3，β=1.3，δ=0.9.
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| 图 1 DOE中四个控制参数对于HeCoS性能的影响：第一列到第四列分别为pa，α，β和δ对于基准函数F1(第一行)，F2(第二行)，F5(第三行)和F9(第四行)的主要影响 Fig.1 The main effect of the four control parameters in HeCoS concluded from DOE: first column is the main effect of the discovery probability pa, second column is the main effect of the difference factor α, third column is the main effect of the Lévy factor β, and fourth column is the main effect of the learning regulator δ on functions F1(first row), F2 (second row), F5(third row) and F9(forth row), respectively |
不同的参数组合对于算法性能的影响也是不同的.表 1设置了FIPS，FDRPSO，UPSO和APSO的参数，表 2设置了标准CS算法的参数.
| 算法 | 惯性权重 | 加速系数 |
| FIPS | 0.72 | c1=c2=1.494 45 |
| FDRPSO | 0.90 | c1=c2=1.0，c3=2.0 |
| UPSO | 0.60 | c1=c2=1.1 |
| APSO | 0.90 | c1=c2=2.0 |
算法的复杂度一般包括时间复杂度和空间复杂度，由于空间复杂度不便于量化表示，在本研究工作中我们仅采用运算时间来比较各个算法的时间复杂度.各算法的运算时间依据CPU时间计算得到，它们占总运算时间的百分比按下式计算，其结果如图 2所示.
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(21) |
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| 图 2 所有算法关于4个基准函数的运算效率 Fig.2 Computational efficiency of all algorithms on four benchmark functions |
其中，Te代表每一种算法的运算时间，Ttot代表所有算法总的运算时间.
由图 2可以看出，FDRPSO运算效率最高，HeCoS的运算效率与UPSO、APSO和CS不相上下，且均优于FIPS，但结合后面的实验来看，HeCoS在不会占用太多运算资源的情况下，能够更快、更准确地达到收敛.
4.3 势能函数最小化为验证所提出的HeCoS算法的有效性，我们将其应用于不同维度的分子势能函数的最小化，并与其它5种算法进行了比较.考虑了算法的收敛性、解的质量和相对误差，以衡量算法的性能.所研究的问题均在一台2.50 GHz AMD A10-5850M处理器、8 G内存、64 bit操作系统上的MATLAB R2015b中进行实验.
1) 收敛性.分别采用FIPS、FDRPSO、UPSO、APSO、标准CS以及HeCoS这6种算法优化目标函数，分析其收敛性，图 3为6种算法在不同n值下20次独立运行的平均收敛特性.
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| 图 3 不同n值下各算法的收敛性比较 Fig.3 Comparative convergence of all algorithms for different n |
从图 3可以看出，对于不同的n，HeCoS和FDRPSO的收敛速度更快，当分子势能函数取得最小值时，迭代次数大约是200次，但HeCoS得到的最小值比FDRPSO得到的最小值更优.总而言之，与FIPS、FDRPSO、UPSO、APSO和CS相比，HeCoS算法在绝大多数情况下能够摆脱局部极值，获得全局最优值，能够在更短的时间内收敛到更精确的解，并且在搜索全局最优值时效率更高.
2) 解的质量.根据6种算法的20次独立运行结果，可以得到目标函数在各算法下的最小值、最大值、平均值和标准差.最小值表示算法可以得到的最优解，最大值表示算法可以得到的最坏解，平均值是20次独立运行得到的全局最优值的均值，该值越接近理论全局最小值，算法的基本性能越好.由于随机算法的不确定性，每次运行时的优化结果会有所不同，所以计算了标准差，标准差越小，算法性能越稳定.评估标准如表 3所示.
| Dim | Criteria | FIPS | FDRPSO | UPSO | APSO | CS | HeCoS |
| 20 | Minimum | 0.153 047 373 | 0.629 619 962 | 0.032 963 174 | 2.128 298 44 | -0.282 625 817 | -0.495 745 495 |
| Maximum | 1.863 947 5 | 2.272 078 85 | 2.310 055 04 | 8.088 399 87 | 0.877 763 639 | 0.302 128 988 | |
| Mean | 0.778 167 691 | 1.360 348 223 | 0.678 517 059 | 6.473 438 605 | 0.245 962 216 | -0.107 026 172 | |
| Std | 0.457 861 959 | 0.394 261 802 | 0.626 047 203 | 1.360 248 767 | 0.353 401 664 | 0.210 270 139 | |
| 40 | Minimum | 4.544 581 41 | 5.341 685 66 | 1.392 427 03 | 18.276 846 7 | 0.723 690 977 | -0.414 804 007 |
| Maximum | 9.675 697 95 | 10.219 391 5 | 10.966 705 6 | 21.922 764 9 | 6.268 046 16 | 0.977 715 54 | |
| Mean | 6.987 171 474 | 7.731 969 569 | 3.955 713 326 | 20.481 875 97 | 2.604 923 092 | 0.096 708 768 | |
| Std | 1.183 856 588 | 1.434 528 065 | 2.485 491 155 | 1.023 716 32 | 1.448 605 772 | 0.374 899 178 | |
| 60 | Minimum | 14.825 441 6 | 15.764 997 4 | 3.141 308 84 | 33.923 204 5 | 2.997 137 95 | 0.080 704 139 |
| Maximum | 21.683 431 2 | 24.098 796 3 | 12.994 014 1 | 38.128 765 9 | 23.177 956 7 | 3.730 587 37 | |
| Mean | 17.780 816 18 | 18.754 963 5 | 8.481 161 937 | 35.959 949 76 | 10.370 891 02 | 1.618 689 635 | |
| Std | 1.731 578 9 | 2.126 831 082 | 3.003 408 509 | 1.245 234 742 | 6.081 322 269 | 0.934 915 027 | |
| 80 | Minimum | 25.893 010 2 | 22.569 231 1 | 8.366 743 64 | 47.839 486 8 | 3.884 234 88 | 0.982 492 783 |
| Maximum | 33.404 821 5 | 34.893 702 3 | 22.930 553 7 | 55.306 936 8 | 39.229 721 4 | 7.529 888 63 | |
| Mean | 28.849 285 99 | 29.073 049 66 | 16.101 441 01 | 52.221 839 3 | 20.605 297 21 | 4.235 046 56 | |
| Std | 2.151 191 724 | 2.783 915 088 | 3.830 487 426 | 2.188 821 656 | 12.031 088 12 | 1.739 921 779 | |
| 100 | Minimum | 34.003 522 8 | 35.799 508 5 | 15.679 926 4 | 60.705 305 1 | 8.509 354 29 | 4.206 492 4 |
| Maximum | 49.310 408 1 | 51.550 168 5 | 30.617 866 6 | 71.426 697 3 | 53.575 493 2 | 15.545 217 6 | |
| Mean | 43.106 843 82 | 44.082 356 08 | 23.696 603 9 | 68.204 796 5 | 31.954 058 94 | 8.231 267 674 | |
| Std | 3.074 103 663 | 4.048 965 615 | 4.654 204 577 | 3.283 174 676 | 15.458 925 67 | 3.041 502 296 |
对于不同维度下各算法的20次独立运行结果，进行显著性检验.假设每组数据均服从正态分布，以n=20情况下CS和HeCoS的运行结果为例.首先分析CS和HeCoS的总体均值是否具有显著性差异，采用t检验，原假设H1：μ1=μ2，备择假设H2：μ1 < μ2，利用ttest2函数进行比较检验得
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| 图 4 n=20时CS和HeCoS运算结果的箱形图 Fig.4 Boxplot of computational results of CS and HeCoS for n=20 |
| dim | FIPS/HeCoS | FDRPSO/HeCoS | UPSO/HeCoS | APSO/HeCoS | CS/HeCoS |
| 20 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H3 |
| 40 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H3 |
| 60 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 |
| 80 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 |
| 100 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 | H2，H4 |
3) 相对误差.相对误差(Relative Error，RE)[26]定义如下：
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(22) |
所有算法的相对误差比较如图 5所示.可以看出，即使n值较大，HeCoS算法也能够比FIPS、FDRPSO、UPSO、APSO和CS更稳定，产生更准确的结果.
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| 图 5 不同n值下所有算法的相对误差 Fig.5 REs of all algorithms with respect to different n |
本文提出一种基于布谷鸟搜索算法的量子机制启发式算法.在该算法中，每只布谷鸟代表一个分子，个体学习鸟巢之间的差异，并潜在地学习所有巢位置的平均位置.基于量子机制，该算法在局部区域和较大的势场空间均有较强的搜索能力.实验表明，HeCoS算法可以成功地应用于简化分子势能函数.与FIPS、FDRPSO、UPSO、APSO和CS算法相比，提出的多样搜索策略使得HeCoS具有强大的搜索能力，能够更有效地生成更高质量的解. HeCoS算法具有较好的收敛特性，能够快速准确地找到分子势能函数的最优解，它是解决优化问题的一种可行且有效的方法.综上所述，HeCoS的性能明显优于其它算法.我们希望HeCoS算法未来能够解决更加复杂的分子势能函数.
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